Как найти критическую область: разбор с примером

Дано: фасовочный автомат настроен на $a_0 = 500$ г, генеральное среднее квадратическое отклонение $\sigma = 5$ г известно из паспорта линии; контрольная выборка $n = 100$ пачек дала среднее $\bar x = 500{,}9$ г. Найти: критическую область при уровне значимости $\alpha = 0{,}05$ и проверить гипотезу $H_0: a = 500$ против альтернативы $H_1: a \neq 500$.

Критическая область строится в три хода: по альтернативе определяем, сколько у неё хвостов, по уровню значимости берём критическую точку из таблицы, а затем сравниваем с ней наблюдаемое значение статистики. Здесь альтернатива двусторонняя, поэтому область состоит из двух хвостов по $0{,}025$ вероятности в каждом, критическая точка равна $z_{\text{кр}} = 1{,}96$, а сама область записывается как $(-\infty;\ -1{,}96) \cup (1{,}96;\ +\infty)$. Наблюдаемое значение $z_{\text{набл}} = 1{,}80$ в неё не попадает, значит оснований отвергнуть $H_0$ нет: отклонение веса на 0,9 г статистически незначимо. Калькулятор сверху показывает эту же картинку: закрашенные хвосты и есть критическая область, синяя линия - наблюдаемая статистика.

Решение по шагам

Шаг 1. Записываем пару гипотез. Нулевая гипотеза всегда утверждает отсутствие сдвига: $H_0: a = 500$ г. Альтернатива отражает то, что нас насторожило бы: автомат может как недосыпать, так и пересыпать кофе, и оба случая одинаково плохи, поэтому $H_1: a \neq 500$ г. Именно этот выбор, сделанный до расчётов, и определит форму критической области. Как ставится эта пара и почему нельзя подбирать $H_1$ после взгляда на данные, подробно разобрано в статье про нулевую и альтернативную гипотезы.

Шаг 2. Считаем наблюдаемое значение статистики. Сигма известна, поэтому работает нормированное отклонение выборочного среднего:

$$z_{\text{набл}} = \frac{\bar x - a_0}{\sigma / \sqrt{n}}.$$

Стандартная ошибка среднего равна

$$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{5}{\sqrt{100}} = \frac{5}{10} = 0{,}5 \ \text{г},$$

тогда

$$z_{\text{набл}} = \frac{500{,}9 - 500}{0{,}5} = \frac{0{,}9}{0{,}5} = 1{,}80.$$

Смысл числа простой: выборочное среднее ушло от номинала на 1,8 стандартной ошибки.

Шаг 3. Определяем вид области по альтернативе. Знак $\neq$ означает, что $H_0$ опровергают отклонения в обе стороны, поэтому область двусторонняя и симметричная. Вероятность $\alpha = 0{,}05$ делится поровну между хвостами: по $\alpha / 2 = 0{,}025$ слева и справа.

Шаг 4. Ищем критическую точку. Нужна такая точка $z_{\text{кр}}$, правее которой у стандартного нормального закона остаётся ровно $0{,}025$ вероятности. Через табличную (усечённую) функцию Лапласа это условие записывается так:

$$\Phi(z_{\text{кр}}) = \frac{1 - \alpha}{2} = \frac{1 - 0{,}05}{2} = 0{,}475.$$

В таблице значению $0{,}4750$ отвечает аргумент $1{,}96$. Это и есть критическая точка: $z_{\text{кр}} = 1{,}96$.

Шаг 5. Записываем область и сравниваем. Критическая область складывается из двух лучей:

$$z_{\text{набл}} \in (-\infty;\ -1{,}96) \cup (1{,}96;\ +\infty),$$

а промежуток $[-1{,}96;\ 1{,}96]$ называется областью принятия гипотезы. Наблюдаемое значение $1{,}80$ меньше $1{,}96$, то есть лежит в области принятия.

Ответ: критическая область $(-\infty;\ -1{,}96) \cup (1{,}96;\ +\infty)$; так как $z_{\text{набл}} = 1{,}80$ в неё не попадает, гипотеза $H_0: a = 500$ г на уровне значимости 0,05 не отвергается. Достигнутый уровень значимости $p = 2\bigl(1 - F(1{,}80)\bigr) = 0{,}0719$ больше $0{,}05$ и подтверждает тот же вывод.

Формула критической точки и откуда она берётся

Критическая область - это множество значений статистики критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Её задают не произвольно: требуют, чтобы вероятность случайно попасть в неё при верной $H_0$ равнялась заранее выбранному уровню значимости:

$$P\bigl(K \in W \mid H_0\bigr) = \alpha .$$

Здесь $K$ - статистика критерия, $W$ - критическая область. Отсюда и берётся критическая точка: это квантиль распределения статистики уровня $1 - \alpha$ для одного хвоста или уровня $1 - \alpha/2$ для каждого из двух. Ошибиться в выборе уровня - значит сдвинуть границу и получить другой ответ при тех же данных.

Вероятность $\alpha$ - это риск ошибки первого рода, то есть отвергнуть верную гипотезу. Чем меньше $\alpha$, тем дальше в хвост уезжает критическая точка и тем труднее отвергнуть $H_0$: при $\alpha = 0{,}01$ двусторонняя точка равна уже $2{,}58$. Обратная сторона такой осторожности - рост вероятности пропустить реальный сдвиг, и об этом размене рассказывает разбор мощности статистического критерия.

Три вида области: как выбрать по альтернативе

Вид области определяется исключительно альтернативной гипотезой, а не данными и не тем, в какую сторону отклонилось выборочное среднее. Сводка для нормальной статистики при $\alpha = 0{,}05$ выглядит так:

Разница принципиальна, и наш пример это показывает. Если бы завод интересовал только перерасход кофе, альтернатива была бы $H_1: a > 500$, вся вероятность $0{,}05$ ушла бы в правый хвост, критическая точка нашлась бы из условия $\Phi(z_{\text{кр}}) = 0{,}5 - \alpha = 0{,}45$ и равнялась $1{,}645$. Тогда $z_{\text{набл}} = 1{,}80 > 1{,}645$, и та же самая выборка привела бы к противоположному выводу: гипотезу пришлось бы отвергнуть.

Отсюда правило, которое экономит баллы на контрольной: альтернатива формулируется из условия задачи до расчётов. Подогнать её под уже посчитанную статистику - методическая ошибка, а не находчивость. Переключи чипы в калькуляторе сверху и посмотри, как при неизменных числах вывод меняется вместе с видом области.

Та же область в единицах выборочного среднего

Критическую область удобно переводить обратно в граммы, килограммы или миллиметры: так она превращается в понятные границы приёмки. Границу получают из равенства $\bar x = a_0 \pm z_{\text{кр}} \cdot \sigma / \sqrt{n}$:

$$\bar x_{\text{кр}} = 500 \pm 1{,}96 \cdot 0{,}5 = 500 \pm 0{,}98,$$

то есть гипотезу отвергают при $\bar x < 499{,}02$ г или $\bar x > 500{,}98$ г. Наблюдённые $500{,}9$ г до границы не дотянули четыре сотых грамма - формально автомат настроен верно, хотя запас крошечный.

Такая запись полезна и на производстве: границы $499{,}02$ и $500{,}98$ сразу ложатся на контрольную карту, и оператору не нужно каждый раз считать $z$. Для правосторонней альтернативы граница была бы единственной: $500 + 1{,}645 \cdot 0{,}5 = 500{,}82$ г, и среднее $500{,}9$ г её уже превысило бы.

Если сигма неизвестна или распределение несимметрично

Когда генеральное среднее квадратическое отклонение по паспорту неизвестно и его заменяют исправленным выборочным $s$, нормальный закон сменяется распределением Стьюдента с $\nu = n - 1$ степенями свободы. Логика построения области не меняется, меняется только таблица: для $\nu = 99$ двусторонняя точка равна $t_{\text{кр}} = 1{,}98$ вместо $1{,}96$, и вывод по нашим числам остаётся прежним. А вот на малой выборке разрыв заметен: при $\nu = 15$ та же точка равна уже $2{,}131$, поэтому переносить $1{,}96$ на выборку из 16 измерений нельзя. Полный расчёт такой статистики с сырыми данными разобран в задаче про критерий Стьюдента.

Отдельный случай - критерии, у которых статистика неотрицательна и распределена несимметрично: хи-квадрат Пирсона, критерий Фишера. Для них критическая область почти всегда правосторонняя, даже если содержательная альтернатива выглядит двусторонней: большое расхождение с теорией даёт большое значение статистики независимо от знака отклонений. Как такая область работает в проверке согласия, показано в разборе проверки нормальности распределения.

Частые ошибки

• Вид области выбирают по знаку отклонения, а не по альтернативе. Увидели, что среднее больше номинала, и взяли правостороннюю область. Так уровень значимости незаметно удваивается: фактический риск ошибки становится $0{,}10$ вместо $0{,}05$.
• Уровень значимости не делят пополам. Для двусторонней области ищут точку по $\alpha$, а не по $\alpha/2$, и получают $1{,}645$ вместо $1{,}96$ - гипотеза отвергается там, где оснований нет.
• Путают аргумент таблицы Лапласа. Таблица усечённая: $\Phi(x)$ меняется от $0$ до $0{,}5$, поэтому искать надо $0{,}475$, а не $0{,}975$. Число $0{,}975$ относится к полной функции распределения.
• Забывают корень из объёма выборки. Делят разность средних на $\sigma$, а не на $\sigma/\sqrt{n}$. При $n = 100$ статистика занижается в десять раз, и в критическую область не попадёт уже ничего.
• Сравнивают с критической точкой само среднее. Число $500{,}9$ сопоставляют с $1{,}96$ напрямую. Сравнивать можно либо статистику с точкой, либо среднее с пересчитанной границей $500{,}98$, но не смешивать шкалы.
• Меняют уровень значимости после расчёта. Если при $\alpha = 0{,}05$ гипотеза устояла, то брать $\alpha = 0{,}10$ ради нужного вывода нельзя: уровень фиксируют до эксперимента.

FAQ

Чем критическая область отличается от области принятия? Это дополняющие друг друга множества значений статистики. В критическую область попадают значения, слишком редкие при верной $H_0$: их суммарная вероятность равна $\alpha$. Всё остальное - область принятия, где данные не противоречат нулевой гипотезе. Попадание в область принятия не доказывает $H_0$, оно лишь говорит, что доказательств против неё не хватило.

Можно ли обойтись без таблиц и считать по p-value? Да, это тот же критерий в другой записи. Правило «$p < \alpha$ - отвергаем» эквивалентно попаданию статистики в критическую область. В нашей задаче $p = 0{,}0719 > 0{,}05$, и вывод совпал с полученным по области. Таблицы нужны, когда в работе требуют показать критическую точку явно.

Как выбрать уровень значимости? По цене ошибки. Стандарт учебных задач и большинства технических приложений - $0{,}05$; там, где ложная тревога дорого стоит (медицина, приёмочный контроль ответственных изделий), берут $0{,}01$ или $0{,}005$. Уровень назначают до сбора данных и в отчёте указывают явно.

Что делать, если наблюдаемое значение попало ровно на границу? Формально граница относится к области принятия, то есть строгое неравенство $z_{\text{набл}} > z_{\text{кр}}$ не выполнено и гипотеза не отвергается. Практически такое совпадение означает, что данных на уверенный вывод не хватает: разумнее увеличить выборку, чем спорить о знаке неравенства.

Коротко

1. Записать $H_0$ и $H_1$ до расчётов: вид критической области задаёт именно альтернатива, а не знак наблюдённого отклонения.
2. Посчитать наблюдаемое значение статистики: $z_{\text{набл}} = (\bar x - a_0) / (\sigma / \sqrt{n}) = (500{,}9 - 500)/0{,}5 = 1{,}80$.
3. Разделить уровень значимости по хвостам: для двусторонней области по $\alpha/2 = 0{,}025$, для односторонней вся $\alpha$ в одном хвосте.
4. Найти критическую точку по таблице: $\Phi(z_{\text{кр}}) = 0{,}475$ даёт $z_{\text{кр}} = 1{,}96$; область равна $(-\infty;\ -1{,}96) \cup (1{,}96;\ +\infty)$, в граммах - вне промежутка от $499{,}02$ до $500{,}98$.
5. Сравнить и сделать вывод: $1{,}80$ в область не попадает, гипотеза $H_0: a = 500$ г на уровне $0{,}05$ не отвергается.