Как найти площадь бассейна реки: решение по палетке

Дано: топографическая карта масштаба 1:200 000, на ней обведён замкнутый контур водораздела и наложена квадратная палетка со стороной клетки $a = 1$ см. Внутри контура $N_{\text{п}} = 186$ полных клеток и $N_{\text{н}} = 96$ неполных, которые граница пересекает. Средний годовой расход воды в замыкающем створе $Q = 7{,}5$ м³/с. Найти: площадь бассейна $F$ и модуль стока $M$.

Площадь снимают палеткой: полные клетки засчитывают целиком, краевые - за половину, сумму умножают на цену клетки. Ответ: $F = 936$ км², то есть 93 600 га, модуль стока $M = 8{,}0$ л/(с·км²). Калькулятор сверху пересчитает площадь под другой масштаб, другой размер клетки и твой собственный подсчёт, а ниже разобран каждый шаг.

Решение по шагам

Шаг 1. Находим цену клетки палетки. Палетка - это прозрачная плёнка с квадратной сеткой, и её клетка ничего не весит сама по себе: вес ей придаёт масштаб карты. Сторона клетки на карте $a = 10$ мм, знаменатель масштаба $m = 200\,000$, значит на местности этой стороне соответствует

$$L = a \cdot m = 10 \cdot 200\,000 = 2\,000\,000\ \text{мм} = 2\ \text{км}.$$

Клетка квадратная, поэтому цена одной клетки - это квадрат её стороны:

$$f = L^2 = 2^2 = 4\ \text{км}^2.$$

Если масштаб задан не дробью, а именованной подписью, переведи его в численный - как это делается, разобрано в задаче как найти масштаб карты.

Шаг 2. Считаем клетки, лежащие целиком внутри водораздела. Их удобно вычёркивать построчно, двигаясь сверху вниз, и записывать количество по каждому ряду отдельно: так ошибка в одной строке не портит весь счёт и находится за полминуты. В нашем измерении таких клеток $N_{\text{п}} = 186$.

Шаг 3. Обрабатываем краевые клетки правилом половины. Клетки, которые граница водосбора рассекает, отдельно не обмеряют: считают, что в среднем контур занимает половину такой клетки. Поэтому их число просто делится пополам:

$$\frac{N_{\text{н}}}{2} = \frac{96}{2} = 48.$$

Шаг 4. Получаем расчётное число клеток и площадь. Складываем полные клетки с половиной краевых и умножаем на цену клетки:

$$\begin{aligned} n &= N_{\text{п}} + \frac{N_{\text{н}}}{2} = 186 + 48 = 234, \\ F &= n \cdot f = 234 \cdot 4 = 936\ \text{км}^2. \end{aligned}$$

В гектарах это $936 \cdot 100 = 93\,600$ га: в одном квадратном километре ровно сто гектаров, и этот перевод в гидрологических и землеустроительных расчётах требуют чаще, чем кажется.

Шаг 5. Оцениваем погрешность. Спорными остаются только краевые клетки. Если бы ни одна из них не попала внутрь контура, площадь была бы $186 \cdot 4 = 744$ км²; если бы все они лежали внутри целиком - $282 \cdot 4 = 1128$ км². Настоящая площадь гарантированно внутри этой вилки, а правило половины ставит ответ ровно посередине. Худший случай при 96 краевых клетках не реализуется: доли, которыми контур режет клетки, распределены примерно равномерно и взаимно гасятся, поэтому фактический разброс растёт не пропорционально их числу, а как корень из него:

$$\sigma \approx 0{,}3 \cdot f \cdot \sqrt{N_{\text{н}}} = 0{,}3 \cdot 4 \cdot \sqrt{96} \approx 12\ \text{км}^2,$$

то есть около 1,3 % площади. Этого достаточно для курсовой и для гидрологических расчётов нормы стока.

Шаг 6. Проверяем ответ модулем стока. Площадь водосбора почти никогда не нужна сама по себе - её тут же делят на неё расход. Модуль стока показывает, сколько литров в секунду даёт каждый квадратный километр бассейна:

$$M = \frac{Q}{F} = \frac{7{,}5 \cdot 1000}{936} = 8{,}0\ \text{л/(с} \cdot \text{км}^2).$$

Для равнинных рек европейской части нормальными считаются значения примерно от 3 до 15 л/(с·км²), и 8,0 в этот коридор попадает - контур обведён правдоподобно. Если перевести модуль в слой стока, получится $8{,}0 \cdot 31{,}536 \approx 253$ мм за год (множитель 31,536 - это число миллионов секунд в году). Дальше через площадь считается объём стока, и это уже отдельная задача: как рассчитать объём стока.

Ответ: $F = 936 \pm 12$ км², или 93 600 га; $M = 8{,}0$ л/(с·км²).

Формула и откуда она берётся

Общая формула измерения площади палеткой выглядит так:

$$F = \left( N_{\text{п}} + \frac{N_{\text{н}}}{2} \right) \cdot \left( \frac{a \cdot m}{10^{6}} \right)^{2},$$

где $a$ - сторона клетки на карте в миллиметрах, $m$ - знаменатель масштаба, а деление на миллион переводит миллиметры местности в километры. Вторая скобка и есть цена клетки: её считают один раз и записывают на полях, иначе на каждом ряду приходится заново вспоминать, чему равна клетка.

Правило половины - не приближение «на глазок», а следствие простого соображения. Граница водосбора проходит через краевую клетку случайным образом, и доля клетки, попавшая внутрь контура, с равной вероятностью может оказаться любой от нуля до единицы. Среднее такой доли равно 0,5, а когда краевых клеток много, отклонения в плюс и в минус компенсируют друг друга. Именно поэтому метод работает тем лучше, чем мельче клетка: краевых клеток становится больше, но каждая из них весит меньше.

Отсюда и практическое правило выбора палетки: сторона клетки подбирается так, чтобы внутри контура оказалось не меньше двух-трёх сотен полных клеток. Слишком крупная клетка даёт грубый результат, слишком мелкая превращает работу в многочасовой счёт без выигрыша в точности - погрешность всё равно упрётся в то, насколько аккуратно проведён сам водораздел.

Как провести границу водосбора по карте

Точность измерения определяется не палеткой, а контуром: ошибка в проведении водораздела обычно больше, чем всё, что даёт правило половины. Порядок такой.

1. Отметить замыкающий створ - точку, для которой считается сток: гидропост, устье, створ плотины.
2. От створа подняться вверх по обоим берегам и вести линию по гребням водоразделов, ориентируясь на горизонтали: линия идёт через вершины и седловины, всегда перпендикулярно горизонталям.
3. Помнить направление ската: вода с каждой точки внутри контура должна стекать к руслу нашей реки, а не в соседний бассейн. Направление ската читается по горизонталям и бергштрихам, а крутизна - по их сгущению, см. задачу как определить крутизну ската.
4. Замкнуть контур в исходной точке. Незамкнутая линия - самая частая причина того, что площадь получается фантастической.

Водораздел не пересекает русло нигде, кроме замыкающего створа, и не проходит по тальвегам - лощинам и долинам притоков. Если линия оказалась в долине, контур проведён неверно.

Другие способы измерить площадь бассейна

По километровой сетке самой карты. На топографических картах уже есть координатная сетка, и её квадраты можно использовать вместо палетки. На карте 1:100 000 сторона квадрата сетки равна 1 км, то есть цена клетки - ровно 1 км², и площадь получается прямо в километрах без пересчёта. Способ быстрый, но сетка обычно крупновата для маленьких бассейнов.

По координатам поворотных точек водораздела. Контур заменяют ломаной из 20-40 точек, снимают их прямоугольные координаты и считают площадь формулой Гаусса. Способ точнее палетки и в точности повторяет то, что делает ГИС: любой расчёт площади по цифровой границе водосбора устроен именно так. Пошаговый разбор с таблицей разностей и контролем сумм - в задаче как вычислить площадь по координатам; расхождение с палеткой на одном и том же контуре обычно не превышает 1-2 %.

Планиметром. Механический полярный планиметр обводит контур и даёт площадь в делениях, которые умножаются на цену деления прибора. В учебных лабораториях он ещё встречается, но в расчётных работах его почти вытеснили палетка и ГИС.

Длину водораздела и длину самой реки при этом измеряют курвиметром или циркулем-измерителем - отдельная операция, разобранная в задаче как измерить расстояние по карте.

Частые ошибки

• Краевые клетки считают целиком или не считают вовсе. В нашем примере это даёт 1128 или 744 км² вместо 936 - промах на пятую часть площади.
• Забывают возвести сторону клетки в квадрат: берут цену клетки 2 км² вместо 4 км² и получают ровно половину настоящей площади.
• Путают миллиметры карты с миллиметрами местности. Сторона 1 см при масштабе 1:200 000 - это 2 км, а не 2 см и не 200 м.
• Переводят квадратные километры в гектары через 1000 вместо 100. В километре 1000 метров, но в квадратном километре - 100 гектаров, потому что переводной коэффициент тоже возводится в квадрат.
• Обводят по руслу, а не по водоразделу: получается длинная узкая полоса вдоль реки, а не бассейн.
• Берут площадь бассейна всей реки, когда расход дан для конкретного гидропоста. Площадь всегда считается до того створа, к которому относится расход, иначе модуль стока выйдет заниженным.
• Не замыкают контур у истока и в итоге считают клетки на открытом участке карты.

FAQ

Чем площадь бассейна отличается от площади водосбора? В гидрологии это синонимы: и то и другое - площадь поверхности, с которой вода стекает в реку выше заданного створа. Разница только в стилистике: «водосбор» чаще употребляют в расчётах, «бассейн» - в описаниях и на картах.

Какой масштаб карты брать? Для бассейнов в сотни квадратных километров хватает 1:100 000 или 1:200 000. Для малых водосборов площадью в единицы километров нужна карта 1:25 000, иначе водораздел просто не читается по горизонталям.

Нужно ли учитывать уклон поверхности? Нет. Площадь бассейна - это проекция на горизонтальную плоскость, ровно то, что видно на карте. Настоящая поверхность склонов больше, но в гидрологических формулах используется именно проекция, потому что осадки измеряются на горизонтальную площадку - см. как определить норму осадков.

Что делать, если бассейн не помещается на одном листе карты? Считают по каждому листу отдельно, следя за тем, чтобы клетки на стыке не были учтены дважды, и складывают результаты. Удобнее вести счёт по рядам палетки, а границу листа отмечать в журнале отдельной строкой.

Коротко

1. Цена клетки палетки: сторону клетки в миллиметрах умножить на знаменатель масштаба, перевести в километры и возвести в квадрат. Здесь $f = (10 \cdot 200\,000 / 10^{6})^{2} = 4$ км².
2. Посчитать полные клетки внутри водораздела построчно: $N_{\text{п}} = 186$.
3. Краевые клетки взять за половину: $96 / 2 = 48$.
4. Площадь: $F = (186 + 48) \cdot 4 = 936$ км², или 93 600 га; погрешность около 12 км².
5. Проверить результат модулем стока: $M = 7500 / 936 = 8{,}0$ л/(с·км²) - значение в норме для равнинной реки, значит контур обведён верно.