Как найти отметку точки: пошаговое решение

Дано: отметка репера $A$ равна $H_A = 124{,}350$ м; отсчёты по рейке с одной станции: задний $a = 1842$ мм, передний $b = 675$ мм, промежуточный $c = 1305$ мм. Найти: отметки точек $B$ и $C$.

Задача решается способом горизонта инструмента: сначала поднимаем отметку репера до визирного луча, а потом опускаем её на каждой рейке. Ответ: горизонт инструмента $\text{ГИ} = 126{,}192$ м, отметки $H_B = 125{,}517$ м и $H_C = 124{,}887$ м. Калькулятор сверху пересчитает станцию под любые отсчёты, а ниже разобран каждый шаг и проверка через превышение.

Решение по шагам

Дано. Журнал нивелирования с одной станции:

Найти: отметки точек $B$ и $C$.

Шаг 1. Переводим отсчёты в метры. По рейке отсчёт всегда читают в миллиметрах, а отметки записывают в метрах, поэтому первым делом делим на 1000: $a = 1{,}842$ м, $b = 0{,}675$ м, $c = 1{,}305$ м. Если этого не сделать, дальше сложатся метры с миллиметрами и ответ уедет на три порядка.

Шаг 2. Находим горизонт инструмента. Горизонт инструмента - это высота визирного луча трубы над уровнем моря. Луч горизонтален, значит его высота одинакова для всех реек станции. Прибавляем задний отсчёт к отметке репера:

$$\text{ГИ} = H_A + a = 124{,}350 + 1{,}842 = 126{,}192\ \text{м}.$$

Шаг 3. Считаем отметку связующей точки B. Рейка на точке $B$ упирается пяткой в саму точку, а визирный луч пересекает её на отсчёте $b$. Значит от горизонта инструмента нужно отнять этот отсчёт:

$$H_B = \text{ГИ} - b = 126{,}192 - 0{,}675 = 125{,}517\ \text{м}.$$

Шаг 4. Считаем отметку промежуточной точки C. Формула та же, меняется только отсчёт, потому что горизонт инструмента для станции уже найден:

$$H_C = \text{ГИ} - c = 126{,}192 - 1{,}305 = 124{,}887\ \text{м}.$$

Шаг 5. Проверяем ответ через превышение. Превышение точки $B$ над репером равно разности заднего и переднего отсчётов, а отметка получается сложением:

$$\begin{aligned} h &= a - b = 1{,}842 - 0{,}675 = +1{,}167\ \text{м}, \\ H_B &= H_A + h = 124{,}350 + 1{,}167 = 125{,}517\ \text{м}. \end{aligned}$$

Оба способа дали одно и то же число, расчёт согласован. Для точки $C$ проверка выглядит так же: $H_C = H_A + (a - c) = 124{,}350 + 0{,}537 = 124{,}887$ м.

Ответ. $\text{ГИ} = 126{,}192$ м, превышение $h = +1{,}167$ м, отметка точки $B$ равна 125,517 м, отметка точки $C$ равна 124,887 м.

Формула отметки и откуда она берётся

Отметка точки - это её высота над принятой уровенной поверхностью. В России отсчёт ведут от нуля Кронштадтского футштока, такие отметки называют абсолютными; если высоты считают от условного уровня стройплощадки, отметки называют условными. Формула от этого не меняется, меняется только начало отсчёта.

Всё нивелирование стоит на одном факте: визирный луч трубы горизонтален, и его высота над уровнем моря на станции постоянна. Отсчёт по рейке - это расстояние от точки, на которой стоит рейка, вверх до луча. Отсюда сразу два выражения:

$$\text{ГИ} = H_A + a, \qquad H = \text{ГИ} - \text{отсчёт}.$$

Если подставить первое во второе, горизонт инструмента исчезает и остаётся способ превышений:

$$H_B = H_A + a - b = H_A + h, \qquad h = a - b.$$

Порядок букв в формуле превышения запоминается фразой «задний минус передний». Знак получается сам собой и несёт смысл: положительное превышение означает, что передняя точка выше задней, отрицательное - что ниже. В нашей задаче $h = +1{,}167$ м, то есть точка $B$ выше репера чуть больше чем на метр, и это видно на схеме калькулятора: столбик отметки у неё выше, а отсчёт по рейке короче.

Промежуточные точки: зачем нужен горизонт инструмента

Способ превышений короче, и когда на станции всего две точки, считать удобнее им. Но как только к станции добавляются промежуточные точки (пикеты рельефа, углы здания, дно котлована), выгоднее становится горизонт инструмента: он вычисляется один раз, а дальше каждая отметка получается одним вычитанием.

Разница между связующими и промежуточными точками принципиальна. Связующие точки, как $B$ в нашей задаче, передают отметку дальше по ходу: на следующей станции рейка снова встанет на эту же точку, и она станет задней. Промежуточные точки, как $C$, никуда отметку не передают, их снимают «в сторону» ради описания рельефа. Поэтому промежуточные отсчёты не входят ни в сумму превышений, ни в контроль хода, и вычислять их можно только от горизонта инструмента.

Отсюда практическое правило: если в журнале станции больше двух точек, сначала считайте ГИ, а потом всю колонку отметок. Именно так устроен постраничный контроль журнала: сумма задних отсчётов минус сумма передних должна равняться сумме превышений, а промежуточные при этом просто не участвуют.

Отметка точки по горизонталям на плане

Вторая типовая постановка той же задачи - не полевая, а камеральная: отметку берут не с рейки, а с топографического плана. Если точка лежит на горизонтали, её отметка равна подписи этой горизонтали. Если между двумя горизонталями, отметку получают линейной интерполяцией по линии наибольшего ската:

$$H_M = H_{\text{низ}} + \frac{l}{d} \cdot h_{\text{сеч}},$$

где $H_{\text{низ}}$ - отметка нижней горизонтали, $h_{\text{сеч}}$ - высота сечения рельефа, $d$ - заложение (кратчайшее расстояние между горизонталями), $l$ - расстояние от нижней горизонтали до точки. Обе длины измеряют по одной линии и в одних единицах, так что масштаб плана сокращается и переводить миллиметры в метры не нужно; как измерять такие отрезки, разобрано в задаче про расстояние по карте.

Пример: точка $M$ лежит между горизонталями 124 м и 125 м, высота сечения рельефа 1 м, заложение $d = 12{,}0$ мм, расстояние до точки от нижней горизонтали $l = 4{,}5$ мм. Тогда $H_M = 124 + \frac{4{,}5}{12{,}0} \cdot 1 = 124{,}375 \approx 124{,}38$ м. Округляют до сантиметров: интерполяция на глаз точнее не бывает. Такие же измерения по плану нужны и в задаче про магнитный азимут, где с карты снимают уже не высоту, а направление.

Когда точек много и они связаны нивелирным ходом, к арифметике добавляется уравнивание: сумма превышений замкнутого хода теоретически равна нулю, а фактически даёт невязку $f_h$. Её сравнивают с допуском $f_{\text{доп}} = 50\sqrt{L}$ мм для технического нивелирования ($L$ - длина хода в километрах), распределяют поровну по станциям с обратным знаком и только потом считают отметки. По сути невязка - это абсолютная погрешность измерений хода, и вычислять окончательные отметки до её распределения нельзя. Плановое положение тех же точек уравнивают по такой же схеме, только невязок две - по каждой оси: это разобрано в задаче про приращения координат.

Частые ошибки

• Отсчёт вычитают из отметки, а не из горизонта инструмента. Запись $H_B = H_A - b$ бессмысленна: рейка стоит не на репере. Вычитать отсчёт можно только из ГИ.
• Путают порядок в превышении. Формула $h = a - b$ читается «задний минус передний». Перестановка меняет знак, и точка из возвышения превращается в понижение.
• Смешивают миллиметры и метры. Отсчёт 1842 мм и отметка 124,350 м складываются только после деления отсчёта на 1000. Ошибка даёт отметки в сотни метров и сразу видна по абсурдному ответу.
• Считают ГИ по передней рейке. Горизонт инструмента поднимают от точки с известной отметкой, то есть от репера с задним отсчётом. Передний отсчёт для этого не годится, отметка передней точки ещё неизвестна.
• Ведут ход через промежуточную точку. Промежуточная точка отметку дальше не передаёт, в сумму превышений и в постраничный контроль она не входит.
• Округляют раньше времени. Отсчёты в миллиметрах дают отметки с точностью до тысячных метра; округлив ГИ до сантиметров, вы потеряете миллиметры во всех отметках станции сразу.

FAQ

Чем отметка отличается от превышения? Отметка - абсолютная величина, высота точки над уровенной поверхностью (в нашей задаче 125,517 м). Превышение - относительная, разность высот двух точек ($+1{,}167$ м). Превышение можно измерить нивелиром напрямую, отметку - только вычислить, отталкиваясь от точки с известной высотой.

Что такое горизонт инструмента и совпадает ли он с высотой прибора? Горизонт инструмента - это отметка визирного луча, то есть высота луча над уровнем моря: $\text{ГИ} = H_A + a$. С высотой прибора над землёй он не совпадает: та измеряется рулеткой от точки стояния нивелира и в вычислении отметок вообще не участвует.

Как быть, если превышение получилось отрицательным? Ничего менять не нужно, формулы работают со знаком: при $a < b$ превышение отрицательно и отметка $H_B = H_A + h$ окажется меньше отметки репера. Знак минус означает, что передняя точка ниже задней, и его обязательно переносят в журнал.

Сколько знаков после запятой оставлять в отметке? При техническом нивелировании отсчёты берут с точностью до миллиметра, поэтому отметки записывают с тремя знаками после запятой (124,887 м). На планах и в отметках рельефа, полученных интерполяцией по горизонталям, оставляют два знака: точность самого плана этого не превышает.

Коротко

1. Переведите все отсчёты по рейке из миллиметров в метры.
2. Найдите горизонт инструмента: $\text{ГИ} = H_A + a$, где $a$ - задний отсчёт по рейке на точке с известной отметкой. В примере $126{,}192$ м.
3. Отметку любой точки станции получите вычитанием её отсчёта из ГИ: $H = \text{ГИ} - \text{отсчёт}$. Для $B$ это $125{,}517$ м, для $C$ это $124{,}887$ м.
4. Проверьте результат вторым способом: $h = a - b = +1{,}167$ м и $H_B = H_A + h$ должны дать то же число.
5. Отметку по плану берут интерполяцией между горизонталями: $H_M = H_{\text{низ}} + \frac{l}{d} \cdot h_{\text{сеч}}$.