Равномерное распределение случайной величины: формулы

Равномерное распределение непрерывной случайной величины - это простейшая модель, когда величина может принять любое значение из отрезка $[a, b]$, и ни одно из них не имеет преимущества перед другими. Плотность на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю - график плотности похож на ровную полку. На таком распределении удобно впервые понять, как связаны плотность, функция распределения, математическое ожидание и дисперсия, потому что все формулы здесь короткие и выводятся почти без интегралов. Ниже разберём плотность и функцию распределения, выведем числовые характеристики, посчитаем вероятность попадания на заданный отрезок и покажем, где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать связь границ и вероятности, покрутите калькулятор ниже: он строит плотность и функцию распределения и закрашивает искомую вероятность.

Что такое равномерное распределение

Говорят, что непрерывная случайная величина $X$ распределена равномерно на отрезке $[a, b]$, если её плотность вероятности постоянна внутри этого отрезка и равна нулю снаружи. Смысл прост: попадание в любой подынтервал одинаковой длины равновероятно, где бы этот подынтервал ни находился внутри $[a, b]$. Так моделируют, например, ошибку округления, момент прихода события в пределах известного промежутка или координату случайно брошенной точки на отрезке.

Поскольку полная вероятность всех исходов равна единице, площадь под графиком плотности тоже должна равняться единице. Высота полки и ширина отрезка связаны жёстко: чем шире отрезок $[a, b]$, тем ниже полка, и наоборот. Именно из этого условия и выводится формула плотности.

Плотность распределения

Плотность равномерного распределения задаётся кусочной функцией:

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a \le x \le b, \\[4pt] 0, & x < a \text{ или } x > b. \end{cases}$

Высота полки $\dfrac{1}{b-a}$ берётся не с потолка: площадь прямоугольника под графиком равна произведению высоты на ширину, то есть $\dfrac{1}{b-a} \cdot (b-a) = 1$. Это и есть условие нормировки плотности - суммарная вероятность равна единице. Если отрезок растянуть вдвое, полка станет вдвое ниже: вероятность как бы размазывается по большей длине.

Рассчитать для своей задачи

Обратите внимание: значение плотности $f(x)$ - это не вероятность. Для непрерывной величины вероятность попасть в одну точку равна нулю, а $f(x)$ показывает лишь, насколько густо распределена вероятность вблизи этой точки. Вероятности появляются только тогда, когда мы берём площадь под плотностью на каком-то отрезке.

Функция распределения

Функция распределения $F(x) = P(X \le x)$ для равномерного закона получается интегрированием плотности и тоже распадается на три куска:

$F(x) = \begin{cases} 0, & x < a, \\[4pt] \dfrac{x-a}{b-a}, & a \le x \le b, \\[4pt] 1, & x > b. \end{cases}$

До отрезка вероятность накопиться ещё не успела, поэтому $F(x) = 0$. Внутри $[a, b]$ вероятность набирается равномерно, и график - прямая, идущая от нуля до единицы. После отрезка все значения уже «пройдены», и $F(x) = 1$. Линейный участок - визитная карточка равномерного распределения: ни у какого другого закона функция распределения не растёт строго по прямой.

Рассчитать для своей задачи

Эти две картинки полезно держать рядом: плотность отвечает на вопрос «насколько густо», а функция распределения - «сколько вероятности накопилось слева». Производная функции распределения как раз и даёт плотность, поэтому постоянной плотности соответствует прямолинейный рост $F(x)$.

Математическое ожидание и дисперсия

Числовые характеристики равномерного распределения выводятся через интегралы, но результат запоминается мгновенно. Математическое ожидание - это центр отрезка:

$M(X) = \frac{a+b}{2}.$

Дисперсия и среднее квадратичное отклонение зависят только от длины отрезка $b-a$:

$D(X) = \frac{(b-a)^2}{12}, \qquad \sigma = \sqrt{D(X)} = \frac{b-a}{\sqrt{12}}.$

Симметрия здесь очевидна: раз все значения равноправны, «центр тяжести» распределения лежит ровно посередине. Дисперсия растёт как квадрат ширины - вдвое более широкий отрезок даёт вчетверо больший разброс. Деление на 12 - результат интегрирования, его удобно просто запомнить как фирменный коэффициент равномерного закона.

Вероятность попадания на отрезок

Главная практическая задача - найти вероятность того, что величина попадёт в заданный отрезок $[c, d]$, лежащий внутри $[a, b]$. Поскольку плотность постоянна, вероятность равна отношению длин:

$P(c \le X \le d) = \frac{d-c}{b-a}.$

Это просто доля длины $[c, d]$ от всей длины $[a, b]$. Если отрезок $[c, d]$ выходит за границы $[a, b]$, в расчёт берётся только пересечение: за пределами носителя плотность нулевая, и набрать там вероятность нельзя. Калькулятор выше учитывает это автоматически - закрашенный прямоугольник всегда обрезается по границам $[a, b]$, а его площадь и есть искомая вероятность.

Рассчитать для своей задачи

Из этой же формулы видно, почему вероятность попасть в одну точку равна нулю: при $c = d$ длина отрезка нулевая, и доля тоже нулевая. Поэтому для непрерывной величины знаки строгого и нестрогого неравенства внутри вероятности равноценны: $P(c \le X \le d) = P(c < X < d)$.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную формулировку: случайная величина $X$ равномерно распределена на отрезке $[2, 8]$. Нужно записать плотность, функцию распределения, найти математическое ожидание, дисперсию и вероятность попадания на отрезок $[3, 6]$.

Сначала находим высоту полки плотности. Длина отрезка $b - a = 8 - 2 = 6$, поэтому:

$f(x) = \frac{1}{6} \text{ на } [2, 8], \qquad f(x) = 0 \text{ вне отрезка}.$

Функция распределения на отрезке растёт линейно от нуля до единицы:

$F(x) = \frac{x-2}{6} \text{ при } 2 \le x \le 8.$

Математическое ожидание - центр отрезка, а дисперсия зависит от его длины:

$M(X) = \frac{2+8}{2} = 5, \qquad D(X) = \frac{(8-2)^2}{12} = \frac{36}{12} = 3.$

Наконец, вероятность попадания на $[3, 6]$ равна отношению длин:

$P(3 \le X \le 6) = \frac{6-3}{8-2} = \frac{3}{6} = 0{,}5.$

Проверка согласованности: центр отрезка $[3, 6]$ совпадает с центром всего носителя, поэтому половина вероятности - ожидаемый результат. Калькулятор выше собирает ровно эту цепочку рассуждений, оставляя вам контроль над формулами.

Частые ошибки

• Путаница плотности и вероятности. Значение $f(x) = 1/(b-a)$ - не вероятность, а плотность; вероятность это всегда площадь под ней на отрезке. При узком носителе $f(x)$ может быть и больше единицы, и это нормально.
• Неверная высота полки. Высота равна $1/(b-a)$, а не $1/b$ и не $1/(a+b)$. Проверяйте нормировку: площадь прямоугольника обязана быть равна единице.
• Деление на 2 вместо 12 в дисперсии. Дисперсия равна $(b-a)^2/12$. Коэффициент 12 - частая жертва памяти, его легко перепутать с двойкой из формулы математического ожидания.
• Игнор пересечения отрезков. Если $[c, d]$ выходит за $[a, b]$, в формуле $P = (d-c)/(b-a)$ берётся только общая часть отрезков, иначе вероятность получится больше единицы.
• Использование границ при поиске параметров. В обратных задачах сначала выражают $a$ и $b$ через $M(X)$ и $D(X)$, а не подставляют наугад - система из двух уравнений решается однозначно.

FAQ

Чему равна плотность равномерного распределения на отрезке от 2 до 8? Длина отрезка равна 6, поэтому плотность постоянна и равна $1/6$ внутри $[2, 8]$ и нулю снаружи. Площадь под графиком при этом равна единице, как и требует условие нормировки.

Как найти дисперсию равномерно распределённой величины? Дисперсия зависит только от длины отрезка: $D(X) = (b-a)^2/12$. Например, для отрезка $[2, 8]$ получаем $36/12 = 3$, а среднее квадратичное отклонение равно корню из дисперсии.

Почему функция распределения равномерного закона - прямая? Потому что плотность постоянна, а функция распределения - это её интеграл. Интеграл от константы даёт линейную функцию, поэтому на отрезке $[a, b]$ график $F(x)$ растёт строго по прямой от нуля до единицы.

Коротко

Равномерное распределение непрерывной случайной величины задаётся постоянной плотностью $f(x) = 1/(b-a)$ на отрезке $[a, b]$ и нулём вне него, а его функция распределения растёт линейно от нуля до единицы. Математическое ожидание равно центру отрезка $M(X) = (a+b)/2$, дисперсия - $D(X) = (b-a)^2/12$, а вероятность попадания на отрезок $[c, d]$ равна отношению длин $P = (d-c)/(b-a)$. Все характеристики выводятся из условия нормировки и симметрии, поэтому равномерный закон - удобная отправная точка для изучения непрерывных распределений.