Распределение хи-квадрат таблица значений: как читать

Когда нужно проверить, согласуются ли наблюдаемые частоты с теоретическими, или сравнить две категориальные переменные на независимость, исследователь обращается к распределению хи-квадрат и его таблице значений. Сама по себе вычисленная статистика $\chi^2$ ничего не говорит, пока её не с чем сравнить - порог берётся из таблицы критических значений по числу степеней свободы и выбранному уровню значимости. Ниже разберём, как устроена таблица распределения хи-квадрат, как правильно находить в ней нужную ячейку и где типично ошибаются при чтении.

Что такое распределение хи-квадрат

Распределение хи-квадрат с $k$ степенями свободы - это распределение суммы квадратов $k$ независимых стандартных нормальных величин:

$\chi^2_k = \sum_{i=1}^{k} Z_i^2, \qquad Z_i \sim N(0,1).$

Оно определено только на положительной полуоси, асимметрично (скошено вправо) и зависит от единственного параметра - числа степеней свободы $k$. Математическое ожидание равно $k$, а дисперсия - $2k$. С ростом $k$ кривая становится всё более симметричной и при больших $k$ приближается к нормальной. Именно асимметрия и зависимость формы от $k$ делают невозможным «угадать» критическое значение в уме - поэтому и существует таблица распределения хи-квадрат.

Если вам нужно быстро найти критическое значение $\chi^2$ для конкретных степеней свободы и уровня значимости, соберите запрос в калькуляторе ниже - он подставит ваши параметры и пояснит, как пользоваться таблицей.

Как устроена таблица значений

Таблица распределения хи-квадрат - это двумерная сетка. По строкам отложены степени свободы $k$ (обычно от 1 до 30, дальше с шагом), по столбцам - уровень значимости $\alpha$ (или, в других вариантах таблицы, доверительная вероятность $p = 1-\alpha$). На пересечении строки и столбца стоит критическое значение $\chi^2_{\alpha,\,k}$ - квантиль, такой что

$P\bigl(\chi^2_k > \chi^2_{\alpha,\,k}\bigr) = \alpha.$

То есть в правом хвосте распределения остаётся ровно доля вероятности $\alpha$. Например, для $k = 5$ и $\alpha = 0{,}05$ табличное значение составляет $\chi^2_{0{,}05;\,5} \approx 11{,}07$. Это значит: если верна нулевая гипотеза, вероятность получить $\chi^2$ больше $11{,}07$ равна всего $5\%$.

Как найти нужное значение: пошагово

Чтобы корректно прочитать таблицу, действуйте по порядку:

1. Определите число степеней свободы $k$. Для критерия согласия Пирсона это $k = m - 1 - r$, где $m$ - число категорий (интервалов), а $r$ - число оценённых по выборке параметров распределения. Для таблицы сопряжённости $r \times c$ степени свободы равны $(r-1)(c-1)$.
2. Выберите уровень значимости $\alpha$ - чаще всего $0{,}05$, реже $0{,}01$ или $0{,}10$.
3. Найдите строку с нужным $k$ и столбец с нужным $\alpha$.
4. Считайте значение на их пересечении - это и есть критическое $\chi^2_{\alpha,\,k}$.
5. Сравните с наблюдённой статистикой: если $\chi^2_{\text{набл}} > \chi^2_{\alpha,\,k}$, нулевая гипотеза отвергается.

Логика выбора степеней свободы здесь та же, что и в распределении Стьюдента, где они задают форму кривой: каждый оценённый по данным параметр «съедает» одну степень свободы.

Критерий согласия Пирсона

Самое частое применение таблицы - критерий согласия $\chi^2$ Пирсона. Он проверяет, насколько наблюдаемые частоты $O_i$ отклоняются от теоретических $E_i$:

$\chi^2 = \sum_{i=1}^{m} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}.$

Полученное значение сравнивают с табличным $\chi^2_{\alpha,\,k}$ при $k = m - 1 - r$. Если статистика превышает порог, расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами признаётся значимым, и гипотеза о согласии с предполагаемым законом отвергается. Важное техническое условие: критерий работает корректно, когда ожидаемые частоты в каждой ячейке не слишком малы (обычно требуют $E_i \geq 5$), иначе аппроксимация хи-квадрат становится неточной.

Критические значения и уровень значимости

Ключевая закономерность таблицы: при фиксированном $\alpha$ критическое значение растёт с увеличением степеней свободы, потому что вместе с $k$ растёт и среднее распределения ($E[\chi^2_k] = k$). А при фиксированном $k$ значение растёт с уменьшением $\alpha$: чем строже мы хотим контролировать ошибку первого рода, тем дальше в правый хвост уходит порог.

Для больших $k$, выходящих за пределы таблицы, пользуются приближением Уилсона - Хилферти или нормальной аппроксимацией: величина $\sqrt{2\chi^2} - \sqrt{2k-1}$ приближённо стандартно-нормальна, что позволяет оценить квантиль без таблицы.

Доверительный интервал для дисперсии

Помимо проверки гипотез, таблица хи-квадрат нужна для интервальной оценки дисперсии нормальной совокупности. Если по выборке объёма $n$ получена выборочная дисперсия $s^2$, то

$\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2,\,n-1}} \leq \sigma^2 \leq \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\,n-1}}.$

Здесь из таблицы берутся уже два значения - для $\alpha/2$ и $1-\alpha/2$, то есть оба хвоста. Это тот случай, когда нужна именно двусторонняя работа с таблицей. Распределение хи-квадрат входит в «семью» выборочных распределений вместе с распределением Фишера и его критическими значениями: отношение двух независимых $\chi^2$, делённых на их степени свободы, как раз и даёт F-распределение.

Частые ошибки

• Берут неверное число степеней свободы. В критерии согласия часто забывают вычесть оценённые параметры: при подгонке нормального закона теряются ещё две степени свободы (на среднее и дисперсию), и $k = m - 3$, а не $m - 1$.
• Путают столбцы α и p = 1−α. Если шапка подписана доверительной вероятностью, для $\alpha = 0{,}05$ нужен столбец «0,95», а не «0,05».
• Сравнивают статистику с порогом не в ту сторону. Для критерия Пирсона H0 отвергают при $\chi^2_{\text{набл}} > \chi^2_{\alpha,\,k}$, то есть при больших значениях, а не при малых.
• Применяют критерий при малых ожидаемых частотах. При $E_i < 5$ аппроксимация хи-квадрат ломается; ячейки нужно объединять или использовать точный критерий.
• Используют двустороннюю таблицу там, где нужен один хвост. Для согласия и независимости работает только правый хвост; двусторонние пороги - лишь для доверительных интервалов на дисперсию.

FAQ

Что означают строки и столбцы в таблице хи-квадрат? Строки - это число степеней свободы $k$, столбцы - уровень значимости $\alpha$ (или доверительная вероятность $1-\alpha$). На пересечении стоит критическое значение $\chi^2_{\alpha,\,k}$, выше которого в правом хвосте лежит доля вероятности $\alpha$.

Как определить степени свободы для критерия Пирсона? По формуле $k = m - 1 - r$, где $m$ - число категорий или интервалов, $r$ - число параметров распределения, оценённых по той же выборке. Для таблицы сопряжённости $r \times c$ степени свободы равны $(r-1)(c-1)$.

Что делать, если нужного $k$ нет в таблице? Для больших степеней свободы применяют нормальную аппроксимацию: $\sqrt{2\chi^2_{\alpha,\,k}} \approx z_\alpha + \sqrt{2k-1}$, где $z_\alpha$ - квантиль стандартного нормального распределения. Это даёт хорошее приближение критического значения при $k > 30$.

Коротко

Таблица распределения хи-квадрат связывает число степеней свободы $k$ и уровень значимости $\alpha$ с критическим значением $\chi^2_{\alpha,\,k}$, отсекающим долю $\alpha$ в правом хвосте. Чтобы прочитать её правильно, нужно верно посчитать степени свободы (для критерия Пирсона $k = m-1-r$), выбрать $\alpha$, найти ячейку на пересечении и сравнить наблюдённую статистику с порогом: H0 отвергается при превышении. Для доверительных интервалов на дисперсию таблица используется с обоих хвостов, а за пределами табличных $k$ выручает нормальная аппроксимация.