Как найти объём выборки: формула и пример расчёта

Дано: среднее квадратическое отклонение срока службы детали $\sigma = 40$ ч, предельная ошибка $\Delta = 5$ ч, доверительная вероятность $P = 0{,}95$, объём партии $N = 3000$ шт. Найти: необходимый объём выборки.

Объём считают из требования к точности: сначала по формуле $n_0 = t^2\sigma^2/\Delta^2$ для повторного отбора, затем вводят поправку на конечную совокупность. Ответ: при повторном отборе нужно 246 деталей, при бесповторном 228. Калькулятор сверху пересчитает объём под другие $\sigma$, $\Delta$ и доверительную вероятность, а решение с выкладками идёт ниже.

Решение по шагам

Дано.

Найти: $n$ для повторного и бесповторного отбора.

Шаг 1. Коэффициент доверия. По доверительной вероятности находим $t$ по таблице функции Лапласа: $2\Phi(t) = 0{,}95$, значит $\Phi(t) = 0{,}475$ и $t = 1{,}96$. Это то же самое число, что стоит в границах 95-процентного доверительного интервала.

Шаг 2. Объём при повторном отборе. Подставляем данные в основную формулу:

$$n_0 = \frac{t^2 \sigma^2}{\Delta^2} = \frac{1{,}96^2 \cdot 40^2}{5^2} = \frac{3{,}8416 \cdot 1600}{25} = \frac{6146{,}56}{25} = 245{,}86.$$

Дробное число единиц не бывает, а округление вниз ухудшило бы точность, поэтому округляем вверх: $n_0 = 246$ деталей.

Шаг 3. Поправка на бесповторный отбор. В партии всего 3000 деталей, и каждая отобранная деталь уже не вернётся в совокупность. Это уменьшает разброс, а значит и требуемый объём:

$$n = \frac{n_0}{1 + \dfrac{n_0}{N}} = \frac{245{,}86}{1 + \dfrac{245{,}86}{3000}} = \frac{245{,}86}{1{,}0820} = 227{,}24 \approx 228.$$

Тот же результат даёт развёрнутая запись, которая чаще встречается в учебниках:

$$n = \frac{t^2 \sigma^2 N}{\Delta^2 N + t^2 \sigma^2} = \frac{3{,}8416 \cdot 1600 \cdot 3000}{25 \cdot 3000 + 3{,}8416 \cdot 1600} = \frac{18\,439\,680}{81\,146{,}56} = 227{,}24.$$

Шаг 4. Проверка. Подставим найденный объём обратно в формулу предельной ошибки бесповторной выборки и убедимся, что заданная точность выдержана:

$$\Delta = t \sigma \sqrt{\frac{1 - n/N}{n}} = 1{,}96 \cdot 40 \cdot \sqrt{\frac{1 - 228/3000}{228}} = 1{,}96 \cdot 40 \cdot 0{,}0637 = 4{,}99 \ \text{ч} \le 5 \ \text{ч}.$$

Требование выполнено с небольшим запасом, который и создало округление вверх.

Ответ. При повторном отборе требуется 246 деталей, при бесповторном - 228 деталей. Доля отбора составляет $228/3000 = 7{,}6\%$ партии.

Формула и откуда она берётся

Формулу объёма не запоминают, а выводят из формулы ошибки выборки за две строки. Средняя ошибка выборочной средней при повторном отборе равна

$$\mu = \frac{\sigma}{\sqrt{n}},$$

а предельная ошибка - это средняя, умноженная на коэффициент доверия: $\Delta = t\mu$. Коэффициент $t$ задаёт, с какой вероятностью истинная генеральная средняя попадёт в интервал $\bar{x} \pm \Delta$: при $P = 0{,}954$ берут $t = 2$, при $P = 0{,}997$ уже $t = 3$.

Дальше решается обычное неравенство. Требование «ошибка не больше заданной» записывается как $t\sigma/\sqrt{n} \le \Delta$, откуда $\sqrt{n} \ge t\sigma/\Delta$, и после возведения в квадрат получается рабочая формула:

$$n \ge \frac{t^2 \sigma^2}{\Delta^2}.$$

Из неё видно главное свойство задачи: объём зависит от точности не линейно, а квадратично. Чтобы уменьшить ошибку вдвое, с 5 до 2,5 ч, тот же расчёт даёт $n_0 = 3{,}8416 \cdot 1600 / 6{,}25 = 984$ детали - вчетверо больше. Именно поэтому бессмысленно требовать от исследования «максимальную точность»: цена каждого следующего знака растёт квадратично.

При бесповторном отборе дисперсия выборочной средней меньше в $(1 - n/N)$ раз, и формула ошибки превращается в $\mu = \sigma\sqrt{(1 - n/N)/n}$. Разрешив неравенство $t\mu \le \Delta$ относительно $n$, получаем ту самую поправку $n = n_0/(1 + n_0/N)$. Она заметна, только когда выборка занимает существенную часть совокупности: при $n_0/N$ порядка процента разница между 246 и 244 не имеет смысла, а при $n_0$, сопоставимом с $N$, поправка режет объём в разы. Что такое сама генеральная совокупность и чем она отличается от выборки, разобрано в статье про генеральную совокупность и выборку.

Объём выборки для доли признака

Второй тип задачи - оценивается не средняя величина, а доля единиц с признаком: доля брака, доля ответивших «да», доля студентов-отличников. Формула та же, но роль дисперсии играет произведение $p(1-p)$:

$$n_0 = \frac{t^2 p (1-p)}{\Delta^2},$$

где $p$ - ожидаемая доля, а $\Delta$ выражена в тех же долях единицы, что и $p$ (5 процентных пунктов - это $\Delta = 0{,}05$).

Здесь возникает частный вопрос: что подставлять, если доля до исследования неизвестна. Ответ даёт максимум произведения $p(1-p)$: оно наибольшее при $p = 0{,}5$ и равно 0,25. Подставив самый неблагоприятный случай, получаем гарантированный объём:

$$n_0 = \frac{1{,}96^2 \cdot 0{,}25}{0{,}05^2} = \frac{0{,}9604}{0{,}0025} = 384{,}16 \approx 385.$$

Такой запас никогда не подведёт: при любой другой доле фактическая ошибка окажется меньше заявленной. Переключатель «Долю признака» в калькуляторе сверху считает именно этот вариант, включая поправку на конечную совокупность.

Где взять сигму до начала исследования

Формула требует $\sigma$, то есть характеристику совокупности, ради изучения которой выборка и делается. Этот замкнутый круг разрывают четырьмя способами, и в условии задачи обычно прямо указано, каким.

Первый - данные прошлых обследований или паспортные данные технологического процесса: если партии однотипны, разброс от партии к партии меняется мало. Второй - пробная (пилотная) выборка на 30-50 единиц, по которой считают выборочную дисперсию и берут корень из неё. Третий - правило размаха: если известны минимальное и максимальное значения признака, для распределения, близкого к нормальному, годится грубая оценка $\sigma \approx R/6$. Четвёртый - задание разброса через коэффициент вариации: если известно, что вариация составляет 20 % при средней 200 ч, то $\sigma = 0{,}2 \cdot 200 = 40$ ч.

Важная оговорка: все эти формулы работают только для случайного отбора, при котором у каждой единицы совокупности одинаковый шанс попасть в выборку. Для неслучайных схем, например для квотной выборки, формула объёма формально применима, но заявленная точность уже не гарантирована: у такого отбора есть систематическое смещение, которое не уменьшается с ростом $n$.

Частые ошибки

• Округление вниз или до ближайшего целого. Результат 245,86 округляется только вверх, до 246: при 245 наблюдениях фактическая ошибка превысит заданную, пусть и на сотые доли. Это не арифметическая условность, а требование задачи.
• Подстановка дисперсии вместо сигмы. В формуле стоит $\sigma^2$, то есть дисперсия. Если в условии дана дисперсия $D = 1600$, возводить её в квадрат ещё раз не нужно; если дано $\sigma = 40$, квадрат брать обязательно.
• Ошибка в единицах для доли. Предельная ошибка «3 процентных пункта» - это $\Delta = 0{,}03$, а не 3. Подстановка тройки занижает объём в десять тысяч раз.
• Забытая поправка на бесповторный отбор. Если совокупность конечна и в условии указано $N$, а отбор бесповторный, расчёт без поправки завышает объём. При $N = 3000$ разница между 246 и 228 не критична, а при $N = 500$ вместо 246 потребуется всего 165 единиц.
• Обратная ошибка: поправка там, где её быть не должно. При повторном отборе (единица возвращается в совокупность) и при бесконечной или очень большой генеральной совокупности множитель $(1 - n/N)$ не используется.
• Не тот коэффициент доверия. Значения $t$ путают с уровнем значимости: доверительной вероятности 0,95 отвечает $t = 1{,}96$, а не 0,95 и не 1,65. Значение 1,645 относится к $P = 0{,}90$.

FAQ

Чем повторный отбор отличается от бесповторного? При повторном отобранная единица возвращается в совокупность и может попасть в выборку снова, при бесповторном - не возвращается. На практике почти все обследования бесповторные, но поправку применяют, только если известен объём $N$ и доля отбора заметна (больше нескольких процентов).

Почему объём выборки почти не зависит от размера генеральной совокупности? Потому что в формулу входит разброс признака, а не число единиц. Для города с миллионом жителей и для города с сотней тысяч при одинаковых требованиях к точности нужна практически одинаковая выборка: поправка $1/(1 + n_0/N)$ при больших $N$ обращается почти в единицу. Размер совокупности начинает влиять только тогда, когда выборка сопоставима с ней по объёму.

Что делать, если по расчёту требуется больше единиц, чем есть в совокупности? Это признак того, что заданная точность недостижима в принципе: даже сплошное обследование даст ошибку выше нужной, если $\sigma$ велика, а требования жёсткие. Решения два: смягчить требование к $\Delta$ либо снизить доверительную вероятность, например с 0,99 до 0,95, и пересчитать.

Нужно ли брать распределение Стьюдента вместо $t = 1{,}96$? Для расчёта необходимого объёма - нет: планирование ведётся по нормальному распределению, потому что $n$ на этом шаге ещё неизвестно. Квантили Стьюдента нужны позже, при построении доверительного интервала по фактической малой выборке, где $n < 30$ и $\sigma$ оценена по самим данным.

Коротко

1. Найти коэффициент доверия $t$ по доверительной вероятности: 0,90 даёт 1,645, 0,95 даёт 1,96, 0,954 даёт 2, 0,99 даёт 2,576.
2. Посчитать объём для повторного отбора: $n_0 = t^2\sigma^2/\Delta^2$; для доли признака вместо $\sigma^2$ подставить $p(1-p)$, а при неизвестной доле взять $p = 0{,}5$.
3. Если совокупность конечна и отбор бесповторный, применить поправку $n = n_0/(1 + n_0/N)$.
4. Округлить результат строго вверх и проверить его обратной подстановкой в формулу предельной ошибки.
5. В разобранном примере: $n_0 = 1{,}96^2 \cdot 40^2 / 5^2 = 245{,}86 \to 246$ деталей при повторном отборе и $228$ деталей при бесповторном для партии в 3000 штук.