Как вычислить площадь по координатам: пошаговое решение

Дано: земельный участок в форме пятиугольника, вершины пронумерованы по часовой стрелке, координаты в метрах: 1 (412,30; 205,60), 2 (598,45; 318,20), 3 (540,10; 502,75), 4 (365,85; 471,30), 5 (298,60; 320,15). Первое число - абсцисса $x$ (на север), второе - ордината $y$ (на восток). Найти: площадь участка $P$ в квадратных метрах и гектарах.

Площадь по координатам вершин считают формулой Гаусса, которую ещё называют формулой шнурования: удвоенная площадь равна сумме произведений каждой абсциссы на разность ординат соседних вершин. Считаем её в двух формах, чтобы одна проверяла другую. Ответ: $2P = 113\,572{,}51$ м², $P = 56\,786{,}26$ м² $\approx 5{,}6786$ га. Калькулятор сверху рисует план участка и пересчитывает площадь для любых вершин, а ниже разобран каждый шаг.

Решение по шагам

Шаг 1. Выписываем вершины в порядке обхода. Формула работает только тогда, когда вершины идут подряд по границе участка, без перескоков. Проверим это по плану: точка 1 лежит на западе, 2 на севере, 3 на северо-востоке, 4 на юго-востоке, 5 на юге. Обход 1-2-3-4-5 идёт по часовой стрелке, как и принято нумеровать вершины в геодезии.

Контур замкнут, поэтому у первой вершины предыдущей считается пятая, а у пятой следующей - первая. Удобно мысленно дописать вершину 5 перед первой строкой таблицы, а вершину 1 после последней.

Шаг 2. Первая форма: абсциссы на разности ординат. Удвоенная площадь считается так:

$$2P = \sum_{k=1}^{n} x_k \left( y_{k+1} - y_{k-1} \right)$$

Для каждой вершины из ординаты следующей точки вычитаем ординату предыдущей. Для вершины 1 это $y_2 - y_5 = 318{,}20 - 320{,}15 = -1{,}95$ м, для вершины 2 это $y_3 - y_1 = 502{,}75 - 205{,}60 = 297{,}15$ м. Остальные разности находятся так же, после чего каждую умножаем на абсциссу своей вершины.

Прежде чем складывать произведения, проверь столбец разностей: его сумма обязана быть нулём, потому что каждая ордината входит в него один раз с плюсом и один раз с минусом. У нас $-1{,}95 + 297{,}15 + 153{,}10 - 182{,}60 - 265{,}70 = 0$. Если бы вышло не ноль, ошибка сидела бы в разностях, и умножать дальше было бы бессмысленно.

Шаг 3. Вторая форма: ординаты на разности абсцисс. Теперь меняем роли координат и порядок вычитания:

$$2P = \sum_{k=1}^{n} y_k \left( x_{k-1} - x_{k+1} \right)$$

Здесь из абсциссы предыдущей точки вычитается абсцисса следующей. Для вершины 1 это $x_5 - x_2 = 298{,}60 - 598{,}45 = -299{,}85$ м.

Сумма разностей снова равна нулю, а удвоенная площадь совпала с первой формой до сотых. Это главный контроль всего расчёта: во второй форме перемножаются совсем другие числа, и случайная арифметическая ошибка в одной таблице почти никогда не повторяется в другой.

Шаг 4. Площадь и перевод в гектары. Делим удвоенную площадь пополам, затем переводим в гектары, помня, что гектар - это квадрат со стороной 100 м:

$$P = \frac{113\,572{,}51}{2} = 56\,786{,}26 \text{ м}^2, \qquad P = \frac{56\,786{,}26}{10\,000} = 5{,}6786 \text{ га}$$

Ответ: площадь участка $P = 56\,786{,}26$ м², или $5{,}6786$ га (округлённо 5,68 га). В документах на землю площадь обычно пишут с точностью до квадратного метра: 56 786 м².

Формула и откуда она берётся

Формулу проще всего вывести через трапеции. Опустим из каждой вершины перпендикуляр на ось ординат. Сторона участка вместе со своей проекцией на эту ось образует трапецию, у которой основания равны абсциссам концов стороны, а высота равна приращению ординаты:

$$P_k = \frac{(x_k + x_{k+1})(y_{k+1} - y_k)}{2}$$

При обходе по часовой стрелке северные стороны идут на восток, их приращение положительно, и трапеции под ними прибавляются. Южные стороны идут на запад, и их трапеции вычитаются. Положительные трапеции накрывают участок вместе с полосой под ним, отрицательные вырезают ровно эту полосу. Проверим на нашем примере:

Сумма трапеций дала ту же площадь. Если раскрыть скобки, произведения $x_k y_k$ сократятся, потому что каждое входит один раз с плюсом и один раз с минусом, и останется

$$2P = \sum_{k=1}^{n} \left( x_k y_{k+1} - x_{k+1} y_k \right)$$

Это и есть формула шнурования: координаты пишут двумя столбцами и перемножают крест-накрест, как шнуруют ботинок. Если собрать слагаемые при каждой абсциссе, получится первая форма, если при каждой ординате - вторая. Обе формы - одна и та же сумма, сгруппированная по-разному, поэтому они обязаны совпасть до округления. Для трёх вершин та же сумма даёт площадь треугольника; этот частный случай вместе с определителем разобран в статье про площадь треугольника по координатам вершин.

Знак суммы и порядок вершин

Если пронумеровать те же вершины против часовой стрелки (1-5-4-3-2), обе суммы выйдут равными $-113\,572{,}51$ м². Модуль верный, площадь берут по абсолютной величине. Но в геодезии отрицательный знак служит сигналом: нумерация нарушила принятое правило, и стоит перепроверить журнал.

В школьных учебниках правило обратное: там положительной получается площадь при обходе против часовой стрелки. Противоречия нет. В математике ось $x$ смотрит вправо, а в геодезии ось $x$ смотрит на север, то есть вверх. Перестановка осей зеркально отражает чертёж, и направления «по часовой» и «против» меняются местами.

Опаснее перепутанный порядок. Если записать вершины как 1-3-2-4-5, контур станет самопересекающимся, и формула даст $2P = 38\,655{,}38$ м², то есть 19 327,69 м² вместо 56 786,26. Обе формы при этом совпадут, а суммы разностей останутся нулевыми: арифметический контроль такую ошибку не ловит. Её видно только на плане, поэтому калькулятор подсвечивает пересекающиеся стороны красным.

Большие координаты и сокращённые значения

Реальные координаты в местной системе бывают семизначными, например $x = 6\,184\,312{,}45$ м. Произведения вырастают до миллиардов с четырьмя знаками после запятой, и обычный калькулятор начинает терять сотые. Выручает то, что сумма разностей ординат равна нулю: если вычесть из всех абсцисс одно и то же число $x_0$, результат не изменится.

$$\sum_{k=1}^{n} (x_k - x_0)(y_{k+1} - y_{k-1}) = \sum_{k=1}^{n} x_k (y_{k+1} - y_{k-1}) - x_0 \cdot 0$$

Проверим на нашем участке: вычтем 300 м из абсцисс. Получим 112,30; 298,45; 240,10; 65,85 и -1,40, а разности ординат останутся прежними. Произведения станут примерно втрое меньше: -218,99; 88 684,42; 36 759,31; -12 024,21 и 371,98, но их сумма по-прежнему равна 113 572,51 м². Во второй форме так же сокращают ординаты.

Если координаты получены из ведомости замкнутого теодолитного хода, брать нужно исправленные значения, после распределения невязок: иначе последняя точка не совпадёт с первой, и контур не замкнётся. Как считаются приращения и увязываются координаты, показано в разборе приращений координат.

Частые ошибки

• Не те соседи в разности. В формуле стоит разность следующей и предыдущей точек, $y_{k+1} - y_{k-1}$, а не «следующая минус текущая». Разность $y_{k+1} - y_k$ относится к формуле трапеций и требует полусуммы абсцисс; смешение двух формул даёт бессмысленное число.
• Контур не замкнули. У первой вершины предыдущей служит последняя, у последней следующей - первая. Потерянное слагаемое сразу видно по контролю: сумма разностей перестаёт быть нулём.
• Перепутали оси. В геодезии $x$ направлен на север, $y$ на восток. Если подставить координаты «по-школьному», знак результата сменится; а если перепутать оси только у части вершин, ответ станет бессмысленным.
• Вершины не по порядку. Перескок через вершину делает контур восьмёркой: в примере это 19 327,69 м² вместо 56 786,26, и контрольные суммы ошибку не показывают.
• Забыли разделить на 2. Сумма произведений - удвоенная площадь; без деления ответ вышел бы 11,36 га вместо 5,68.
• Ошибка перевода в гектары. В гектаре 10 000 м², в сотке 100 м². Деление на 1000 даёт ответ, завышенный в десять раз.

FAQ

Подходит ли формула для невыпуклого участка? Да, для любого многоугольника без самопересечений, в том числе Г-образного или с входящими углами больше 180°. Требование одно: вершины идут подряд по границе. Если внутри участка есть исключённая территория, её площадь считают отдельно по тем же правилам и вычитают.

Почему площадь получилась отрицательной? Вершины пронумерованы против часовой стрелки или оси подставлены в математическом порядке. Модуль результата верный, его и записывают в ответ.

Чем расчёт по координатам лучше измерения по карте? Графическая площадь зависит от масштаба плана и деформации бумаги, а площадь на карте переводится в натуру через квадрат знаменателя масштаба (как устроен масштаб, показано в разборе масштаба карты). Аналитический способ зависит только от точности координат, поэтому им пользуются в межевании и кадастре.

С какой точностью определяется площадь участка? В межевых планах предельную погрешность площади обычно оценивают формулой $\Delta P = 3{,}5\, M_t \sqrt{P}$, где $M_t$ - средняя квадратическая погрешность положения характерной точки границы. Для земель населённых пунктов $M_t = 0{,}10$ м, и для нашего участка $\Delta P \approx 83$ м², так что сотые доли квадратного метра в ответе - формальность расчёта.

Коротко

1. Выпиши вершины подряд по границе участка, в геодезии по часовой стрелке; $x$ направлен на север, $y$ на восток.
2. Для каждой вершины найди разность ординат следующей и предыдущей точек и проверь, что сумма разностей равна нулю.
3. Умножь абсциссы на эти разности и сложи: получится удвоенная площадь, в примере $2P = 113\,572{,}51$ м².
4. Повтори расчёт второй формой, ординаты на разности абсцисс: суммы должны совпасть.
5. Раздели на 2 и на 10 000: $P = 56\,786{,}26$ м² $= 5{,}6786$ га.