Вероятность суммы совместных событий: формула сложения

Сумма двух событий $A$ и $B$ - это событие, которое наступает, когда происходит хотя бы одно из них: $A$, $B$ или оба сразу. Если события несовместны (вместе наступить не могут), вероятность суммы - это просто $P(A) + P(B)$. Но как только события могут произойти одновременно, такое сложение даёт завышенный результат: общую часть мы посчитали дважды. Чтобы исправить это, из суммы вычитают вероятность совместного наступления. Ниже разберём формулу сложения для совместных событий, поймём, откуда берётся вычитаемое слагаемое, и прогоним её на типовых задачах. Подставьте свои числа в калькулятор - он сразу покажет разложение результата.

Совместные и несовместные события

Два события называют несовместными, если в одном испытании они не могут наступить вместе: выпадение «орла» и «решки» при одном броске монеты, появление туза и шестёрки при вынимании одной карты. Для несовместных событий пересечение пусто, и вероятность их совместного наступления равна нулю.

События совместны, если могут произойти одновременно. Классический пример - вынуть из колоды карту, которая одновременно дама и червовой масти (дама червей). Здесь событие «дама» и событие «червь» пересекаются: существует исход, входящий в оба сразу.

Различие принципиально: именно от него зависит, какую формулу сложения применять. Спутать совместность с несовместностью - самая частая причина ошибки в задачах на сумму событий.

Формула сложения для совместных событий

Основная формула выглядит так:

$$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)$$

Здесь $P(A + B)$ - вероятность суммы (объединения) событий, то есть вероятность того, что наступит $A$ или $B$ (или оба). $P(AB)$ - вероятность произведения событий, их совместного наступления; в другой записи это $P(A \cap B)$.

Смысл вычитания нагляден на диаграмме Эйлера-Венна. Площадь объединения двух пересекающихся кругов нельзя получить, просто сложив их площади: общая «линза» войдёт в сумму два раза - один раз от круга $A$, второй от круга $B$. Чтобы посчитать её ровно один раз, лишнюю копию убирают, вычитая $P(AB)$.

Формулу удобно читать как «сложили всё, вычли двойной учёт». Именно эту логику и реализует калькулятор выше: он раскладывает итог на три непересекающиеся части - «только $A$», «общее $AB$» и «только $B$».

Почему пересечение вычитается ровно один раз

Разложим объединение на непересекающиеся куски. Событие $A + B$ распадается на три несовместных события:

$$\begin{aligned} &\text{только } A: \quad P(A) - P(AB), \\ &\text{общее } AB: \quad P(AB), \\ &\text{только } B: \quad P(B) - P(AB). \end{aligned}$$

Сложим их вместе:

$$\bigl(P(A) - P(AB)\bigr) + P(AB) + \bigl(P(B) - P(AB)\bigr) = P(A) + P(B) - P(AB).$$

Получили ту же формулу. Это и есть строгое обоснование: пересечение $P(AB)$ участвует в итоге ровно один раз, а не дважды и не ноль раз. Для несовместных событий слагаемое $P(AB) = 0$, и формула сама собой превращается в $P(A + B) = P(A) + P(B)$ - отдельную формулу запоминать не нужно, частный случай вытекает из общего.

Как найти вероятность пересечения P(AB)

Чтобы воспользоваться формулой, нужно знать $P(AB)$. Способов несколько.

• По условию задачи. Иногда вероятность совместного наступления дана прямо: «вероятность поразить обе мишени равна 0,42».
• Через независимость. Если события $A$ и $B$ независимы, то $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$. Так считают, когда события относятся к разным, не влияющим друг на друга испытаниям (два стрелка, два прибора).
• Через условную вероятность. В общем случае $P(AB) = P(A) \cdot P(B \mid A)$, где $P(B \mid A)$ - вероятность $B$ при условии, что $A$ уже произошло. Это нужно для зависимых событий.
• Прямым подсчётом исходов. В классической схеме (равновозможные исходы) $P(AB)$ - это доля исходов, входящих в оба события. Для дамы червей из 36 карт благоприятный исход ровно один: $P(AB) = 1/36$.

Не путайте независимость и несовместность: несовместные события как раз сильно зависимы (наступление одного исключает другое), и для них $P(AB) = 0$, а вовсе не $P(A)\cdot P(B)$. Подробнее о подсчёте долей благоприятных исходов - в материале про правило суммы и произведения в комбинаторике.

Разбор задачи: попадание хотя бы в одну мишень

Стрелок делает по выстрелу в две мишени. Вероятность поразить первую $P(A) = 0{,}7$, вторую $P(B) = 0{,}6$. Выстрелы независимы. Какова вероятность поразить хотя бы одну мишень?

«Хотя бы одна» - это и есть сумма событий $A + B$. Так как выстрелы независимы, вероятность поразить обе:

$$P(AB) = P(A)\cdot P(B) = 0{,}7 \cdot 0{,}6 = 0{,}42.$$

Подставляем в формулу сложения:

$$P(A + B) = 0{,}7 + 0{,}6 - 0{,}42 = 0{,}88.$$

Проверим через противоположное событие. Не попасть ни в одну: $P(\bar A)\cdot P(\bar B) = 0{,}3 \cdot 0{,}4 = 0{,}12$, тогда $P(A + B) = 1 - 0{,}12 = 0{,}88$. Ответы совпали - формула сложения и переход к противоположному дают одно и то же.

Когда удобнее противоположное событие

Если событий не два, а три и больше, формула сложения разрастается. Для трёх совместных событий она содержит уже все парные и тройное пересечения:

$$\begin{aligned} P(A + B + C) ={}& P(A) + P(B) + P(C) \\ &- P(AB) - P(AC) - P(BC) \\ &+ P(ABC). \end{aligned}$$

Это формула включений и исключений. Считать её вручную громоздко. Поэтому для независимых событий вопрос «хотя бы одно» почти всегда решают через противоположное: вероятность, что ни одно не наступит, равна произведению вероятностей противоположных событий, а искомая - это единица минус оно:

$$P(\text{хотя бы одно}) = 1 - \prod_{i} \bigl(1 - P(A_i)\bigr).$$

Этот приём короче и устойчивее к ошибкам, чем длинная формула включений-исключений.

Частые ошибки

• Сложение совместных событий без вычитания пересечения. Самый частый промах: к совместным событиям применяют формулу для несовместных и получают вероятность больше реальной (а порой и больше 1).
• Путаница независимости и несовместности. Для несовместных событий $P(AB) = 0$, а не $P(A)\cdot P(B)$. Формула $P(AB) = P(A)\cdot P(B)$ верна только для независимых событий.
• Двойное вычитание. В формуле включений-исключений для трёх событий тройное пересечение $P(ABC)$ нужно прибавить обратно - иначе оно окажется вычтенным лишний раз.
• Неверный $P(AB)$ для зависимых событий. Когда события зависимы, пересечение считают по $P(AB) = P(A)\cdot P(B \mid A)$, а не как произведение безусловных вероятностей.
• Подмена «или» на «и». Сумма событий - это «$A$ или $B$», произведение - «$A$ и $B$». Слово «хотя бы один» означает сумму, а не произведение.

FAQ

Чем сумма событий отличается от произведения? Сумма $A + B$ наступает, когда происходит хотя бы одно из событий («$A$ или $B$»). Произведение $AB$ наступает, когда происходят оба сразу («$A$ и $B$»). Вероятность суммы считают по формуле сложения, вероятность произведения - по формуле умножения.

Когда вычитать пересечение, а когда нет? Пересечение вычитают для совместных событий - тех, что могут наступить одновременно. Для несовместных событий пересечение пусто, $P(AB) = 0$, и вычитать нечего: формула сводится к простому $P(A) + P(B)$.

Может ли вероятность суммы быть больше единицы? Нет. Правильно посчитанная по формуле $P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)$ вероятность всегда не превышает 1. Если у вас получилось больше - значит, к совместным событиям применили формулу без вычитания пересечения либо ошиблись в $P(AB)$.

Коротко

Вероятность суммы совместных событий считают по формуле $P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)$: складывают вероятности и вычитают вероятность совместного наступления, чтобы общая зона не учитывалась дважды. Для несовместных событий $P(AB) = 0$ и формула упрощается до $P(A) + P(B)$. Вероятность пересечения находят по условию, через независимость ($P(A)\cdot P(B)$) или через условную вероятность; для «хотя бы одного» из многих независимых событий удобнее считать через противоположное событие.