Как найти коэффициент шероховатости русла по Маннингу

Дано: трапецеидальный канал с шириной по дну $b = 6$ м, заложением откосов $m = 1{,}5$, глубиной потока $h = 1{,}2$ м и уклоном $i = 0{,}0008$; измеренный расход воды $Q = 10{,}0$ м³/с. Найти: коэффициент шероховатости русла $n$.

Коэффициент шероховатости не измеряют прибором. Его либо берут по таблице типов русла, либо вычисляют обратным ходом из формулы Маннинга, когда расход и геометрия створа уже известны. Здесь как раз второй случай: находим площадь живого сечения, смоченный периметр и гидравлический радиус, а потом выражаем $n$. Ответ: $n = 0{,}0248$, округлённо $0{,}025$, что отвечает чистому земляному каналу в хорошем состоянии. Калькулятор сверху пересчитывает $n$ под любую геометрию и уклон и показывает, в какую строку таблицы попал результат.

Решение по шагам

Дано: $b = 6$ м, $m = 1{,}5$, $h = 1{,}2$ м, $i = 0{,}0008$, $Q = 10{,}0$ м³/с. Найти: $n$.

Шаг 1. Площадь живого сечения. Трапеция шириной $b$ по дну расширяется кверху на $mh$ с каждой стороны, поэтому площадь удобно считать через среднюю ширину:

$$A = (b + m h)\,h = (6 + 1{,}5 \cdot 1{,}2)\cdot 1{,}2 = 7{,}8 \cdot 1{,}2 = 9{,}36\ \text{м}^2.$$

Шаг 2. Смоченный периметр. Это длина линии соприкосновения воды с руслом: дно плюс два откоса. Свободная поверхность в периметр не входит, воздух трения не оказывает. Длина одного откоса при глубине $h$ и заложении $m$ равна $h\sqrt{1 + m^2}$:

$$\chi = b + 2h\sqrt{1 + m^2} = 6 + 2 \cdot 1{,}2 \cdot \sqrt{1 + 1{,}5^2} = 6 + 2{,}4 \cdot 1{,}803 = 10{,}33\ \text{м}.$$

Шаг 3. Гидравлический радиус. Отношение площади к смоченному периметру показывает, сколько воды приходится на единицу длины трущейся границы:

$$R = \frac{A}{\chi} = \frac{9{,}36}{10{,}33} = 0{,}906\ \text{м}.$$

Шаг 4. Выражаем $n$ из формулы Маннинга. В прямой задаче расход считают по геометрии и шероховатости; здесь известен расход, а неизвестна шероховатость, поэтому формулу переворачиваем:

$$Q = \frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\sqrt{i} \qquad \Longrightarrow \qquad n = \frac{A\,R^{2/3}\sqrt{i}}{Q}.$$

Шаг 5. Подставляем числа. Сначала отдельно считаем степень и корень: $R^{2/3} = 0{,}906^{2/3} = 0{,}937$, $\sqrt{i} = \sqrt{0{,}0008} = 0{,}0283$.

$$n = \frac{9{,}36 \cdot 0{,}937 \cdot 0{,}0283}{10{,}0} = \frac{0{,}2479}{10{,}0} = 0{,}0248.$$

Шаг 6. Проверяем ответ обратной подстановкой. Средняя скорость по определению расхода равна $v = Q/A = 10{,}0/9{,}36 = 1{,}07$ м/с. Считаем коэффициент Шези через найденное $n$ и подставляем его в формулу Шези:

$$C = \frac{1}{n}R^{1/6} = \frac{0{,}984}{0{,}0248} = 39{,}7, \qquad v = C\sqrt{R\,i} = 39{,}7 \cdot 0{,}0269 = 1{,}07\ \text{м/с}.$$

Скорости совпали, значит арифметика верна.

Ответ: $n = 0{,}0248 \approx 0{,}025$ - чистое земляное русло в хорошем состоянии.

Формула Маннинга и смысл коэффициента шероховатости

Коэффициент $n$ собирает в одно число всё, что тормозит поток на границе: размер и форму выступов дна, извилистость русла, растительность на откосах, коряги и отмели. Размерность у него неудобная, $\text{с}/\text{м}^{1/3}$, поэтому в учебниках его обычно называют просто коэффициентом шероховатости и пишут без единиц. Значения лежат в узком диапазоне от $0{,}011$ для отполированного лотка до $0{,}08$ для поймы с лесом, и вся инженерная гидравлика открытых русел умещается в эти две цифры.

Формула Маннинга связывает среднюю скорость с гидравлическим радиусом и уклоном: $v = \dfrac{1}{n}R^{2/3}\sqrt{i}$. Расход получается умножением скорости на площадь. Исторически сначала появилась формула Шези $v = C\sqrt{Ri}$, а Маннинг предложил считать её коэффициент как $C = R^{1/6}/n$ - так в расчёт вошла зависимость от размера потока. Чем больше гидравлический радиус, тем слабее относительная роль трения о стенки и тем выше $C$ при одном и том же материале русла.

Роль у $n$ ровно та же, что у коэффициента гидравлического трения в напорной трубе: он переводит характер поверхности в потери энергии. Разница в том, что в трубе коэффициент трения зависит ещё и от числа Рейнольдса, а в открытом русле поток почти всегда развито турбулентный, и $n$ считают зависящим только от самого русла.

Таблица коэффициентов шероховатости по типу русла

В прямой задаче $n$ не вычисляют, а выбирают по таблице. Вот рабочий фрагмент, которого хватает для учебных расчётов:

Найденное значение $0{,}0248$ попадает сразу в две строки: в каменную наброску и в чистый земляной канал. Это нормально, диапазоны в таблицах перекрываются. Развести их можно только по фактическому виду русла: если откосы задернованы и дно песчаное, верна вторая строка, если дно выложено камнем, первая. Расчёт даёт число, а тип русла всё равно называет человек, который его видел.

Обратная задача полезна именно этим: она превращает разовые натурные измерения в табличное значение для будущих расчётов. Расход при этом берут из измерений на гидростворе, как в разборе расхода воды в реке, а скорость - из осреднения по вертикалям, как при определении средней скорости течения.

Если n берут из таблицы: пропускная способность и цена ошибки

Прямая задача выглядит так: канал зарос травой, по таблице для него $n = 0{,}035$, надо найти пропускную способность. Геометрия та же, поэтому произведение $A\,R^{2/3}\sqrt{i} = 0{,}2479$ уже посчитано, остаётся поделить на новое $n$:

$$Q = \frac{0{,}2479}{0{,}035} = 7{,}08\ \text{м}^3/\text{с}, \qquad v = \frac{7{,}08}{9{,}36} = 0{,}76\ \text{м/с}.$$

Зарастание срезало почти треть расхода при неизменных глубине и уклоне. Отсюда и практический вывод: расход обратно пропорционален $n$, то есть ошибка в шероховатости целиком переходит в ошибку расхода. Ошиблись в выборе строки таблицы на $20\%$ - получили $20\%$ вранья в пропускной способности, а это уже разница между «канал справляется с паводком» и «вода идёт поверху».

Проверить порядок величины помогает формула Павловского $C = \frac{1}{n}R^{y}$ с показателем $y = 2{,}5\sqrt{n} - 0{,}13 - 0{,}75\sqrt{R}\,(\sqrt{n} - 0{,}10)$. При $n = 0{,}0248$ и $R = 0{,}906$ она даёт $y = 0{,}223$ и $C = 39{,}4$ против $39{,}7$ по Маннингу, то есть расхождение меньше процента. Для учебной задачи это значит, что выбор формулы почти не влияет на ответ, а выбор $n$ влияет решающе.

Составной коэффициент шероховатости

Если дно и откосы сделаны из разного материала, одно табличное значение не годится. Приведённое $n$ считают по формуле Хортона, взвешивая участки периметра:

$$n = \left(\frac{\sum \chi_i\,n_i^{3/2}}{\chi}\right)^{2/3}.$$

Для нашего канала с галечным дном ($\chi_1 = 6{,}00$ м, $n_1 = 0{,}030$) и бетонными откосами ($\chi_2 = 4{,}33$ м, $n_2 = 0{,}014$) получаем $\sum \chi_i n_i^{3/2} = 6{,}00 \cdot 0{,}00520 + 4{,}33 \cdot 0{,}00166 = 0{,}03834$, отсюда $n = (0{,}03834/10{,}33)^{2/3} = 0{,}0240$. Значение близко к найденному из измерений $0{,}0248$, и это косвенно подтверждает, что створ описан правильно.

Частые ошибки

• Уклон не переведён в безразмерный вид. В условии часто пишут «уклон $0{,}8$ промилле» или «$0{,}08\%$»; в формулу идёт $0{,}0008$. Лишний порядок в уклоне даёт трёхкратную ошибку в $n$ через квадратный корень.
• Вместо гидравлического радиуса подставлена средняя глубина. Для широкой реки $R \approx h_{\text{ср}}$, но в канале с откосами это разные величины: здесь $h_{\text{ср}} = A/B = 9{,}36/9{,}6 = 0{,}975$ м против $R = 0{,}906$ м.
• В смоченный периметр включена ширина поверху. Периметр - это дно и откосы, свободная поверхность в него не входит.
• Перепутаны показатели степени. В формуле для скорости стоит $R^{2/3}$, в выражении коэффициента Шези через $n$ - $R^{1/6}$. Подстановка $2/3$ вместо $1/6$ завышает $C$ почти вдвое.
• $n$ округлено до двух знаков. Значение $0{,}02$ вместо $0{,}025$ - это $25\%$ ошибки в расходе. Коэффициент шероховатости пишут минимум с тремя значащими цифрами после запятой.
• Табличное значение взято без учёта состояния русла. Один и тот же канал весной после чистки и в августе с травой по откосам имеет $n$, различающееся в полтора раза.

FAQ

Чем коэффициент шероховатости $n$ отличается от коэффициента Шези $C$? $n$ описывает только материал и состояние русла и берётся из таблицы, а $C$ зависит ещё и от размера потока и вычисляется, например по Маннингу как $C = R^{1/6}/n$. Поэтому у бетонного лотка $n$ одинаково при любой глубине, а $C$ растёт вместе с гидравлическим радиусом.

Зависит ли $n$ от глубины потока? Формально нет, фактически да. При малой глубине выступы дна составляют заметную долю сечения, и эффективное $n$ растёт; при выходе воды на пойму, заросшую кустарником, оно может удвоиться. Именно поэтому для одного створа в паводок и в межень берут разные значения.

Что делать, если дно и откосы из разных материалов? Считать приведённое значение по формуле Хортона, взвешивая участки смоченного периметра. Усреднять $n$ арифметически нельзя: зависимость нелинейная, и простое среднее завышает пропускную способность.

Можно ли пользоваться зарубежными таблицами шероховатости? Да, значения $n$ в них те же самые, они не зависят от системы единиц. Отличается только запись формулы: в футовой системе перед дробью появляется множитель $1{,}486$, и если считать в метрах по такой формуле, расход окажется завышенным в полтора раза.

Коротко

1. Посчитать площадь живого сечения $A = (b + mh)h = 9{,}36$ м² и смоченный периметр $\chi = b + 2h\sqrt{1 + m^2} = 10{,}33$ м.
2. Найти гидравлический радиус $R = A/\chi = 0{,}906$ м.
3. Выразить шероховатость из формулы Маннинга: $n = A R^{2/3}\sqrt{i}/Q$.
4. Подставить числа: $n = 9{,}36 \cdot 0{,}937 \cdot 0{,}0283 / 10{,}0 = 0{,}0248 \approx 0{,}025$ - чистое земляное русло.
5. Проверить обратным ходом: $C = R^{1/6}/n = 39{,}7$ и $v = C\sqrt{Ri} = 1{,}07$ м/с должны совпасть с $v = Q/A$.

Найденный расход и скорость дальше пересчитывают в сток за период - как это делается, разобрано в задаче про объём стока.