Как заполнить журнал нивелирования: пошаговое решение

Дано: замкнутый нивелирный ход технического класса из четырёх станций, начальный репер $\text{Rp}1$ с отметкой $H_0 = 68{,}432$ м. Отсчёты по рейкам (задний / передний, мм): станция 1 - 2418 / 1866, станция 2 - 1240 / 1795, станция 3 - 1968 / 2712, станция 4 - 2836 / 2080. Найти: превышения по станциям, выполнить постраничный контроль, вычислить невязку хода, распределить поправки и получить отметки точек $\text{ПК}1$, $\text{ПК}2$, $\text{ПК}3$.

Журнал заполняется в жёстком порядке: сначала отсчёты, потом превышения, потом контроль сумм по странице, и только после увязки хода - отметки. Ответ такой: $\sum a = 8462$ мм, $\sum b = 8453$ мм, сумма превышений $+9$ мм, невязка $f_h = +9$ мм при допуске $\pm 20$ мм, поправки $-2, -2, -2, -3$ мм, отметки $H_{\text{ПК}1} = 68{,}982$ м, $H_{\text{ПК}2} = 68{,}425$ м, $H_{\text{ПК}3} = 67{,}679$ м, и ход замыкается ровно на репер. Калькулятор сверху пересчитывает весь журнал при любых отсчётах, а ниже расписан каждый шаг.

Решение по шагам

Шаг 1. Переносим отсчёты в журнал. Каждая станция занимает свой блок строк. В графу задних отсчётов идёт число, снятое по рейке на точке с известной отметкой, в графу передних - по рейке на точке, куда ход передаётся. Отсчёты записывают в миллиметрах, целыми числами, ничего не округляя.

Шаг 2. Считаем превышения. Превышение станции равно заднему отсчёту минус передний:

$$h = a - b .$$

Для первой станции $h_1 = 2418 - 1866 = +552$ мм, дальше $h_2 = 1240 - 1795 = -555$ мм, $h_3 = 1968 - 2712 = -744$ мм, $h_4 = 2836 - 2080 = +756$ мм. Знак получают из вычитания, а не приписывают по смыслу: плюс означает, что передняя точка выше задней, минус - что ниже. Отрицательные превышения пишут в отдельную графу «минус», чтобы при суммировании страницы знак не потерялся.

Шаг 3. Выполняем постраничный контроль. Пока не сошлись суммы, отметки считать рано. Складываем графу задних отсчётов, графу передних и графу превышений:

$$\sum a - \sum b = 8462 - 8453 = +9 = \sum h .$$

Равенство выполнено, значит арифметика страницы верна. Этот контроль ловит только ошибки вычислений, а не измерений, поэтому он обязателен, но недостаточен.

Шаг 4. Находим невязку хода. Ход замкнутый: он начинается и заканчивается на одном репере, значит теоретическая сумма превышений равна нулю. Всё, что накопилось сверх нуля, и есть невязка:

$$f_h = \sum h_{\text{изм}} - \sum h_{\text{теор}} = +9 - 0 = +9\ \text{мм}.$$

Сравниваем её с допустимой для технического нивелирования, где $n$ - число станций:

$$f_{\text{доп}} = \pm 10\sqrt{n} = \pm 10\sqrt{4} = \pm 20\ \text{мм}.$$

Условие $|f_h| \le f_{\text{доп}}$ выполнено: $9 < 20$, ход годен и его можно увязывать. При невязке сверх допуска поправки распределять нельзя, такой ход переизмеряют.

Шаг 5. Распределяем поправки. Поправку вводят с обратным знаком по отношению к невязке и делят поровну между станциями, потому что плечи в техническом нивелировании примерно одинаковы:

$$v = -\frac{f_h}{n} = -\frac{+9}{4} = -2{,}25\ \text{мм}.$$

Округляем до целых миллиметров так, чтобы сумма поправок в точности равнялась $-9$ мм: берём $-2, -2, -2$ и $-3$ мм, а лишний миллиметр относим к станции с самым длинным плечом. Если поправки дадут в сумме не $-9$ мм, ход не замкнётся.

Шаг 6. Вычисляем отметки. Отметку следующей точки получают прибавлением исправленного превышения к отметке предыдущей:

$$H_{i+1} = H_i + h_{\text{испр},\,i} .$$

Последняя строка и есть главный контроль всего журнала: вычисленная отметка конечной точки совпала с исходной отметкой репера до третьего знака. Совпадение не случайно - сумма исправленных превышений равна нулю по построению, поэтому расхождение здесь означает арифметическую ошибку в столбце отметок.

Ответ. $\sum a = 8462$ мм, $\sum b = 8453$ мм, $\sum h = +9$ мм, невязка $f_h = +9$ мм при допуске $\pm 20$ мм; поправки $-2, -2, -2, -3$ мм; $H_{\text{ПК}1} = 68{,}982$ м, $H_{\text{ПК}2} = 68{,}425$ м, $H_{\text{ПК}3} = 67{,}679$ м, замыкание на $\text{Rp}1$ равно 68,432 м.

Как устроен бланк журнала и в каком порядке его заполняют

Журнал технического нивелирования - это таблица, где строки принадлежат точкам, а блоки строк - станциям. Слева идут номер станции и номер точки, дальше графы отсчётов: задний, передний, промежуточный. Затем графы вычисленных превышений (отдельно плюс и минус), при работе способом горизонта инструмента - графа ГИ, и справа графа отметок. Последний столбец оставляют под примечания: чем закреплена точка, где стояла рейка.

Заполняют журнал прямо в поле, карандашом, без черновиков и без стирания. Порядок наблюдений на станции - «задняя, передняя, передняя, задняя»: чёрная сторона задней рейки, чёрная передней, красная передней, красная задней. Такая последовательность гасит оседание прибора и штатива за время работы на станции.

Красная сторона рейки нужна для контроля на месте. Разность нулей чёрной и красной сторон постоянна и равна 4787 или 4687 мм, поэтому вычисленная разность пяток должна отличаться от паспортной не больше чем на 5 мм. Превышения по двум сторонам сравнивают тем же допуском и берут среднее, а контрольные разности пишут в журнал сразу: станцию с расхождением переделывают, не сходя с точки.

Отметки в поле не считают. В журнал заносят только отсчёты и превышения, а столбец отметок заполняют в камеральной обработке - после того как сойдётся постраничный контроль и распределены поправки. Как получается отметка отдельной точки через горизонт инструмента и чем связующая точка отличается от промежуточной, разобрано в задаче про отметку точки.

Постраничный контроль: почему суммы обязаны сходиться

Контроль по странице выглядит как формальность, но это тождество, а не совпадение. Развернём сумму превышений по определению каждого из них:

$$\begin{aligned} \sum h &= (a_1 - b_1) + (a_2 - b_2) + \dots + (a_n - b_n) \\ &= (a_1 + a_2 + \dots + a_n) - (b_1 + b_2 + \dots + b_n) = \sum a - \sum b . \end{aligned}$$

Слева стоит результат $n$ отдельных вычитаний, справа - разность двух сумм: эти числа обязаны совпасть при любых отсчётах. Расхождение однозначно указывает на ошибку в арифметике: пропущенную строку, перепутанные графы или потерянный знак у отрицательного превышения.

В полном журнале с двусторонними отсчётами контроль записывают в форме с делением пополам, потому что превышений на станции два - по чёрной и по красной стороне:

$$\frac{\sum a - \sum b}{2} = \frac{\sum h}{2} = \sum h_{\text{ср}} .$$

Промежуточные отсчёты в постраничный контроль не входят вообще: они сняты «в сторону» и отметку по ходу не передают, поэтому их графа при суммировании страницы пропускается. Это самая частая причина, по которой контроль не сходится на журнале с пикетажем.

Невязка хода и разница между замкнутым и разомкнутым ходом

Постраничный контроль проверяет вычисления, а невязка - измерения. Она равна разности между тем, что получилось, и тем, что должно быть по геометрии хода:

$$f_h = \sum h_{\text{изм}} - \sum h_{\text{теор}}, \qquad \sum h_{\text{теор}} = H_{\text{кон}} - H_{\text{нач}} .$$

У замкнутого хода начальная и конечная точки совпадают, теоретическая сумма равна нулю, и невязка - это прямо сумма измеренных превышений. У разомкнутого хода она равна разности отметок опорных реперов: при $H_{\text{нач}} = 68{,}432$ м и $H_{\text{кон}} = 68{,}445$ м та же сумма $+9$ мм даёт уже $f_h = 9 - 13 = -4$ мм. Переключатель типа хода в калькуляторе сверху считает оба варианта.

По сути невязка - это накопленная абсолютная погрешность хода, поэтому допуск растёт вместе с его длиной. Для технического нивелирования пользуются двумя равноправными формулами: $f_{\text{доп}} = \pm 10\sqrt{n}$ мм по числу станций и $f_{\text{доп}} = \pm 50\sqrt{L}$ мм по длине хода $L$ в километрах. Первую берут, когда ход короткий и станции считаны, вторую - когда известна протяжённость трассы.

Поправки распределяют поровну по станциям при равных плечах и пропорционально длинам секций, если плечи заметно разные. Плановое положение тех же точек увязывают по той же схеме, только невязок там две, по каждой координатной оси, - это разобрано в задаче про приращения координат.

По уравненным отметкам строят горизонтали, а по ним уже определяют крутизну ската - уклон между соседними горизонталями.

Частые ошибки

• Отметки считают до увязки хода. Столбец отметок заполняют исправленными превышениями: с измеренными конечная точка не сойдётся с репером ровно на величину невязки.
• Поправку вводят с тем же знаком, что и невязка. Поправка всегда обратна невязке: при $f_h = +9$ мм в превышения идёт $-9$ мм суммарно. Одинаковый знак удваивает расхождение вместо того, чтобы его снять.
• Округлённые поправки не проверяют на сумму. Четыре поправки по $-2$ мм дают $-8$, а не $-9$ мм, и ход не замкнётся на миллиметр. Остаток обязательно относят к одной из станций.
• В постраничный контроль включают промежуточные отсчёты. Они не участвуют ни в сумме превышений, ни в контроле, а их отметки считают через горизонт инструмента.
• Путают графы задних и передних отсчётов при движении хода. Точка, которая на станции была передней, на следующей станции становится задней. Если записать её отсчёт снова в переднюю графу, знак превышения перевернётся.
• Смешивают миллиметры и метры. В журнале отсчёты и превышения ведут в миллиметрах, а отметки - в метрах. Перевод делают ровно один раз, на входе в столбец отметок.

FAQ

Что делать, если постраничный контроль не сошёлся? Ошибка гарантированно в вычислениях, а не в измерениях: тождество $\sum a - \sum b = \sum h$ выполняется при любых числах. Считайте частичные суммы сверху вниз и найдите строку, где расхождение появилось: чаще всего это потерянный минус или отсчёт, попавший не в ту графу.

Чем невязка отличается от расхождения в постраничном контроле? Постраничный контроль проверяет вашу арифметику и обязан сходиться в ноль всегда. Невязка - результат измерений, она почти никогда не равна нулю и лишь должна укладываться в допуск. Ноль в невязке при полевом ходе выглядит подозрительно и обычно означает подгонку.

Как распределять поправки, если плечи станций сильно разные? Поровну делят только при примерно равных расстояниях. Если секции различаются, поправку в превышение секции берут пропорционально её длине: $v_i = -f_h \cdot L_i / \sum L$. Сумма округлённых поправок при этом всё равно должна дать ровно $-f_h$.

Сколько знаков оставлять в журнале? Отсчёты и превышения ведут в целых миллиметрах, отметки записывают с тремя знаками после запятой. Округление до сантиметров допускается в готовой ведомости пикетов, но не в самом журнале.

Коротко

1. Занесите отсчёты в графы задних и передних, по станциям, в миллиметрах и без округления.
2. Посчитайте превышения $h = a - b$ по каждой станции, со знаком, и просуммируйте страницу.
3. Проверьте постраничный контроль $\sum a - \sum b = \sum h$: у нас $8462 - 8453 = +9$ мм.
4. Найдите невязку ($f_h = +9$ мм для замкнутого хода) и сравните с допуском $\pm 10\sqrt{n} = \pm 20$ мм.
5. Распределите поправки $-2, -2, -2, -3$ мм и посчитайте отметки: 68,982; 68,425; 67,679 м с замыканием на 68,432 м.