Среднее квадратическое отклонение результата измерения

Когда одну и ту же величину измеряют несколько раз, отсчёты всегда чуть-чуть отличаются: сказываются случайные погрешности. Среднее квадратическое отклонение (СКО) - это число, которое показывает, насколько широко разбросаны результаты вокруг среднего, и именно через него оценивают точность измерения. В метрологии важно различать два СКО: отклонение единичного отсчёта $S$ и отклонение результата, то есть среднего значения, $S_{\bar{x}}$. Ниже разберём, как обе величины считаются, зачем нужна поправка Бесселя и коэффициент Стьюдента, и как записать итоговый результат с погрешностью. Чтобы сразу увидеть всю цепочку на числах, впишите свой ряд измерений в калькулятор ниже.

Что такое среднее квадратическое отклонение

Пусть величину измерили $n$ раз и получили ряд значений $x_1, x_2, \dots, x_n$. Сначала находят среднее арифметическое - оно принимается за результат измерения:

$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.$

Каждый отсчёт отклоняется от среднего на величину $x_i - \bar{x}$. Если просто сложить эти отклонения, получится ноль (положительные и отрицательные взаимно гасятся), поэтому отклонения возводят в квадрат. Среднее квадратическое отклонение единичного измерения - это корень из среднего квадрата отклонений:

$S = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}.$

Рассчитать для своей задачи

Величина $S$ имеет ту же размерность, что и сама измеряемая величина (миллиметры, вольты, граммы), и характеризует разброс отдельных отсчётов. Чем стабильнее прибор и аккуратнее измерения, тем теснее точки прижаты к среднему и тем меньше $S$.

Почему в знаменателе n минус 1

Самый частый вопрос: почему делят на $n - 1$, а не на $n$. Дело в том, что отклонения считаются не от истинного значения (оно неизвестно), а от выборочного среднего $\bar{x}$, которое само вычислено по этим же данным. Среднее «подстраивается» под выборку и слегка занижает разброс. Деление на $n - 1$ вместо $n$ компенсирует это смещение и называется поправкой Бесселя. Число $n - 1$ - это число степеней свободы: из $n$ отклонений независимы только $n - 1$, потому что их сумма всегда равна нулю.

Рассчитать для своей задачи

На практике при больших $n$ разница между делением на $n$ и на $n - 1$ почти незаметна, но при малом числе измерений (а в лабораторных работах их обычно 5-10) поправка Бесселя существенна и пропускать её нельзя.

СКО результата измерения

Здесь и кроется главная тонкость темы. Само по себе $S$ описывает разброс отдельных отсчётов, но результатом измерения мы объявляем не один отсчёт, а среднее $\bar{x}$. Среднее всегда точнее единичного измерения: случайные отклонения при усреднении частично компенсируют друг друга. Поэтому среднее квадратическое отклонение результата измерения (СКО среднего) в $\sqrt{n}$ раз меньше:

$S_{\bar{x}} = \frac{S}{\sqrt{n}}.$

Именно $S_{\bar{x}}$ характеризует точность итогового результата. Из формулы видно важное следствие: чтобы уменьшить случайную погрешность вдвое, число измерений нужно увеличить вчетверо, ведь под корнем стоит $n$. Это объясняет, почему бесконечно наращивать число замеров невыгодно - выигрыш растёт всё медленнее.

Рассчитать для своей задачи

Доверительная граница и коэффициент Стьюдента

СКО среднего $S_{\bar{x}}$ - это ещё не итоговая погрешность. Чтобы указать интервал, в который истинное значение попадает с заданной вероятностью $P$ (обычно 0,95), СКО среднего умножают на коэффициент Стьюдента $t$:

$\Delta = t \cdot S_{\bar{x}}.$

Коэффициент $t$ берут из таблицы распределения Стьюдента по доверительной вероятности $P$ и числу степеней свободы $n - 1$. Чем меньше измерений, тем больше $t$: при малой выборке оценка $S$ сама ненадёжна, и интервал приходится расширять. Например, для $P = 0{,}95$ и $n = 5$ коэффициент $t = 2{,}78$, а при $n = 10$ он падает до $2{,}26$. Итоговый результат измерения записывают в виде:

$x = \bar{x} \pm \Delta, \qquad P = 0{,}95.$

В калькуляторе выше переключение доверительной вероятности сразу меняет коэффициент $t$ и границу $\Delta$ - удобно увидеть, как растёт интервал при переходе от $P = 0{,}95$ к $P = 0{,}99$.

Пример обработки ряда измерений

Разберём типовую лабораторную задачу. Длину детали измерили штангенциркулем пять раз и получили (в миллиметрах): 25,12; 25,15; 25,10; 25,18; 25,11. Найдём результат измерения с погрешностью при $P = 0{,}95$.

Сначала среднее арифметическое:

$\bar{x} = \frac{25{,}12 + 25{,}15 + 25{,}10 + 25{,}18 + 25{,}11}{5} = 25{,}132\ \text{мм}.$

Теперь отклонения и их квадраты. Отклонения $x_i - \bar{x}$ равны $-0{,}012$; $0{,}018$; $-0{,}032$; $0{,}048$; $-0{,}022$, а сумма их квадратов:

$\sum (x_i - \bar{x})^2 = 0{,}00428\ \text{мм}^2.$

СКО единичного измерения по формуле с поправкой Бесселя:

$S = \sqrt{\frac{0{,}00428}{5 - 1}} = \sqrt{0{,}00107} = 0{,}0327\ \text{мм}.$

СКО результата (среднего) в $\sqrt{5}$ раз меньше:

$S_{\bar{x}} = \frac{0{,}0327}{\sqrt{5}} = 0{,}0146\ \text{мм}.$

Берём коэффициент Стьюдента $t = 2{,}78$ (для $P = 0{,}95$, $n = 5$) и находим доверительную границу:

$\Delta = 2{,}78 \cdot 0{,}0146 = 0{,}0407 \approx 0{,}041\ \text{мм}.$

Окончательно результат измерения записывается так:

$x = (25{,}132 \pm 0{,}041)\ \text{мм}, \qquad P = 0{,}95.$

Те же числа выдаёт калькулятор по пресету «Штангенциркуль, 5 замеров» - можно сверить каждый шаг.

Частые ошибки

• Деление на n вместо n минус 1. Для выборки всегда применяют поправку Бесселя: в знаменателе СКО стоит $n - 1$. Деление на $n$ занижает разброс, особенно при малом числе измерений.
• Путаница между S и Sx̄. $S$ - это разброс отдельных отсчётов, а точность результата характеризует СКО среднего $S_{\bar{x}} = S/\sqrt{n}$. В ответ с погрешностью идёт именно $S_{\bar{x}}$, а не $S$.
• Забытый коэффициент Стьюдента. Доверительная граница - это не $S_{\bar{x}}$, а $\Delta = t \cdot S_{\bar{x}}$. Без множителя $t$ интервал занижен и не соответствует заявленной вероятности.
• Неверный t из таблицы. Коэффициент Стьюдента берут по числу степеней свободы $n - 1$, а не по $n$, и обязательно для нужной доверительной вероятности $P$.
• Слишком много значащих цифр в ответе. Погрешность округляют до одной-двух значащих цифр, а среднее - до того же разряда, что и погрешность. Записывать $25{,}13247 \pm 0{,}04068$ некорректно.

FAQ

Чем СКО результата измерения отличается от СКО единичного измерения? СКО единичного измерения $S$ показывает, насколько разбросаны отдельные отсчёты вокруг среднего. СКО результата $S_{\bar{x}} = S/\sqrt{n}$ показывает, насколько точно определено само среднее, которое и принимается за результат. Второе всегда в $\sqrt{n}$ раз меньше первого.

Почему среднее квадратическое отклонение делят на корень из n? Потому что усреднение нескольких независимых измерений уменьшает случайную погрешность: чем больше отсчётов, тем сильнее их случайные отклонения компенсируют друг друга. Математически дисперсия среднего в $n$ раз меньше дисперсии единичного измерения, а СКО - в $\sqrt{n}$ раз.

Когда вместо коэффициента Стьюдента можно брать коэффициент нормального распределения? Когда число измерений велико (условно $n > 30$) или СКО известно заранее с высокой надёжностью. Тогда распределение Стьюдента практически совпадает с нормальным, и для $P = 0{,}95$ берут $t \approx 1{,}96$. При малых выборках обязателен именно коэффициент Стьюдента.

Коротко

Среднее квадратическое отклонение результата измерения находят в несколько шагов: считают среднее $\bar{x}$, затем СКО единичного отсчёта $S = \sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 / (n-1)}$ с поправкой Бесселя, после чего СКО среднего $S_{\bar{x}} = S/\sqrt{n}$. Доверительную границу получают как $\Delta = t \cdot S_{\bar{x}}$ с коэффициентом Стьюдента, а ответ записывают в виде $x = \bar{x} \pm \Delta$ с указанием доверительной вероятности.