Как построить ящик с усами: пример с решением

Дано: время решения задачи 12 студентами, мин: 20, 15, 28, 12, 45, 18, 23, 17, 30, 15, 25, 21. Найти: квартили, межквартильный размах, границы усов, выбросы и сам чертёж.

Ящик с усами (боксплот) полностью задаётся пятью числами: конец левого уса, $Q_1$, медиана, $Q_3$ и конец правого уса, а всё, что вышло за границы $Q_1 - 1{,}5 \cdot IQR$ и $Q_3 + 1{,}5 \cdot IQR$, рисуется отдельными точками. Ответ: $Q_1 = 16$, $M_e = 20{,}5$, $Q_3 = 26{,}5$, $IQR = 10{,}5$, усы тянутся от 12 до 30, значение 45 - выброс. Калькулятор сверху перестраивает ящик под любую выборку и показывает границы оранжевым пунктиром.

Решение по шагам

Дано. Время решения задачи, мин: 20, 15, 28, 12, 45, 18, 23, 17, 30, 15, 25, 21. Объём выборки $n = 12$.

Найти: $Q_1$, $M_e$, $Q_3$, $IQR$, границы усов, выбросы и разметку чертежа.

Шаг 1. Упорядочить выборку. Квартили - порядковые характеристики, они определены только для ранжированного ряда, поэтому первым действием значения выписывают по возрастанию и нумеруют:

Повторяющиеся значения выписываются оба: в ранжированном ряду столько же членов, сколько было наблюдений.

Шаг 2. Найти медиану. Объём выборки чётный, значит середина приходится между шестым и седьмым членами:

$$M_e = \frac{x_{(6)} + x_{(7)}}{2} = \frac{20 + 21}{2} = 20{,}5 \text{ мин}.$$

Медиана - она же второй квартиль $Q_2$: слева и справа от неё лежит по половине наблюдений.

Шаг 3. Найти квартили как медианы половин. Медиана разрезала ряд на две половины по шесть значений. Младшая половина - 12, 15, 15, 17, 18, 20; старшая - 21, 23, 25, 28, 30, 45. Первый квартиль - медиана младшей половины, третий - медиана старшей:

$$\begin{aligned} Q_1 &= \frac{15 + 17}{2} = 16 \text{ мин}, \\ Q_3 &= \frac{25 + 28}{2} = 26{,}5 \text{ мин}. \end{aligned}$$

Шаг 4. Посчитать межквартильный размах. Это ширина будущего ящика - расстояние между третьим и первым квартилями:

$$IQR = Q_3 - Q_1 = 26{,}5 - 16 = 10{,}5 \text{ мин}.$$

Внутри этого промежутка лежит центральная половина выборки: шесть наблюдений из двенадцати.

Шаг 5. Найти границы усов. По правилу полутора межквартильных размахов отступаем от каждой стенки ящика на $1{,}5 \cdot IQR = 1{,}5 \cdot 10{,}5 = 15{,}75$:

$$\begin{aligned} \text{нижняя граница} &= Q_1 - 1{,}5 \cdot IQR = 16 - 15{,}75 = 0{,}25, \\ \text{верхняя граница} &= Q_3 + 1{,}5 \cdot IQR = 26{,}5 + 15{,}75 = 42{,}25. \end{aligned}$$

Шаг 6. Отделить выбросы и дотянуть усы. Сравниваем крайние значения с границами. Минимум 12 больше 0,25 - он внутри. Максимум 45 больше 42,25, то есть лежит за верхней границей, значит это выброс. Следующее по величине наблюдение 30 уже помещается внутрь границ, поэтому правый ус заканчивается на 30, а левый - на минимуме 12:

$$\text{ус влево до } 12, \qquad \text{ус вправо до } 30, \qquad \text{выброс: } 45.$$

Главное здесь: ус рисуется до крайнего реального наблюдения внутри границ, а не до самой границы 42,25. Граница - только линейка для отсева, на чертеже её не показывают.

Шаг 7. Разметить чертёж. На горизонтальной шкале времени строим прямоугольник от 16 до 26,5 - это ящик, внутри него на отметке 20,5 проводим жирную черту медианы. От стенок выпускаем усы влево до 12 и вправо до 30, концы закрываем короткими вертикальными засечками. Наблюдение 45 ставим отдельной точкой правее правого уса.

Ответ. $Q_1 = 16$ мин, $M_e = 20{,}5$ мин, $Q_3 = 26{,}5$ мин, $IQR = 10{,}5$ мин, границы усов 0,25 и 42,25, концы усов 12 и 30, единственный выброс - 45 мин.

Формулы: квартили, IQR и правило полутора размахов

Квартили делят ранжированный ряд на четыре равные по численности части: ниже $Q_1$ лежит четверть наблюдений, ниже $Q_2 = M_e$ - половина, ниже $Q_3$ - три четверти. Отсюда и определение через медианы: медиана делит ряд пополам, а $Q_1$ и $Q_3$ делят пополам получившиеся половины.

$$Q_1 = \operatorname{med}\{x_{(1)}, \ldots\},\qquad Q_3 = \operatorname{med}\{\ldots, x_{(n)}\},\qquad IQR = Q_3 - Q_1.$$

При нечётном объёме выборки сама медиана в половины не включается: если $n = 9$, то в младшей половине четыре первых члена, в старшей - четыре последних, а пятый остаётся медианой.

Межквартильный размах устроен как размах $R = x_{\max} - x_{\min}$, только считается по центральной половине данных. Именно поэтому он устойчив: одно аномальное значение сдвигает $R$ на сколько угодно, но на $IQR$ почти не влияет. В нашей задаче размах равен $45 - 12 = 33$ мин, а $IQR$ - всего 10,5 мин, и вся разница создана одним студентом.

Границы усов задаются формулами

$$L = Q_1 - k \cdot IQR, \qquad U = Q_3 + k \cdot IQR, \qquad k = 1{,}5,$$

и наблюдение считается выбросом, если оно меньше $L$ или больше $U$. Множитель 1,5 предложил Джон Тьюки, автор самого боксплота: для нормального распределения за такие границы выходит примерно 0,7 % значений, то есть срабатывание правила - уже повод присмотреться к данным. Значение $k = 3$ используют для «сильных» выбросов; в нашей задаче верхняя граница стала бы $26{,}5 + 3 \cdot 10{,}5 = 58$, и 45 мин перестало бы считаться аномалией. Множитель переключается ползунком в калькуляторе сверху.

Второй способ считать квартили: линейная интерполяция

Метод медиан половин удобен для ручного счёта, но пакеты статистики считают иначе: позиция квартиля вычисляется как $p(n-1)$ (нумерация с нуля), а дробная позиция добирается долей соседнего значения. Так работают КВАРТИЛЬ.ВКЛ в Excel, numpy.percentile и pandas.describe.

Для нашего ряда позиция $Q_1$ равна $0{,}25 \cdot 11 = 2{,}75$, то есть между третьим и четвёртым членами: $15 + 0{,}75 \cdot (17 - 15) = 16{,}5$. Позиция $Q_3$ равна $0{,}75 \cdot 11 = 8{,}25$: $25 + 0{,}25 \cdot (28 - 25) = 25{,}75$. Тогда $IQR = 9{,}25$, а верхняя граница $25{,}75 + 13{,}875 = 39{,}625$.

Ящик получился чуть уже, но вывод не изменился: 45 по-прежнему за границей, усы по-прежнему дотягиваются до 12 и 30. Способ расчёта меняет квартили на доли деления и почти никогда не меняет ответ про выбросы. В контрольной считай так, как давали на лекции, и указывай метод: расхождение с ответом преподавателя чаще объясняется разными определениями квартиля, а не арифметикой. Переключатель метода в калькуляторе показывает оба варианта на одном ряду.

Что читается по готовому ящику

Ящик отвечает сразу на четыре вопроса. Где центр: медиана 20,5 мин, столько заняло решение у половины группы. Насколько плотно сидят данные: ширина ящика 10,5 мин. Симметрично ли распределение: медиана стоит ближе к левой стенке (от $Q_1$ до $M_e$ - 4,5 мин, от $M_e$ до $Q_3$ - 6 мин), а правый ус длиннее левого, значит хвост вытянут вправо. Отсюда и разрыв между средним 22,4 мин и медианой: среднее тянут вверх медленные студенты.

И наконец, аномалии: отмеченное значение 45 мин не обязано быть ошибкой, выброс - это сигнал «посмотри на это наблюдение», а не приговор.

Ящик намеренно грубее гистограммы: двухвершинность и провалы внутри он не покажет. Форму распределения смотрят по ломаной частот - это разобрано в задаче как построить полигон частот, а число интервалов для гистограммы берут по формуле Стёрджесса. Зато ящики незаменимы для сравнения: несколько групп рисуют на одной шкале, и разница медиан и разброса видна мгновенно. Когда сравнивать нужно относительный разброс групп с разными средними, берут коэффициент вариации.

Частые ошибки

• Считают квартили по неупорядоченному ряду. Пока значения не выписаны по возрастанию, ни медианы, ни половин ряда не существует. Ранжирование - обязательный первый шаг, а не формальность.
• Тянут усы до границ, а не до наблюдений. Правый ус в задаче заканчивается на 30, а не на 42,25. Граница - это порог отсева, ус же всегда упирается в реальное значение выборки.
• Путают $IQR$ и размах. Размах считается по крайним значениям и равен здесь 33 мин, межквартильный размах - по стенкам ящика и равен 10,5 мин. В формулу границ подставляется именно $IQR$.
• Забывают про 1,5 и берут $Q_3 + IQR$. Без множителя верхняя граница станет 37 мин вместо 42,25, порог отсева окажется мягче правила и в выбросы начнёт попадать лишнее. Множитель по умолчанию равен 1,5, значение 3 берут только для сильных выбросов и оговаривают отдельно.
• Включают медиану в обе половины при нечётном $n$. Если $n$ нечётное, средний член не входит ни в младшую, ни в старшую половину, иначе квартили сместятся к центру.
• Считают, что медиана всегда посередине ящика. Смещение медианы к стенке - это и есть асимметрия распределения, и именно ради неё ящик рисуют.

FAQ

Чем ящик с усами отличается от гистограммы? Гистограмма показывает форму распределения по интервалам, ящик - только пять чисел сводки и выбросы. Ящик компактнее и удобен для сравнения нескольких групп на одной шкале, но он не различает одновершинное и двухвершинное распределения с одинаковыми квартилями.

Почему множитель именно 1,5? Это эмпирический выбор Тьюки. При нормальном распределении границы отстоят от среднего примерно на 2,7 стандартных отклонения, за них выходит около 0,7 % значений: порог достаточно строгий, чтобы не помечать выбросом каждое второе наблюдение, и достаточно мягкий, чтобы аномалии не проскакивали.

Что делать с найденным выбросом? Сначала проверить происхождение: описка при вводе, сбой прибора, другая единица измерения. Ошибку исправляют или удаляют, а настоящее редкое значение оставляют в выборке и на графике. Удалять наблюдение только потому, что оно портит картину, нельзя.

Как построить ящик с усами по сгруппированным данным? По интервальному ряду квартили находят через накопленные частоты: определяют интервал, в котором накопленная частота впервые превышает $n/4$ (для $Q_1$) или $3n/4$ (для $Q_3$), и уточняют значение линейной интерполяцией внутри интервала. Дальше построение идёт по тому же алгоритму.

Коротко

1. Упорядочить выборку по возрастанию и найти медиану $M_e$: при чётном $n$ это полусумма двух средних членов. У нас $M_e = 20{,}5$ мин.
2. Найти $Q_1$ и $Q_3$ как медианы младшей и старшей половин ряда: $Q_1 = 16$ мин, $Q_3 = 26{,}5$ мин.
3. Посчитать межквартильный размах $IQR = Q_3 - Q_1 = 10{,}5$ мин - это ширина ящика.
4. Найти границы $Q_1 - 1{,}5 \cdot IQR = 0{,}25$ и $Q_3 + 1{,}5 \cdot IQR = 42{,}25$; всё, что за ними, - выбросы, здесь это 45 мин.
5. Дотянуть усы до крайних наблюдений внутри границ (12 и 30), нарисовать ящик от 16 до 26,5 с чертой медианы на 20,5 и поставить выброс отдельной точкой.