Как найти среднее линейное отклонение: решение по шагам

Дано: распределение 50 рабочих по дневной выработке, шт.: 30 - 3 человека, 40 - 13, 50 - 18, 60 - 13, 70 - 3. Найти: среднее линейное отклонение и его соотношение со средним квадратическим.

Порядок расчёта короткий: взвешенная средняя, модули отклонений от неё, взвешенная сумма модулей, деление на объём совокупности. Ответ: $\bar{x} = 50$ шт., $d = 7{,}6$ шт., $\sigma = 10$ шт., отношение $d / \sigma = 0{,}76$. Калькулятор сверху считает те же показатели по любому ряду, а ниже идёт разбор с полной расчётной таблицей.

Решение по шагам

Дано. Распределение рабочих по дневной выработке:

Найти: среднее линейное отклонение $d$, среднее квадратическое отклонение $\sigma$ и их отношение.

Шаг 1. Средний уровень ряда. Ряд сгруппирован: каждому значению выработки отвечает своё число рабочих, поэтому средняя берётся взвешенная, а не простая.

$$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{90 + 520 + 900 + 780 + 210}{3 + 13 + 18 + 13 + 3} = \frac{2500}{50} = 50 \text{ шт.}$$

Шаг 2. Отклонения от средней и их модули. Вычитаем из каждого значения ряда найденную среднюю и отбрасываем знак. Все промежуточные величины удобно держать в одной таблице: две первые колонки взяты из условия, третья нужна была для средней, две последние дадут ответ.

Шаг 3. Среднее линейное отклонение. Делим сумму взвешенных модулей на объём совокупности, то есть на сумму частот:

$$d = \frac{\sum f_i \, |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i} = \frac{380}{50} = 7{,}6 \text{ шт.}$$

Смысл числа прямой: в среднем выработка рабочего отличается от среднебригадной на 7,6 детали в ту или другую сторону.

Шаг 4. Среднее квадратическое отклонение для сравнения. Та же таблица, но модули заменены квадратами отклонений:

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum f_i}} = \sqrt{\frac{5000}{50}} = \sqrt{100} = 10 \text{ шт.}$$

Шаг 5. Соотношение двух мер разброса.

$$\frac{d}{\sigma} = \frac{7{,}6}{10} = 0{,}76.$$

Ответ. Среднее линейное отклонение $d = 7{,}6$ шт., среднее квадратическое отклонение $\sigma = 10$ шт., отношение $d / \sigma = 0{,}76$, то есть линейная мера разброса составляет примерно три четверти квадратической.

Формула среднего линейного отклонения и почему в ней модули

Среднее линейное отклонение показывает, на сколько единиц в среднем значения ряда отличаются от своего среднего уровня. Для сгруппированных данных формула взвешенная, для несгруппированных - простая:

$$d = \frac{\sum f_i \, |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i}, \qquad d = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n}.$$

Здесь $x_i$ - значение признака, $f_i$ - его частота (сколько единиц совокупности имеют это значение), $\bar{x}$ - средняя арифметическая ряда, $n$ - число наблюдений. Вторая формула получается из первой при всех $f_i = 1$: если ряд не сгруппирован, каждое значение встречается ровно один раз.

Модули в числителе стоят не для красоты. Сумма отклонений от средней арифметической всегда равна нулю - это её основное свойство: $\sum f_i (x_i - \bar{x}) = 0$. В нашем примере плюсовые отклонения дают $130 + 60 = 190$, минусовые столько же со знаком минус, в сумме ноль. Без модуля показатель разброса был бы нулевым у любого ряда, каким бы разбросанным тот ни был.

Отбросить знак можно двумя способами: взять модуль или возвести в квадрат. Первый путь даёт среднее линейное отклонение, второй - дисперсию и извлечённое из неё среднее квадратическое отклонение. Порядок вычислений во втором случае разобран отдельно в задаче о том, как вычислить дисперсию, здесь она нужна только для сравнения.

Чем среднее линейное отклонение отличается от квадратического

Оба показателя измеряются в тех же единицах, что и сам признак (в деталях, рублях, годах), оба равны нулю только у ряда, где все значения одинаковы, и оба растут вместе с разбросом. Разница в том, как они реагируют на крупные отклонения.

Модуль учитывает отклонение пропорционально его величине: отклонение в 20 деталей весит ровно вдвое больше, чем отклонение в 10. Квадрат же усиливает крупные отклонения непропорционально: 20 против 10 даёт уже 400 против 100, то есть вчетверо. Поэтому $\sigma$ всегда не меньше $d$, и чем длиннее «хвосты» у ряда, тем сильнее они расходятся. Для примерно симметричных рядов отношение $d / \sigma$ держится около 0,8, и наши 0,76 в эту норму укладываются.

Проверить это правило проще всего на ряде с выбросом. Возьми набор 30, 32, 34, 35, 36, 38, 40, 41, 42, 200: средняя равна 52,8, среднее линейное отклонение 29,44, а квадратическое уже 49,20, и отношение падает до 0,60. Одно-единственное выпадающее значение почти не сдвинуло $d$, но заметно раздуло $\sigma$. Отсюда практический вывод: среднее линейное отклонение устойчивее к выбросам и честнее описывает «типичное» расхождение, зато оно неудобно в алгебре - модуль не дифференцируется и не разлагается на межгрупповую и внутригрупповую части, поэтому вся дальнейшая теория вариации строится на дисперсии.

Есть у $d$ и собственное математическое свойство: сумма модулей отклонений минимальна не относительно средней, а относительно медианы. В нашем ряду медиана тоже равна 50, поэтому оба варианта дают одно и то же число, но в асимметричном ряду расчёт от медианы даст меньший результат. Переключатель центра отсчёта в калькуляторе сверху позволяет сравнить оба варианта на своих данных. В учебных задачах, если в условии не оговорено иное, отклонения считают от средней арифметической.

Интервальный ряд и данные без группировки

Если признак задан интервалами, расчёт не меняется - меняется только то, что подставляется вместо $x_i$. От каждого интервала берут его середину, то есть полусумму границ, и дальше работают с ней как с обычным значением дискретного ряда. Пусть 40 предприятий распределены по выручке: 100-200 млн руб. - 8 предприятий, 200-300 - 14, 300-400 - 12, 400-500 - 6. Середины интервалов равны 150, 250, 350 и 450, средняя выручка получается 11600 / 40 = 290 млн руб., сумма взвешенных модулей 1120 + 560 + 720 + 960 = 3360, а среднее линейное отклонение 3360 / 40 = 84 млн руб. Открытый первый или последний интервал перед этим закрывают, приняв его ширину равной ширине соседнего.

Для несгруппированных данных ни частот, ни середин не нужно: берётся простая средняя, модули отклонений складываются и делятся на число наблюдений. Если ряд ещё не упорядочен и не сгруппирован, начинать стоит с построения ряда распределения - это отдельная задача о том, как составить вариационный ряд, и после неё частоты для взвешенной формулы уже готовы.

Относительные показатели: линейный коэффициент вариации и коэффициент осцилляции

Само по себе число 7,6 детали ни о чём не говорит, пока не сопоставлено со средним уровнем: то же отклонение при средней в 50 деталей и при средней в 500 означает совершенно разную однородность. Поэтому вместе с абсолютными мерами считают относительные - они выражаются в процентах и позволяют сравнивать ряды с разными единицами измерения.

$$V_d = \frac{d}{\bar{x}} \cdot 100\% = \frac{7{,}6}{50} \cdot 100\% = 15{,}2\%, \qquad K_R = \frac{R}{\bar{x}} \cdot 100\% = \frac{70 - 30}{50} \cdot 100\% = 80\%.$$

Первый показатель - линейный коэффициент вариации, второй - коэффициент осцилляции, где $R = x_{\max} - x_{\min}$ - размах вариации. Осцилляция всегда заметно больше остальных показателей, потому что опирается только на две крайние точки ряда и игнорирует, как распределены остальные единицы. Третий относительный показатель того же семейства - обычный коэффициент вариации $V = \sigma / \bar{x} \cdot 100\%$, в нашей задаче он равен 20%; порог однородности в 33% относится именно к нему, и расчёт коэффициента вариации разобран отдельно. Все три величины характеризуют один и тот же ряд с разной строгостью: 15,2% по модулям, 20% по квадратам, 80% по крайним значениям.

Частые ошибки

• Забывают модуль. Сумма отклонений от средней тождественно равна нулю, поэтому без модуля ответ всегда выйдет нулевым. Если в расчёте получился ноль при явно разбросанном ряде, знак потерян именно здесь.
• Делят на число групп вместо объёма совокупности. В знаменателе стоит $\sum f_i$, то есть 50 рабочих, а не 5 значений выработки. Деление на 5 дало бы 76 вместо 7,6 - ошибка ровно в десять раз.
• Не умножают модули на частоты. Взвешивание пропускают чаще всего в середине таблицы, где модуль равен нулю и колонка выглядит необязательной. Сумма 380 получается только из произведений, а не из самих модулей.
• Путают среднее линейное отклонение со средним квадратическим. Это разные показатели и разные числа: 7,6 против 10 на одних и тех же данных. Буква $d$ относится к модулям, буква $\sigma$ - к квадратам.
• Округляют среднюю до целых на первом шаге. Если $\bar{x}$ получилась дробной, округление до целого числа тянет ошибку во все модули сразу. Средняя округляется в последнюю очередь, вместе с ответом.
• Берут середины интервалов на глаз. Для интервала 200-300 середина равна 250, а не 200 и не 300; ошибка в одной середине смещает и среднюю, и все отклонения.

FAQ

Может ли среднее линейное отклонение быть больше среднего квадратического? Нет. Для любого ряда выполняется $d \le \sigma$, это следствие неравенства между средними степенными. Равенство достигается только в вырожденных случаях, например когда все отклонения по модулю одинаковы. Если в расчёте $d$ вышло больше $\sigma$, где-то ошибка в арифметике.

От чего считать модули: от средней или от медианы? В типовой учебной задаче - от средней арифметической, если в условии не сказано другое. Расчёт от медианы даёт минимально возможную сумму модулей и встречается в задачах на свойства показателя; в симметричном ряду, как в нашем примере, оба центра совпадают и результат одинаков.

Зачем нужно среднее линейное отклонение, если есть сигма? Оно нагляднее: это буквально средняя величина расхождения, выраженная в исходных единицах и не раздутая квадратами. Его берут там, где важна устойчивость к выбросам, а дальнейших алгебраических преобразований не предполагается. В метрологии и теории погрешностей, наоборот, работают с квадратической мерой - см. среднее квадратическое отклонение результата измерения.

Как проверить, что расчёт верен? Тремя способами: сумма отклонений со знаками должна давать ноль, отношение $d / \sigma$ должно попасть в диапазон примерно от 0,5 до 1, а само $d$ - быть меньше размаха и больше нуля. В нашем примере ноль сошёлся, отношение 0,76, размах 40 деталей.

Коротко

1. Найди средний уровень ряда: для сгруппированных данных взвешенная средняя $\bar{x} = \sum f_i x_i / \sum f_i$, в задаче 2500 / 50 = 50 шт.
2. Посчитай отклонения каждого значения от средней и возьми их модули; занеси в таблицу колонки $x$, $f$, $xf$, модуль и взвешенный модуль.
3. Сложи взвешенные модули и раздели на сумму частот: $d = 380 / 50 = 7{,}6$ шт. Делитель - объём совокупности, а не число групп.
4. Для сравнения посчитай среднее квадратическое отклонение: $\sigma = \sqrt{5000 / 50} = 10$ шт., отношение $d / \sigma = 0{,}76$ укладывается в обычные 0,7-0,8.
5. Переведи разброс в проценты: линейный коэффициент вариации 15,2%, коэффициент вариации 20%, коэффициент осцилляции 80%.