Как построить гистограмму частот: разбор задачи

Дано: выработка 100 рабочих за смену, значения лежат в границах от 20 до 60 деталей, частоты по восьми равным интервалам равны 4, 9, 15, 21, 20, 15, 10, 6. Найти: число интервалов по формуле Стёрджесса, ширину интервала и гистограмму частот.

Порядок действий в такой задаче всегда один: находим объём выборки и размах, берём число интервалов по Стёрджессу, делим размах на это число и получаем шаг, а затем для каждого интервала считаем плотность частоты $n_i / h$ - именно она служит высотой столбика. Ответ: $k = 8$, $h = 5$ деталей, высоты столбиков равны 0,8; 1,8; 3,0; 4,2; 4,0; 3,0; 2,0; 1,2, самый высокий столбик стоит на интервале от 35 до 40 деталей, а площадь всей фигуры равна 100, то есть объёму выборки. Калькулятор сверху перестраивает гистограмму под любые частоты и показывает, что делается с площадью, когда ординату меняют с плотности на частоту.

Решение по шагам

Дано. Признак $X$ - число деталей, изготовленных рабочим за смену. Объём выборки $n = 100$, наименьшее наблюдённое значение $x_{\min} = 20$, наибольшее $x_{\max} = 60$.

Шаг 1. Объём выборки и размах. Сумма частот обязана совпасть с числом наблюдений, иначе ошибка сидит в подсчёте, а не в чертеже:

$$n = \sum_{i=1}^{k} n_i = 4 + 9 + 15 + 21 + 20 + 15 + 10 + 6 = 100.$$

Размах выборки - длина всего отрезка, который предстоит нарезать на интервалы:

$$R = x_{\max} - x_{\min} = 60 - 20 = 40 \ \text{дет.}$$

Шаг 2. Число интервалов по формуле Стёрджесса. Число частичных интервалов не берут наугад: его связывают с объёмом выборки.

$$k = 1 + 3{,}322 \lg n = 1 + 3{,}322 \cdot \lg 100 = 1 + 3{,}322 \cdot 2 = 7{,}644 \approx 8.$$

Дробное значение округляют до целого, обычно в сторону удобного шага. Вывод формулы и её ограничения разобраны в статье про формулу Стёрджесса, здесь важно только то, что $k$ растёт очень медленно: при увеличении выборки вдвое добавляется всего один интервал.

Шаг 3. Ширина интервала и его границы. Шаг получаем делением размаха на число интервалов:

$$h = \frac{R}{k} = \frac{40}{8} = 5 \ \text{дет.}$$

Границы откладываем от $x_{\min}$ с шагом $h$: 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60. Получилось восемь примыкающих друг к другу интервалов, последний заканчивается ровно на $x_{\max}$. Если бы шаг вышел некруглым, его округляют в большую сторону, а левую границу сдвигают влево - тогда крайнее наблюдение всё равно попадёт внутрь.

Шаг 4. Таблица частот и плотностей. Для гистограммы нужна не только частота, но и плотность частоты $n_i / h$, а для гистограммы относительных частот - частость $w_i = n_i / n$ и её плотность:

Шаг 5. Построение столбиков. По горизонтальной оси откладываем границы интервалов, по вертикальной - плотность частоты. На каждом интервале строим прямоугольник высотой $n_i / h$: над отрезком от 20 до 25 столбик высотой 0,8, над отрезком от 35 до 40 - самый высокий, 4,2. Столбики примыкают друг к другу без зазоров: шкала признака непрерывна, и разрывать её нельзя. Именно этим гистограмма отличается от столбиковой диаграммы, где промежутки между столбиками обязательны.

Шаг 6. Проверка по площади. Площадь одного прямоугольника равна произведению основания на высоту, то есть $h \cdot n_i / h = n_i$. Сложим все площади:

$$S = h \sum_{i=1}^{k} \frac{n_i}{h} = 5 \cdot 20{,}0 = 100 = n.$$

Совпадение с объёмом выборки - самая быстрая проверка правильности чертежа.

Ответ: число интервалов $k = 8$, ширина интервала $h = 5$ деталей, границы 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60; высоты столбиков (плотности частоты) 0,8; 1,8; 3,0; 4,2; 4,0; 3,0; 2,0; 1,2; площадь гистограммы равна 100.

Плотность частоты: откуда взялось деление на h

Гистограмма частот - ступенчатая фигура из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной $h$, а высотами - плотности частоты $n_i / h$. Определение выглядит вычурным, пока не задать вопрос: что на этом чертеже изображает частоту - высота или площадь?

Ответ: площадь. Частота относится не к точке, а к целому интервалу, поэтому её и «размазывают» по его длине. Плотность $n_i / h$ - это сколько наблюдений приходится на единицу длины признака, в нашей задаче на одну деталь выработки. Умножив плотность обратно на длину интервала, получаем частоту, а сумма площадей даёт объём выборки. Такая логика - прямой выборочный предшественник плотности распределения непрерывной случайной величины, где вероятность тоже равна площади, а не ординате.

Практическое следствие простое. Пока интервалы равны, деление на $h$ меняет только цифры на вертикальной оси: все ординаты уменьшены в одно и то же число раз, форма фигуры прежняя. Поэтому в школьных задачах откладывают сами частоты и называют это гистограммой. Как только интервалы стали разными, такая вольность превращается в ошибку.

Гистограмма относительных частот и сравнение выборок

Если вместо частот взять частости $w_i = n_i / n$, а высотами сделать $w_i / h$, получится гистограмма относительных частот. Площадь каждого столбика равна доле наблюдений в интервале, а площадь всей фигуры равна единице. В нашей задаче высоты выходят маленькими: от 0,008 до 0,042, зато они не зависят от объёма выборки.

В этом и смысл перехода к частостям. Две бригады по 100 и по 400 рабочих в частотах несравнимы: у второй все столбики вчетверо выше просто из-за численности, а в относительных частотах обе гистограммы лежат в одном масштабе, и видно, у кого распределение сдвинуто вправо. Переключатель в калькуляторе сверху показывает эту разницу на одних и тех же данных.

По той же таблице считают и остальные характеристики ряда. За представителя интервала берут его середину $x_i^{*} = (a_i + b_i)/2$, и дальше работает обычная взвешенная схема: средняя по интервальному ряду в нашем примере равна 40,45 детали, по тем же серединам находят дисперсию и стандартное отклонение. Ломаная, соединяющая середины верхних сторон столбиков, - это полигон частот; его построение и различия с гистограммой подробно разобраны в задаче как построить полигон частот.

Что делать, если интервалы неравные

Неравные интервалы появляются, когда крайние группы малочисленны и их объединяют. Пусть в нашей задаче первые два интервала слили в один: от 20 до 30 с частотой $4 + 9 = 13$ и шириной $h_1 = 10$.

Если по привычке отложить саму частоту, столбик высотой 13 окажется вторым по высоте на всём чертеже и создаст ложный пик в начале ряда. Считаем плотность: $13 / 10 = 1{,}3$ против 3,0 у соседнего интервала от 30 до 35. Никакого пика нет - наоборот, в объединённой группе наблюдения разрежены. Площадь столбика при этом по-прежнему равна 13, то есть частоте, и общая площадь снова даёт 100.

Отсюда рабочее правило: при неравных интервалах высотой всегда берут плотность $n_i / h_i$, где $h_i$ - ширина именно этого интервала. Формула Стёрджесса тут не помогает, она рассчитана на равномерную группировку данных; неравные интервалы задают содержательно, по смыслу групп.

Мешает и слишком мелкий шаг: в интервалы попадает по одному-два наблюдения, гистограмма становится рваной и формы не показывает, а слишком крупный сглаживает всё до двух-трёх ступеней и прячет вторую вершину. Стёрджесс даёт первое приближение, дальше шаг подбирают глазами: по гистограмме должно читаться, одновершинное распределение или нет, симметричное или скошенное. С этой прикидки обычно и начинают проверку нормальности.

Гистограмма описывает один признак. Когда признаков два и нужно увидеть связь между ними, строят другую диаграмму - корреляционное поле.

Частые ошибки

• Столбики рисуют с зазорами. Признак непрерывен, интервалы стыкуются, поэтому и прямоугольники обязаны соприкасаться. Зазор превращает гистограмму в столбиковую диаграмму, а она строится для качественных признаков.
• Высоту берут равной частоте при неравных интервалах. Широкая группа тогда завышается пропорционально своей ширине. Высота - только плотность $n_i / h_i$.
• По горизонтальной оси откладывают середины интервалов вместо границ. Середины нужны для полигона и для расчёта средней, у гистограммы основание столбика - весь интервал от $a_i$ до $b_i$.
• Наблюдение на границе считают дважды. Значение 35 не может попасть и в интервал от 30 до 35, и в интервал от 35 до 40. Договариваются один раз: границу относят к правому интервалу, тогда сумма частот сойдётся с $n$.
• Не проверяют сумму. Пять минут на подсчёт $\sum n_i$ и площади $S = n$ ловят и потерянное наблюдение, и арифметику в плотностях.
• Округляют $k$ вниз всегда. Округление выбирают так, чтобы шаг получился удобным для чтения: при $k = 7{,}644$ восемь интервалов дают ровное $h = 5$, а семь дали бы 5,71 и нечитаемые границы.

FAQ

Чем гистограмма отличается от полигона частот? Гистограмма - фигура из примыкающих прямоугольников, её строят для интервального ряда, и частоту на ней изображает площадь столбика. Полигон - ломаная по точкам, его строят для дискретного ряда, а для интервального - по серединам интервалов. Из готовой гистограммы полигон получают, соединив середины верхних сторон столбиков.

Можно ли откладывать по вертикальной оси просто частоты? При равных интервалах да: форма фигуры не изменится, поменяется лишь масштаб оси, и в большинстве методичек такой чертёж принимают. Но проверка по площади тогда не работает, а при неравных интервалах чертёж становится неверным. Строгое определение требует плотность $n_i / h$.

Как выбрать число интервалов, если формула Стёрджесса даёт неудобное значение? Стёрджесс - ориентир, а не закон. Его результат округляют в ту сторону, где шаг получается круглым, а при выборке в несколько тысяч наблюдений он заметно занижает число интервалов, и берут правило Райса или формулу Скотта. Ориентируются на то, чтобы в каждый интервал попало хотя бы пять наблюдений.

Что показывает площадь гистограммы? Для гистограммы частот площадь равна объёму выборки $n$, для гистограммы относительных частот - единице. Площадь части фигуры над несколькими интервалами равна числу (или доле) наблюдений, попавших в эти интервалы: например, над отрезком от 35 до 45 площадь равна $21 + 20 = 41$ наблюдению.

Коротко

1. Найти объём выборки $n = \sum n_i$ и размах $R = x_{\max} - x_{\min}$. В примере $n = 100$, $R = 40$ деталей.
2. Вычислить число интервалов по Стёрджессу: $k = 1 + 3{,}322 \lg n = 7{,}644 \approx 8$, и шаг $h = R / k = 40 / 8 = 5$.
3. Разметить границы от $x_{\min}$ с шагом $h$ (20, 25, ..., 60) и свести в таблицу частоты $n_i$, частости $w_i$ и плотности $n_i / h$.
4. Построить примыкающие прямоугольники высотой $n_i / h$: 0,8; 1,8; 3,0; 4,2; 4,0; 3,0; 2,0; 1,2. Самый высокий столбик - на интервале от 35 до 40 деталей.
5. Проверить: площадь фигуры $S = h \sum (n_i / h) = 100 = n$. При неравных интервалах высотой брать плотность $n_i / h_i$, иначе широкая группа даст ложный пик.