Как построить полигон частот: пример с решением

Дано: распределение 50 семей по числу человек. Варианты $x_i$: 2, 3, 4, 5, 6; частоты $n_i$: 5, 12, 18, 10, 5. Найти: полигон частот, моду, медиану и выборочное среднее.

Полигон частот - это ломаная, соединяющая точки $(x_i;\ n_i)$: варианты откладываются по горизонтальной оси, частоты - по вертикальной. Строится он в три действия: проверить объём выборки, отметить точки, соединить их отрезками и опустить крайние звенья на ось. Ответ: ломаная проходит через точки (2; 5), (3; 12), (4; 18), (5; 10), (6; 5), а мода $M_o = 4$, медиана $M_e = 4$, выборочное среднее $\bar{x} = 3{,}96$. Калькулятор сверху перестраивает ломаную под любые частоты и сразу пересчитывает эти характеристики.

Решение по шагам

Дано. Опрошены 50 семей, признак $X$ - число человек в семье. Дискретный вариационный ряд:

Найти: полигон частот, полигон относительных частот, моду, медиану, выборочное среднее.

Шаг 1. Проверить объём выборки. Сумма всех частот обязана совпасть с числом наблюдений:

$$n = \sum_{i=1}^{k} n_i = 5 + 12 + 18 + 10 + 5 = 50.$$

Совпало: опрошено 50 семей, сумма частот равна 50. Если бы суммы разошлись, строить полигон было бы бессмысленно - часть данных потеряна или продублирована, и такую проверку делают до всего остального.

Шаг 2. Выбрать оси и масштаб. По оси абсцисс откладываются варианты $x_i$ - числа от 2 до 6 с шагом 1. По оси ординат - частоты $n_i$; максимальная частота равна 18, поэтому ось удобно размечать до 20 с делением 2. Масштаб по осям может быть разным, но внутри одной оси шаг обязан быть постоянным: сжатая или растянутая в одном месте шкала искажает форму ломаной.

Шаг 3. Отметить точки и соединить их. Ставим пять точек: (2; 5), (3; 12), (4; 18), (5; 10), (6; 5). Соседние точки соединяем прямыми отрезками - получается ломаная из четырёх звеньев. Чтобы фигура замкнулась, крайние звенья опускают на ось абсцисс: слева до точки (1; 0), справа до точки (7; 0), то есть отступают на один шаг наблюдения влево и вправо. Замкнутый полигон удобен тем, что площадь под ним пропорциональна объёму выборки.

Шаг 4. Найти моду. Мода дискретного ряда - варианта с наибольшей частотой. Наибольшая частота $n_3 = 18$ отвечает варианте $x_3 = 4$, поэтому $M_o = 4$. На чертеже мода видна сразу: это абсцисса самой высокой вершины ломаной.

Шаг 5. Найти медиану. Накопленные частоты: 5, 17, 35, 45, 50. Половина объёма выборки равна $n/2 = 25$; первая накопленная частота, которая достигает 25, - это 35, она отвечает варианте 4. Значит $M_e = 4$.

Шаг 6. Найти выборочное среднее. Считаем среднюю взвешенную, где весами служат частоты:

$$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k} x_i n_i = \frac{2 \cdot 5 + 3 \cdot 12 + 4 \cdot 18 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 5}{50} = \frac{198}{50} = 3{,}96.$$

Для полноты картины найдём разброс. Выборочная дисперсия через вторые моменты:

$$D_{\text{в}} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k} x_i^2 n_i - \bar{x}^2 = \frac{846}{50} - 3{,}96^2 = 16{,}92 - 15{,}6816 = 1{,}2384,$$

отсюда $\sigma = \sqrt{1{,}2384} \approx 1{,}113$.

Ответ. Полигон частот - ломаная через точки (2; 5), (3; 12), (4; 18), (5; 10), (6; 5), замкнутая на ось в точках (1; 0) и (7; 0). Мода $M_o = 4$, медиана $M_e = 4$, выборочное среднее $\bar{x} = 3{,}96$ человека, среднее квадратическое отклонение $\sigma \approx 1{,}11$.

Что такое полигон частот и откуда берутся его точки

Полигон частот - графическое изображение дискретного вариационного ряда. Ряд задаётся двумя строками: перечнем различных значений признака $x_1 < x_2 < \dots < x_k$ (варианты) и числом их появлений $n_1, n_2, \dots, n_k$ (частоты). Каждой паре «варианта - частота» отвечает одна точка плоскости, а полигон - ломаная, последовательно соединяющая эти точки слева направо.

Смысл ломаной в том, что она приближает график неизвестной закономерности, по которой распределён признак. Чем больше объём выборки, тем ближе полигон относительных частот к графику истинного распределения: это прямое следствие того, что относительная частота стремится к вероятности. Именно поэтому полигон почти никогда не рисуют «просто так» - он служит первым шагом при выборе модели распределения и при поиске функции распределения выборки.

Отрезки между точками - условность, а не утверждение о данных. Признак дискретный, промежуточных значений вроде 3,5 человека в семье не существует, и точка на середине звена ничего не измеряет. Звенья нужны только затем, чтобы глаз воспринимал общую форму: одна вершина или две, симметрично ли распределение, есть ли тяжёлый хвост.

Полигон относительных частот и кумулята

Кроме частот $n_i$ по оси ординат откладывают относительные частоты (частости) $w_i = n_i / n$. Для нашего ряда они равны 0,10; 0,24; 0,36; 0,20; 0,10, а их сумма - единица, и это ещё одна проверка расчёта. Форма ломаной не меняется, меняется только масштаб вертикальной оси, зато полигон относительных частот можно сравнивать с полигоном другой выборки, даже если объёмы выборок разные. Сравнивать «сырые» частоты выборок на 50 и 500 наблюдений бессмысленно.

Третий вариант ординаты - накопленные частоты: в точке $x_i$ откладывают сумму частот всех вариант, не превосходящих $x_i$. Полученная ломаная называется кумулятой; она не убывает и заканчивается на уровне $n$. По кумуляте снимают медиану и квантили: достаточно провести горизонталь на уровне $n/2$ и посмотреть, где она пересекает ломаную. Переключатель в калькуляторе сверху показывает все три варианта на одних и тех же данных.

Полигон интервального ряда и чем он отличается от гистограммы

Если признак непрерывный, ряд задают интервалами, и точек с конкретными абсциссами у нас как будто нет. Выход стандартный: за абсциссу берут середину интервала $x_i^* = (a_i + b_i)/2$, ординатой оставляют частоту, и дальше всё как в дискретном случае. По тем же серединам считается и средняя по интервальному ряду, так что таблица для графика и таблица для расчёта средней совпадают. Про выбор числа интервалов и формулу Стёрджесса подробно написано в разборе группировки статистических данных.

Гистограмма - другой график и для других данных: это столбики, опирающиеся на интервалы, и площадь столбика равна частоте интервала. Полигон рисуют для дискретного ряда, гистограмму - для интервального; для интервального ряда полигон получают, соединив середины верхних сторон столбиков гистограммы. Обратное неверно: у дискретного ряда интервалов нет, и гистограмма для него не определена. По той же таблице частот удобно оценить и однородность выборки через коэффициент вариации.

Частые ошибки

• Не проверяют сумму частот. Если $\sum n_i$ не равна объёму выборки, ошибка в подсчёте вариант, а не в чертеже. Проверка занимает одну строку и ловит потерянное наблюдение.
• Соединяют столбики вместо точек. Полигон строится по точкам $(x_i;\ n_i)$, а не по вершинам нарисованной гистограммы дискретного ряда. Гистограмма у дискретного ряда не определена вовсе.
• Забывают упорядочить варианты. Вариационный ряд по определению упорядочен по возрастанию. Если точки взяты в порядке появления в опросе, ломаная получится с петлями и никакого распределения не покажет.
• Берут неравномерный шаг по оси абсцисс. Варианты 2, 3, 4, 5, 6 обязаны стоять на равных расстояниях. Если варианты нечисловые (марка, цвет), полигон вообще не строят - там уместна столбиковая диаграмма.
• Путают моду с её частотой. Мода - это варианта 4, а не число 18. Ответ «мода равна 18» встречается в работах чаще всего.
• Не замыкают крайние звенья. Формально полигон допустимо оставить незамкнутым, но в большинстве учебных методичек требуют опустить края на ось, отступив один шаг влево и вправо.

FAQ

Чем полигон частот отличается от полигона относительных частот? Только осью ординат: в первом случае откладывают частоты $n_i$, во втором - частости $w_i = n_i/n$. Форма ломаной одинаковая, потому что все ординаты поделены на одно и то же число $n$. Относительные частоты нужны, когда сравнивают выборки разного объёма.

Как построить полигон, если частоты заданы в процентах? Проценты - это те же относительные частоты, умноженные на 100. Можно откладывать их напрямую, подписав ось «процент», а можно поделить на 100 и получить частости. Сумма обязана дать 100 процентов или единицу соответственно.

Нужно ли соединять крайние точки с осью? В стандартном определении полигон замыкают: слева добавляют точку с абсциссой $x_1 - h$, справа - $x_k + h$, где $h$ - шаг вариант, а ординаты этих точек нулевые. Тогда площадь под ломаной пропорциональна объёму выборки. В части задач замыкание не требуют, поэтому смотрят на условие.

Как найти моду и медиану по готовому полигону? Мода - абсцисса самой высокой вершины ломаной. Медиану по полигону частот точно не снять, для неё строят кумуляту и проводят горизонталь на уровне $n/2$: абсцисса точки пересечения и есть медиана.

Коротко

1. Составить дискретный вариационный ряд: упорядоченные варианты $x_i$ и частоты $n_i$; проверить, что $\sum n_i = n$. В примере $n = 50$.
2. Разметить оси: по горизонтали варианты с постоянным шагом, по вертикали частоты до значения чуть выше максимальной.
3. Отметить точки $(x_i;\ n_i)$ и соединить их отрезками; крайние звенья опустить на ось в точках $x_1 - h$ и $x_k + h$.
4. При необходимости перейти к относительным частотам $w_i = n_i/n$ (сумма равна единице) или к накопленным частотам и кумуляте.
5. Ответ примера: ломаная через (2; 5), (3; 12), (4; 18), (5; 10), (6; 5); мода $M_o = 4$, медиана $M_e = 4$, среднее $\bar{x} = 3{,}96$, отклонение $\sigma \approx 1{,}11$.