Как рассчитать средневзвешенную величину: пример

Дано: три партии одного товара закуплены по цене 120, 150 и 180 руб. за килограмм в объёмах 300, 500 и 200 кг. Найти: средневзвешенную цену килограмма и её расхождение с простой средней арифметической.

Средневзвешенная величина считается как сумма произведений значений на веса, делённая на сумму весов. Ответ: средневзвешенная цена 147,00 руб./кг против простой средней 150,00 руб./кг, расхождение 3 руб./кг, или 2 процента. Калькулятор сверху пересчитает обе средние под твои цены и объёмы, ниже идёт решение по шагам.

Решение по шагам

Дано. Условие удобно сразу свести в расчётную таблицу: к двум столбцам исходных данных добавляем третий, который и придётся считать.

Найти: среднюю цену килограмма по всем трём партиям.

Шаг 1. Решить, нужны ли веса. Веса обязательны всегда, когда каждое значение признака относится не к одной единице, а к группе разного размера. Здесь цена 150 руб. описывает 500 кг, а цена 180 руб. только 200 кг, то есть вклад партий в итог заведомо неодинаков. Значит, простая средняя арифметическая неприменима, нужна взвешенная.

Шаг 2. Найти произведения значения на вес. Каждая строка таблицы даёт стоимость своей партии:

$$\begin{aligned} x_1 f_1 &= 120 \cdot 300 = 36\,000 \text{ руб.}, \\ x_2 f_2 &= 150 \cdot 500 = 75\,000 \text{ руб.}, \\ x_3 f_3 &= 180 \cdot 200 = 36\,000 \text{ руб.} \end{aligned}$$

Шаг 3. Сложить числитель и знаменатель. Числитель это общая стоимость закупки, знаменатель общий объём:

$$\sum x_i f_i = 36\,000 + 75\,000 + 36\,000 = 147\,000 \text{ руб.}, \qquad \sum f_i = 300 + 500 + 200 = 1000 \text{ кг.}$$

Шаг 4. Разделить одну сумму на другую. Это и есть средняя арифметическая взвешенная:

$$\bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{\sum f_i} = \frac{147\,000}{1000} = 147{,}00 \text{ руб./кг.}$$

Шаг 5. Сравнить с простой средней. Если забыть про объёмы и усреднить три цены напрямую, получится другое число:

$$\bar{x}_{\text{прост}} = \frac{120 + 150 + 180}{3} = 150{,}00 \text{ руб./кг.}$$

Разница составляет $150 - 147 = 3$ руб. на килограмм, или 2 процента. На всей закупке это 3000 руб. расхождения в отчёте, поэтому ошибка не косметическая. Взвешенная средняя оказалась ниже простой, потому что самая большая по объёму партия куплена по средней цене, а дорогая партия в 180 руб. самая маленькая и тянет итог вверх слабее всего.

Проверка. Умножим ответ обратно на общий объём: $147 \cdot 1000 = 147\,000$ руб. Это ровно та сумма, которую дала таблица, значит расчёт согласован. Такая проверка занимает одну строку и ловит почти любую арифметическую ошибку.

Ответ. Средневзвешенная цена $\bar{x} = 147{,}00$ руб./кг, простая средняя 150,00 руб./кг, расхождение 3,00 руб./кг (2 процента).

Формула средней взвешенной и откуда она берётся

Общий вид формулы такой:

$$\bar{x} = \frac{x_1 f_1 + x_2 f_2 + \dots + x_n f_n}{f_1 + f_2 + \dots + f_n} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n} x_i f_i}{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i},$$

где $x_i$ это значение признака в группе, $f_i$ вес группы (частота, объём, численность, доля), $n$ число групп. Буква $f$ идёт от слова frequency: в статистике весом чаще всего служит именно частота, то есть сколько раз встретилось данное значение.

Вывод формулы не требует ничего, кроме определения простой средней. Если бы мы выписали все 1000 килограммов по отдельности, цена 120 повторилась бы 300 раз, цена 150 пятьсот раз, цена 180 двести раз. Простая средняя по такому длинному ряду была бы суммой тысячи слагаемых, делённой на 1000. Но одинаковые слагаемые можно сгруппировать: вместо того чтобы складывать 120 триста раз, умножаем 120 на 300. Так длинная сумма сворачивается в короткую, а средняя арифметическая превращается во взвешенную.

Отсюда главное свойство: взвешенная средняя это не другая средняя, а та же самая, записанная компактно. Простая средняя есть частный случай взвешенной, когда все веса равны между собой. Подставь $f_1 = f_2 = f_3 = 1$, и формула схлопнется в привычное деление суммы на количество.

Из вывода же следует и правило выбора весов: весом должна быть та величина, на которую мы возвращаемся к осмысленному итогу. Числитель обязан иметь экономический смысл (общая стоимость, общий фонд, общая выработка), а знаменатель быть тем, на что этот итог делят.

Веса в долях и процентах: масштаб весов ответ не меняет

Веса вовсе не обязаны быть натуральными объёмами. Пересчитаем те же партии в доли: 300, 500 и 200 кг из 1000 дают $d_1 = 0{,}3$, $d_2 = 0{,}5$, $d_3 = 0{,}2$. Поскольку сумма долей равна единице, знаменатель исчезает:

$$\bar{x} = \sum x_i d_i = 120 \cdot 0{,}3 + 150 \cdot 0{,}5 + 180 \cdot 0{,}2 = 36 + 75 + 36 = 147{,}00 \text{ руб./кг.}$$

Тот же ответ. Так же ничего не изменится, если взять проценты 30, 50 и 20 и разделить результат на 100, или измерить объёмы не в килограммах, а в тоннах. Средняя взвешенная зависит только от соотношения весов, а не от их абсолютной величины: умножение всех весов на одно и то же число сокращается в дроби.

Практический вывод: если в задаче веса даны процентами и они в сумме дают 100, делить на сумму весов всё равно нужно, просто делитель окажется равным 100. А вот если проценты в сумме дают, скажем, 98 из-за округления, знаменатель берём фактический, а не «правильные» 100. Именно на этом месте расчёт чаще всего расходится с ответом в методичке на сотые доли.

Если вместо объёмов даны суммы: средняя гармоническая взвешенная

Частый поворот той же задачи: известны цены и суммы закупки, а объёмы не даны. Пусть по трём поставщикам потрачено 36 000, 75 000 и 36 000 руб. при ценах 120, 150 и 180 руб./кг. Соблазн велик, но делить общую сумму на сумму цен нельзя: в знаменателе должны стоять килограммы, а не рубли.

Объёмы здесь восстанавливаются делением, $f_i = M_i / x_i$, и подстановка этого выражения в формулу взвешенной средней даёт среднюю гармоническую взвешенную:

$$\bar{x}_{\text{гарм}} = \frac{\sum M_i}{\sum \dfrac{M_i}{x_i}} = \frac{36\,000 + 75\,000 + 36\,000}{\dfrac{36\,000}{120} + \dfrac{75\,000}{150} + \dfrac{36\,000}{180}} = \frac{147\,000}{300 + 500 + 200} = 147{,}00.$$

Ответ совпал с первым расчётом, и это не совпадение: данные описывают одну и ту же закупку, просто поданы с другой стороны. Правило запоминается так: веса ставят в знаменатель формулы, если они выражены в тех же единицах, что и числитель. Даны объёмы, работает арифметическая взвешенная; даны суммы, работает гармоническая. Переключатель в калькуляторе сверху меняет ровно это условие и показывает, что итог держится на одних и тех же числах.

Интервальный ряд: значений нет, есть только границы

Третий типовой случай, где веса обязательны, это сгруппированные данные. Допустим, работники распределены по заработной плате: 20-30 тыс. руб. у 10 человек, 30-40 тыс. руб. у 25 человек, 40-50 тыс. руб. у 15 человек. Индивидуальных зарплат больше нет, есть границы интервалов и частоты.

Приём стандартный: каждый интервал заменяют его серединой $x_i = (a_i + b_i)/2$, то есть 25, 35 и 45 тыс. руб., а дальше считают обычную взвешенную:

$$\bar{x} = \frac{25 \cdot 10 + 35 \cdot 25 + 45 \cdot 15}{10 + 25 + 15} = \frac{250 + 875 + 675}{50} = \frac{1800}{50} = 36{,}0 \text{ тыс. руб.}$$

Простая средняя трёх середин дала бы 35,0 тыс. руб. Разница в тысячу рублей возникла потому, что самая многочисленная группа смещена вправо от центра ряда. Тонкости с открытыми интервалами вида «свыше 50 тыс.» и упрощённый способ моментов разобраны в статье про расчёт средней по интервальному ряду; построение самого ряда с частотами и накопленными частотами есть в разборе как составить вариационный ряд.

Средняя редко живёт одна: рядом с ней почти всегда просят показатели разброса, потому что одна и та же средняя бывает у ряда плотного и у ряда рваного. Как посчитать дисперсию и оценить однородность совокупности, разобрано в задаче про коэффициент вариации.

Частые ошибки

• Усредняют значения без весов. Самая массовая ошибка: три цены сложили и поделили на три. Это верно только при равных объёмах групп. Признак того, что веса нужны, в условии прямо назван размер каждой группы.
• Делят на число групп, а не на сумму весов. В знаменателе стоит $\sum f_i = 1000$ кг, а не $n = 3$. Деление 147 000 на 3 даст 49 000 и никакого отношения к цене иметь не будет.
• Складывают проценты вместо взвешивания. Средний процент выполнения плана по цехам нельзя получить сложением процентов: взвешивать надо по объёмам плана, иначе маленький цех получит тот же вес, что и главный.
• Берут суммы затрат как веса в арифметической формуле. Если дано, сколько потрачено, а не сколько куплено, работает гармоническая средняя. Подстановка рублей в качестве $f_i$ завышает результат в сторону дорогих позиций.
• В интервальном ряду берут границу вместо середины. Весом служит частота, а значением середина интервала. Взятая нижняя граница систематически занижает среднюю, верхняя завышает.
• Теряют единицы измерения. Числитель здесь в рублях, знаменатель в килограммах, ответ в руб./кг. Если размерность после деления не сходится, веса подставлены не те.

FAQ

Чем средневзвешенная величина отличается от средней арифметической? Ничем по смыслу и всем по технике расчёта. Взвешенная средняя это та же арифметическая, только записанная для сгруппированных данных: одинаковые значения не повторяют, а умножают на частоту. При равных весах обе формулы дают одинаковый ответ.

Могут ли веса быть дробными или в процентах? Да, весом бывает что угодно неотрицательное: доли 0,3 и 0,5, проценты 30 и 50, коэффициенты значимости 2 и 3. Важно лишь соотношение весов между собой, поэтому ответ не изменится, если все веса умножить на одно число. Если веса уже нормированы и дают в сумме единицу, деление на сумму весов выполняется само собой.

Что делать, если один из весов равен нулю? Группа с нулевым весом просто выпадает из расчёта: её значение не влияет на среднюю, а знаменатель уменьшается. Опасен другой случай, когда нулю равна сумма всех весов, тогда средняя не определена и задача поставлена некорректно.

Когда вместо взвешенной арифметической нужна геометрическая? Когда усредняют не уровни, а коэффициенты роста, то есть величины, которые перемножаются, а не складываются. Средний темп роста считают средней геометрической, это отдельный сюжет, разобранный в задаче про темп роста.

Коротко

1. Веса нужны всегда, когда значения признака относятся к группам разного размера: цена партии, зарплата группы работников, процент выполнения плана по цехам.
2. Формула средней арифметической взвешенной: $\bar{x} = \dfrac{\sum x_i f_i}{\sum f_i}$, то есть сумма произведений значения на вес, делённая на сумму весов.
3. Расчёт ведётся таблицей: столбец значений, столбец весов, столбец произведений, две итоговые суммы и одно деление.
4. Для условия 120, 150 и 180 руб./кг при объёмах 300, 500 и 200 кг средневзвешенная цена равна 147,00 руб./кг против 150,00 руб./кг у простой средней.
5. Если даны не объёмы, а суммы, берут среднюю гармоническую взвешенную; в интервальном ряду значением служит середина интервала, а весом частота.