Функция распределения случайной величины: свойства

Функция распределения - это универсальный способ задать случайную величину одной формулой, который одинаково работает и для дискретных, и для непрерывных величин. По определению $F(x) = P(X \le x)$ - это вероятность того, что величина $X$ примет значение не больше $x$. Из этого простого определения вытекают все свойства функции распределения: она не убывает, зажата между нулём и единицей, непрерывна справа и стремится к нулю и единице на концах числовой оси. Ниже разберём каждое свойство с пояснением, покажем, как строить $F(x)$ для дискретной и непрерывной величины, и как через неё считать вероятность попадания на интервал. Чтобы сразу увидеть форму функции и её связь с плотностью, покрутите калькулятор ниже - он показывает $F(x)$ и плотность рядом, а заштрихованная площадь равна значению $F$ в выбранной точке.

Определение функции распределения

Функцией распределения случайной величины $X$ называют функцию действительного аргумента $x$, равную вероятности события $\{X \le x\}$:

$F(x) = P(X \le x).$

Аргумент $x$ пробегает всю числовую ось, а значение $F(x)$ - это накопленная вероятность: какую долю всех исходов величина «набрала» к моменту, когда мы дошли до точки $x$. Поэтому функцию распределения ещё называют интегральной или кумулятивной (cumulative distribution function, CDF). Главное достоинство этого определения - оно не зависит от типа величины. Дискретная она или непрерывная, у любой случайной величины функция распределения существует и полностью её задаёт: зная $F(x)$, можно найти вероятность попадания в любой промежуток.

Рассчитать для своей задачи

На видео точка $x$ движется слева направо. Площадь под плотностью левее точки - это и есть накопленная вероятность $P(X \le x)$, поэтому верхний график (сама функция распределения) поднимается ровно на эту величину. Когда точка уходит далеко вправо, площадь охватывает всю плотность, и $F(x)$ выходит на единицу.

Свойства функции распределения

У функции распределения четыре фундаментальных свойства, и все они следуют прямо из определения через свойства вероятности.

1. Ограниченность. Поскольку $F(x)$ - это вероятность, она всегда лежит в пределах $0 \le F(x) \le 1$. Никакая вероятность не может быть отрицательной или больше единицы.
2. Неубывание (монотонность). Если $x_1 < x_2$, то событие $\{X \le x_1\}$ влечёт $\{X \le x_2\}$, значит $F(x_1) \le F(x_2)$. Функция распределения нигде не убывает - это её самое узнаваемое свойство.
3. Пределы на бесконечностях. При движении влево вероятность стремится к нулю, вправо - к единице:

$\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0, \qquad \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1.$

1. Непрерывность справа. Для любой точки $x_0$ выполняется $\lim_{x \to x_0+} F(x) = F(x_0)$. Это значит, что в точке разрыва (у дискретной величины) функция «достраивается» сверху - левый предел может быть меньше, а само значение совпадает с правым.

Любая функция, удовлетворяющая этим четырём свойствам, является функцией распределения некоторой случайной величины - это и обратное утверждение тоже верно.

Рассчитать для своей задачи

На схеме видно сразу все свойства: кривая нигде не идёт вниз, начинается у нуля слева, упирается в единицу справа, а в выбранной точке её высота равна вероятности $P(X \le x)$.

Функция распределения дискретной величины

Если величина $X$ принимает отдельные значения $x_1, x_2, \dots$ с вероятностями $p_1, p_2, \dots$, то функция распределения собирается суммированием всех вероятностей значений, не превосходящих $x$:

$F(x) = \sum_{x_k \le x} p_k.$

График получается ступенчатым: на каждом значении $x_k$ функция подскакивает на величину $p_k$, а между значениями держится постоянной. Высота скачка в точке $x_k$ равна вероятности этого значения: $p_k = F(x_k) - F(x_k - 0)$. Именно из-за этих скачков функция дискретной величины непрерывна только справа: в точке $x_k$ значение берётся с верхней ступеньки.

Рассчитать для своей задачи

Например, для величины со значениями $1, 2, 3$ и вероятностями $0{,}2$, $0{,}5$, $0{,}3$ функция равна нулю до единицы, $0{,}2$ на промежутке $[1, 2)$, $0{,}7$ на $[2, 3)$ и единице начиная с тройки.

Функция распределения непрерывной величины и связь с плотностью

Для непрерывной величины функция распределения - гладкая (без скачков) кривая. Она связана с плотностью вероятности $f(x)$ интегралом и производной:

$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt, \qquad f(x) = F'(x).$

То есть значение $F(x)$ - это площадь под плотностью левее точки $x$, а плотность - скорость роста функции распределения. Именно это показывает правый график калькулятора: заштрихованная область под $f(x)$ слева от выбранной точки численно равна $F(x)$ на левом графике. Для стандартного нормального распределения $N(0, 1)$ в точке $x = 1$ получается $F(1) \approx 0{,}8413$ - то есть около $84\%$ значений лежат левее единицы; в центре $F(0) = 0{,}5$ из-за симметрии.

Важное следствие: у непрерывной величины вероятность попасть точно в одну точку равна нулю, $P(X = c) = 0$. Поэтому знаки строгого и нестрогого неравенства для неё совпадают: $P(X \le c) = P(X < c)$.

Вычисление вероятности на интервале

Главное практическое применение функции распределения - быстрый расчёт вероятности попадания в промежуток. Через приращение функции:

$P(a < X \le b) = F(b) - F(a).$

Это прямое следствие неубывания и определения: из накопленной к точке $b$ вероятности вычитаем накопленную к точке $a$. Для непрерывной величины, где $P(X = c) = 0$, концы промежутка можно включать или нет - результат один и тот же. Например, для $N(0, 1)$ вероятность $P(-1 < X \le 1) = F(1) - F(-1) \approx 0{,}8413 - 0{,}1587 = 0{,}6826$ - знаменитое правило «двух сигм наполовину», доля значений в пределах одного стандартного отклонения.

Частые ошибки

• Путают $P(X \le x)$ и $P(X \ge x)$. Функция распределения - это вероятность быть НЕ больше $x$. Вероятность правого хвоста считается как $P(X > x) = 1 - F(x)$.
• Забывают про непрерывность справа у дискретной величины. В точке скачка $F(x_k)$ берёт верхнее значение; неравенство в определении именно нестрогое, $X \le x$.
• Считают, что $F(x)$ может убывать. Любой участок убывания означает ошибку: вероятность не может «уменьшаться» при расширении промежутка.
• Берут плотность вместо функции распределения. Плотность $f(x)$ может быть больше единицы, а $F(x)$ - никогда; путать их при ответе на «найдите вероятность» нельзя.
• Включают концы интервала у непрерывной величины и боятся ошибиться. Для непрерывной величины $P(X = c) = 0$, поэтому $P(a < X < b) = P(a \le X \le b)$.

FAQ

Чем функция распределения отличается от плотности? Функция распределения $F(x) = P(X \le x)$ - это накопленная вероятность, всегда от $0$ до $1$ и неубывающая. Плотность $f(x) = F'(x)$ - скорость её роста, существует только у непрерывных величин и может превышать единицу. Площадь под плотностью слева от $x$ равна $F(x)$.

Может ли функция распределения быть разрывной? Да, у дискретной величины она ступенчатая - в точках возможных значений происходят скачки. Но разрывы возможны только в виде скачков вверх, и функция всегда остаётся непрерывной справа. У непрерывной величины разрывов нет.

Как найти вероятность, что величина попадёт в заданный интервал? Через разность значений функции распределения на концах: $P(a < X \le b) = F(b) - F(a)$. Для непрерывной величины строгость неравенств роли не играет, для дискретной нужно аккуратно следить, входят ли граничные значения в промежуток.

Коротко

Функция распределения $F(x) = P(X \le x)$ задаёт любую случайную величину - дискретную или непрерывную - одной формулой. Её четыре свойства (ограниченность $0 \le F \le 1$, неубывание, пределы $0$ и $1$ на бесконечностях, непрерывность справа) полностью следуют из определения через вероятность. У дискретной величины график ступенчатый со скачками высотой $p_k$, у непрерывной - гладкий, причём $F(x)$ равна площади под плотностью слева от $x$, а $f(x) = F'(x)$. Вероятность попадания на интервал считается как $F(b) - F(a)$.