Физическая величина и её единица: определение

Метрология начинается с двух понятий: физическая величина и её единица. Без строгих определений этих понятий невозможно ни провести измерение, ни сравнить его результат с другими данными. Ниже - компактный разбор с примерами и интерактивным калькулятором, который поможет перевести любое значение между единицами.

Что такое физическая величина

Физическая величина - свойство физического объекта или явления, которое можно измерить и выразить числом с единицей. Формально в ГОСТ 8.417-2002 и VIM (Международный словарь по метрологии) это определяется так:

Физическая величина - свойство явления, тела или вещества, которое может быть различено качественно и определено количественно.

Ключевых признаков два:

• Качественная определённость - все величины одного рода (температуры, длины, массы) описывают одно и то же свойство и допускают сравнение.
• Количественная определённость - конкретное значение выражается как произведение числа (числового значения) на единицу: $Q = \{Q\} \cdot [Q]$.

Здесь $\{Q\}$ - числовое значение, а $[Q]$ - единица физической величины.

Виды физических величин

По происхождению величины делят на основные и производные.

Основные величины выбраны соглашением - их единицы фиксируются независимо. В системе СИ таких величин семь:

Производные величины определяются через основные по физическим законам. Например, скорость - это отношение пути ко времени, поэтому её единица: м/с.

По характеру зависимости от направления величины делят на:

• Скалярные (масса $m$, температура $T$, энергия $E$) - задаются одним числом.
• Векторные (скорость $\vec{v}$, сила $\vec{F}$, индукция $\vec{B}$) - задаются числом и направлением.
• Тензорные (тензор напряжений $\sigma_{ij}$) - требуют матрицы компонент.

Единица физической величины и её размерность

Единица физической величины - конкретное значение той же самой величины, принятое за один (по соглашению или из фундаментальных постоянных). Результат любого измерения записывается как:

$Q = \{Q\} \cdot [Q]$

где $\{Q\}$ зависит от выбранной единицы: одна и та же длина стержня равна 1,5 м, или 150 см, или 59,06 дюйма.

Размерность - формальное выражение, показывающее, как единица производной величины связана с основными единицами. Обозначается символом $\dim$. Для СИ:

$\dim Q = \mathrm{L}^{\alpha} \cdot \mathrm{M}^{\beta} \cdot \mathrm{T}^{\gamma} \cdot \mathrm{I}^{\delta} \cdot \Theta^{\varepsilon} \cdot \mathrm{N}^{\zeta} \cdot \mathrm{J}^{\eta}$

где L - длина, M - масса, T - время, I - ток, $\Theta$ - температура, N - количество вещества, J - сила света, а показатели - рациональные числа (чаще целые).

Примеры:

• Скорость: $\dim v = \mathrm{L} \cdot \mathrm{T}^{-1}$, единица м·с⁻¹.
• Сила: $\dim F = \mathrm{L} \cdot \mathrm{M} \cdot \mathrm{T}^{-2}$, единица кг·м·с⁻² = Н.
• Давление: $\dim p = \mathrm{M} \cdot \mathrm{L}^{-1} \cdot \mathrm{T}^{-2}$, единица Па = Н/м².

Если все показатели нулевые, величина безразмерна (например, коэффициент трения, КПД).

Рассчитать для своей задачи

Международная система единиц СИ

С 2019 года все семь основных единиц СИ определены через фиксированные числовые значения фундаментальных постоянных:

• метр - через скорость света $c = 299\,792\,458$ м/с;
• килограмм - через постоянную Планка $h = 6{,}626\,070\,15 \times 10^{-34}$ Дж·с;
• секунда - через частоту перехода цезия-133 $\Delta\nu_\mathrm{Cs} = 9\,192\,631\,770$ Гц;
• ампер - через элементарный заряд $e = 1{,}602\,176\,634 \times 10^{-19}$ Кл.

Такое определение избавляет от материальных эталонов: килограммовый прототип в Севре был единственным артефактом, со временем менявшим массу.

К СИ добавляются приставки, обозначающие степени десяти: от $10^{-24}$ (йокто, и) до $10^{24}$ (йотта, И). Приставки сокращают запись: 1 нм = $10^{-9}$ м, 1 ГГц = $10^9$ Гц.

Рассчитать для своей задачи

Числовое значение и перевод единиц

Числовое значение $\{Q\}$ зависит от выбранной единицы. Если использовать две единицы $[Q]_1$ и $[Q]_2$ одной величины, то:

$\{Q\}_2 = \{Q\}_1 \cdot \frac{[Q]_1}{[Q]_2}$

Это правило - основа любого перевода. Например, скорость 90 км/ч:

$v = 90 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 90 \cdot \frac{1000\,\text{м}}{3600\,\text{с}} = 25\,\frac{\text{м}}{\text{с}}$

При расчётах важно следить, чтобы все слагаемые имели одинаковую размерность (принцип однородности уравнений). Если в формуле $F = ma$ подставить массу в граммах, а ускорение в м/с², результат выйдет в единицах г·м/с², а не в ньютонах - типичная ошибка студентов.

Погрешность и значащие цифры

Результат измерения неполон без оценки погрешности. Стандартная запись:

$Q = Q_0 \pm \Delta Q \quad [\text{единица}]$

где $Q_0$ - числовое значение, $\Delta Q$ - абсолютная погрешность. Число значащих цифр должно соответствовать погрешности: если $\Delta Q = 0{,}02$ м, бессмысленно писать $Q_0 = 1{,}234\,567$ м - достаточно $1{,}23$ м.

Для производной величины, вычисленной через измеренные данные, погрешность оценивается формулой распространения погрешностей. Для умножения/деления:

$\frac{\Delta Q}{Q} = \sqrt{\left(\frac{\Delta A}{A}\right)^2 + \left(\frac{\Delta B}{B}\right)^2}$

Внесистемные единицы

Некоторые внесистемные единицы разрешены для совместного применения с СИ: астрономическая единица (а. е.), электронвольт (эВ), угловые минута и секунда, литр (л = 10⁻³ м³), бар (1 бар = 10⁵ Па). Единицы CGS (эрг, гаусс, дина) и технические системы (кгс, мм рт. ст.) сохраняются в исторической литературе, но в современных инженерных расчётах их следует переводить в СИ.

Частые ошибки

• Путаница единицы и величины. «Ток равен амперу» - неверно; ток может быть равен 3 А, а ампер - лишь единица.
• Опускание единицы. Числовое значение без единицы лишено физического смысла: «длина 5» - ничего не говорит (5 м? 5 км?).
• Смешение единиц в одном выражении. В одном уравнении нельзя складывать значения в м и см без явного приведения.
• Ошибка в размерности. Перед вычислением стоит проверить размерность формулы: если левая и правая части не совпадают по $\dim$, формула ошибочна.
• Неправильный перевод приставок. 1 мкПа - это $10^{-6}$ Па, а не $10^{-3}$ Па.

FAQ

Чем физическая величина отличается от её числового значения? Физическая величина - это само свойство (длина, масса, температура). Числовое значение - лишь число, получающееся при делении величины на выбранную единицу. Одна и та же длина 1 м имеет числовое значение 100 в сантиметрах и 39,37 в дюймах.

Зачем нужна размерность, если есть единицы? Размерность позволяет проверять формулы ещё до подстановки чисел (анализ размерностей), выводить новые соотношения по методу $\Pi$-теоремы Букингема и однозначно связывать единицы разных систем.

Могут ли две разные величины иметь одинаковую размерность? Да. Момент силы ($\dim = \mathrm{M}\mathrm{L}^2\mathrm{T}^{-2}$) и энергия ($\dim = \mathrm{M}\mathrm{L}^2\mathrm{T}^{-2}$) имеют одинаковую размерность, но физически - разные понятия и разные единицы (Н·м и Дж соответственно).

Коротко

Физическая величина - измеримое свойство, выражаемое числом с единицей. Единица - эталонное значение той же величины. Размерность связывает производные единицы с семью основными единицами СИ. Правило простое: всегда записывайте единицу рядом с числом, проверяйте размерность формулы до подстановки значений и переводите внесистемные единицы в СИ перед расчётом.