Как найти плотность распределения: разбор задачи

Дано: непрерывная случайная величина $X$ с плотностью $f(x) = Cx$ при $0 \le x \le 3$ и $f(x) = 0$ вне отрезка. Найти: константу $C$, функцию распределения $F(x)$ и вероятность $P(1 < X < 2)$.

Константа ищется из условия нормировки: площадь под графиком плотности по всей числовой оси равна единице. Ответ - $C = \frac{2}{9} \approx 0{,}222$, на отрезке $F(x) = \frac{x^2}{9}$, а вероятность попадания в интервал $(1;\ 2)$ равна $\frac{1}{3} \approx 0{,}333$. Калькулятор сверху пересчитывает эти же числа для любой степенной плотности: закрашенная площадь под кривой и есть искомая вероятность.

Решение по шагам

Шаг 1. Записываем плотность кусочно. Формулировка «$f(x) = Cx$ на отрезке» всегда означает две ветки: рабочую формулу внутри отрезка и ноль снаружи. Пропуск второй ветки - главная причина расходящихся интегралов в этой задаче.

$$f(x) = \begin{cases} Cx, & 0 \le x \le 3, \\ 0, & \text{иначе.} \end{cases}$$

Шаг 2. Выписываем условие нормировки. Для любой плотности полный интеграл по оси равен единице: величина обязана принять хоть какое-нибудь значение.

$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1 \quad \Longrightarrow \quad \int_{0}^{3} Cx\,dx = 1.$$

Бесконечные пределы схлопнулись до 0 и 3 не сами по себе: вне отрезка подынтегральная функция тождественно равна нулю, поэтому от всей оси остаётся только рабочий кусок.

Шаг 3. Берём интеграл и находим константу. Множитель $C$ выносится за знак интеграла, дальше работает обычная формула Ньютона-Лейбница.

$$\int_{0}^{3} Cx\,dx = C\cdot\frac{x^{2}}{2}\bigg|_{0}^{3} = C\cdot\frac{9}{2} = 1 \quad \Longrightarrow \quad C = \frac{2}{9} \approx 0{,}222.$$

Значит, искомая плотность распределения равна $f(x) = \frac{2x}{9}$ на отрезке $[0;\ 3]$ и нулю вне него. Заметьте: значение $C$ не обязано быть меньше единицы, ограничение накладывается только на площадь.

Шаг 4. Строим функцию распределения. Она получается накоплением плотности слева направо, то есть интегралом с переменным верхним пределом:

$$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt = \int_{0}^{x} \frac{2t}{9}\,dt = \frac{t^{2}}{9}\bigg|_{0}^{x} = \frac{x^{2}}{9}, \qquad 0 \le x \le 3.$$

Полная запись снова кусочная, и её обязательно доводят до трёх веток - иначе ответ формально неверен:

$$F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\[2pt] \dfrac{x^{2}}{9}, & 0 \le x \le 3, \\[2pt] 1, & x > 3. \end{cases}$$

Шаг 5. Считаем вероятность попадания в интервал. Годятся оба пути: интеграл от плотности или разность значений $F$ на концах.

$$P(1 < X < 2) = \int_{1}^{2} \frac{2x}{9}\,dx = \frac{x^{2}}{9}\bigg|_{1}^{2} = \frac{4}{9} - \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333.$$

Ответ: $C = \frac{2}{9} \approx 0{,}222$, плотность $f(x) = \frac{2x}{9}$ на отрезке $[0;\ 3]$, функция распределения $F(x) = \frac{x^{2}}{9}$ на том же отрезке, $P(1 < X < 2) = \frac{1}{3} \approx 0{,}333$.

Формула и откуда она берётся

Плотность распределения - это производная функции распределения:

$$f(x) = F'(x), \qquad F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.$$

Смысл виден из приращения. Вероятность попасть в короткий промежуток $(x;\ x + \Delta x)$ равна $F(x + \Delta x) - F(x)$, а при делении на $\Delta x$ и переходе к пределу получается $f(x)$. То есть плотность показывает не вероятность, а её концентрацию на единицу длины: вероятность приходится собирать интегрированием, кусочек за кусочком.

Отсюда три свойства, которыми пользуются в любой задаче. Первое: $f(x) \ge 0$ всюду, ведь $F$ не убывает. Второе: $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1$ - это и есть условие нормировки, из которого достают неизвестную константу. Третье: вероятность попадания в интервал равна площади под кривой над этим интервалом, $P(a < X < b) = F(b) - F(a)$.

Из третьего свойства следует неожиданный для многих факт: вероятность отдельного значения непрерывной величины равна нулю, потому что интеграл по точке равен нулю. Поэтому $P(1 < X < 2)$, $P(1 \le X < 2)$ и $P(1 \le X \le 2)$ - это одно и то же число $\frac{1}{3}$, включать концы или нет, безразлично. У дискретной величины так делать нельзя: там каждое значение несёт собственную вероятность, и разница между строгим и нестрогим неравенством меняет ответ. Подробный разбор дискретного случая со ступенчатым графиком лежит в задаче про то, как найти функцию распределения, а свойства $F(x)$ в общем виде собраны в статье про функцию распределения случайной величины.

Обратная задача: дана F(x), найти f(x)

Половина вариантов контрольных формулируется наоборот: функция распределения известна, требуется плотность. Тогда никакого интегрирования не нужно, достаточно продифференцировать каждую ветку по отдельности. Для нашего же примера:

$$F(x) = \frac{x^{2}}{9} \ \Longrightarrow \ f(x) = \left(\frac{x^{2}}{9}\right)' = \frac{2x}{9}, \qquad 0 \le x \le 3,$$

а на ветках $F = 0$ и $F = 1$ производная равна нулю, что даёт те же нули вне отрезка. Круг замкнулся: из плотности получили $F$, из $F$ вернули плотность.

В точках стыка веток ($x = 0$ и $x = 3$) производная не существует - у графика $F$ там излом. Значение плотности в этих точках назначают произвольно, обычно нулём или односторонней производной: на интегралы и на все вероятности это никак не влияет, потому что две точки имеют нулевую длину. Если же $F$ ступенчатая, как у дискретной величины, плотности не существует вовсе: скачок нельзя продифференцировать.

Другие формы условия

Плотность задана на нескольких участках. Условие нормировки превращается в сумму интегралов по всем ненулевым кускам, а константа по-прежнему одна. Например, при $f(x) = Cx$ на $[0;\ 1]$ и $f(x) = C$ на $[1;\ 3]$ нормировка даёт $C/2 + 2C = 1$, откуда $C = 0{,}4$.

Промежуток бесконечен. У показательного закона $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ при $x \ge 0$ константа уже встроена в формулу: несобственный интеграл от нуля до бесконечности равен единице при любом $\lambda > 0$. Проверять нормировку всё равно полезно - это ловит потерянный множитель.

Величина распределена равномерно. Тогда плотность постоянна на отрезке, $f(x) = \frac{1}{b - a}$, и на коротком отрезке она заведомо больше единицы: при длине $0{,}2$ получится $f = 5$. Числовые характеристики такого распределения разобраны в статье про равномерное распределение.

Дана таблица или гистограмма. Опытную плотность оценивают как высоту столбика, делённую на ширину интервала, и сумма площадей столбиков тоже обязана равняться единице.

Проверка ответа и числовые характеристики

Перед сдачей решение прогоняют по трём пунктам: плотность неотрицательна на всём отрезке ($\frac{2x}{9} \ge 0$ при $x \ge 0$), полный интеграл равен единице, а $F$ непрерывно растёт от нуля до единицы и на границах даёт $F(0) = 0$, $F(3) = 1$. Все три сходятся.

Дальше по той же плотности считают числовые характеристики - интегралы берутся тем же способом, что и в вычислении определённого интеграла:

Математическое ожидание получилось равным 2, а не середине отрезка 1,5: плотность растёт, поэтому большие значения выпадают чаще и центр тяжести смещён вправо. Медиана $\sqrt{4{,}5} \approx 2{,}12$ по той же причине правее середины. Общая схема расчёта среднего для непрерывной величины разобрана в задаче про математическое ожидание.

Частые ошибки

• Забыли нулевую ветку и подставили $Cx$ на всю ось. Интеграл расходится, и задача выглядит нерешаемой, хотя условие нормировки требует интегрировать только по отрезку.
• Приняли плотность за вероятность и решили, что $f(x) > 1$ невозможно. Ограничена единицей площадь, а не высота: на отрезке длиной 0,1 плотность спокойно равна 10.
• Оборвали ответ на одной ветке: написали $F(x) = \frac{x^{2}}{9}$ без веток $0$ и $1$. Формально это уже не функция распределения, потому что она не стремится к единице на бесконечности.
• Посчитали вероятность как $f(2) - f(1)$. Разность берётся у функции распределения, а не у плотности; у плотности вероятность равна площади, то есть интегралу.
• Перепутали строгие и нестрогие неравенства и начали добавлять «вероятность точки». У непрерывной величины она равна нулю, добавлять нечего.
• Дифференцировали $F$ целиком одной формулой и потеряли нули за пределами отрезка либо, наоборот, получили ненулевую плотность там, где величина не принимает значений.

FAQ

Может ли плотность распределения быть больше единицы? Да, и это нормально. Единице равна площадь под всем графиком, а высота ничем не ограничена. У равномерного распределения на отрезке длиной $0{,}25$ плотность равна 4 во всех точках отрезка.

Чем плотность отличается от функции распределения? Функция распределения $F(x)$ - это накопленная вероятность $P(X < x)$, она безразмерна и растёт от 0 до 1. Плотность $f(x)$ - её производная, скорость накопления; вероятность из плотности получают интегрированием по нужному промежутку.

Как проверить, что найденная плотность верна? Три проверки: неотрицательность, полный интеграл равен единице, а интеграл от $-\infty$ до $x$ даёт функцию распределения, у которой $F(-\infty) = 0$ и $F(+\infty) = 1$. Если хоть одна не проходит, ошибка в константе или в пределах.

Существует ли плотность у дискретной величины? Нет. Её функция распределения ступенчатая, производной в точках скачка не существует, а между скачками она равна нулю. Вместо плотности там работает ряд распределения с вероятностями отдельных значений.

Коротко

1. Записать плотность кусочно: рабочая формула на отрезке, ноль вне его.
2. Приравнять интеграл по отрезку единице и вытащить константу: $C \cdot \frac{9}{2} = 1$, значит $C = \frac{2}{9} \approx 0{,}222$.
3. Проинтегрировать плотность с переменным верхним пределом и записать $F(x)$ тремя ветками: $0$, $\frac{x^{2}}{9}$, $1$.
4. Вероятность интервала брать как площадь: $P(1 < X < 2) = F(2) - F(1) = \frac{1}{3} \approx 0{,}333$.
5. Проверить неотрицательность и нормировку, при необходимости добить характеристики: $M(X) = 2$, $D(X) = 0{,}5$, $\sigma \approx 0{,}707$.