Как найти приращения координат: пошаговое решение

Дано: сторона теодолитного хода 1-2, её горизонтальное проложение $d = 214{,}50$ м, дирекционный угол $\alpha = 45^\circ12'$, координаты начальной точки $x_1 = 500{,}00$ м и $y_1 = 700{,}00$ м. Найти: приращения координат $\Delta x$ и $\Delta y$ и координаты точки 2.

Приращение координат - это проекция линии хода на координатную ось, то есть катет прямоугольного треугольника, в котором сама линия служит гипотенузой. Отсюда и решение: $\Delta x = d\cos\alpha$, $\Delta y = d\sin\alpha$. Ответ получается такой: $\Delta x = +151{,}14$ м, $\Delta y = +152{,}20$ м, а координаты точки 2 равны $x_2 = 651{,}14$ м и $y_2 = 852{,}20$ м. Калькулятор сверху рисует план этой линии и пересчитывает оба приращения при любой длине и любом дирекционном угле, а ниже разобран каждый шаг и увязка всего замкнутого хода.

Решение по шагам

Шаг 1. Выписываем данные и вспоминаем, как ориентированы оси. В плановых геодезических координатах ось абсцисс $X$ направлена на север, ось ординат $Y$ - на восток, а дирекционный угол отсчитывается от северного направления оси $X$ по ходу часовой стрелки. Поэтому проекция на север идёт через косинус, а на восток - через синус, и перепутать их местами нельзя.

Шаг 2. Определяем четверть и знаки приращений. Угол $45^\circ12'$ меньше $90^\circ$, значит направление лежит в первой четверти, румб северо-восточный и численно равен самому углу: $r = 45^\circ12'$. В первой четверти линия идёт и на север, и на восток, поэтому оба приращения выйдут со знаком плюс. Знак нужно определить до вычислений: калькулятор выдаёт его автоматически, а вручную на этом теряют баллы чаще всего.

Шаг 3. Считаем приращение по абсциссе. Переводим минуты в доли градуса: $45^\circ12' = 45{,}2^\circ$, откуда $\cos 45{,}2^\circ = 0{,}70463$.

$$\Delta x = d\cos\alpha = 214{,}50 \cdot 0{,}70463 = 151{,}14 \text{ м}$$

Шаг 4. Считаем приращение по ординате. Синус того же угла равен $\sin 45{,}2^\circ = 0{,}70957$:

$$\Delta y = d\sin\alpha = 214{,}50 \cdot 0{,}70957 = 152{,}20 \text{ м}$$

Шаг 5. Проверяем результат теоремой Пифагора. Катеты обязаны восстановить гипотенузу, то есть исходную длину линии:

$$\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} = \sqrt{151{,}14^2 + 152{,}20^2} = 214{,}50 \text{ м}$$

Сошлось с точностью до сантиметра, значит арифметика верна. Этот контроль занимает полминуты и ловит и потерянный знак, и перепутанные синус с косинусом.

Шаг 6. Находим координаты второй точки. Приращения прибавляются к координатам предыдущей точки со своими знаками:

$$\begin{aligned} x_2 &= x_1 + \Delta x = 500{,}00 + 151{,}14 = 651{,}14 \text{ м},\\ y_2 &= y_1 + \Delta y = 700{,}00 + 152{,}20 = 852{,}20 \text{ м}. \end{aligned}$$

Ответ: $\Delta x = +151{,}14$ м, $\Delta y = +152{,}20$ м; $x_2 = 651{,}14$ м, $y_2 = 852{,}20$ м.

Формула и откуда она берётся

Формулы приращений - это обычный переход от полярных координат к прямоугольным, только записанный на геодезическом языке. Линия хода задана полярно: длиной и направлением. Чтобы положить её на план, направление раскладывают на две взаимно перпендикулярные составляющие, и каждая составляющая равна длине, умноженной на косинус или синус угла между линией и соответствующей осью.

$$\Delta x = d\cos\alpha, \qquad \Delta y = d\sin\alpha$$

Здесь $d$ - горизонтальное проложение линии, то есть её длина, приведённая к горизонту, а не измеренная по склону; $\alpha$ - дирекционный угол, отсчитанный от северного направления осевого меридиана зоны. Если в поле измерена наклонная длина $D$ при угле наклона $\nu$, то сначала считают $d = D\cos\nu$ и только потом берут приращения, иначе ход выйдет длиннее реального.

Дирекционный угол в задаче обычно уже дан или получен из измеренных углов хода. Если же он задан магнитным азимутом или снят с карты компасом, его сперва приводят к сетке карты через поправку направления - этот переход разобран отдельно в задаче про магнитный азимут. Важно не путать плановые прямоугольные координаты с географическими: широта и долгота снимаются с рамки карты совсем иначе, чем считаются приращения, и разбор такого снятия лежит в задаче про географические координаты по карте.

Знаки приращений по четвертям и обратная задача

Знак приращения задаёт четверть, в которую попал дирекционный угол. Румб - это острый угол между линией и ближайшим концом оси абсцисс, он всегда положителен, поэтому знаки берут не из тригонометрии, а из таблицы четвертей.

Если считать на калькуляторе в градусном режиме, знаки получатся сами: косинус во второй и третьей четвертях отрицателен, синус - в третьей и четвёртой. Проблема возникает у тех, кто работает через румбы: там угол всегда острый, обе функции положительны, и знак приходится ставить руками по таблице.

У задачи есть и обратная постановка. Если известны координаты обеих точек, приращения находят простым вычитанием, а по ним восстанавливают длину линии и её направление. Для нашей стороны это выглядит так: $\Delta x = 651{,}14 - 500{,}00 = +151{,}14$ м и $\Delta y = 852{,}20 - 700{,}00 = +152{,}20$ м. Длина равна $\sqrt{151{,}14^2 + 152{,}20^2} = 214{,}50$ м, а румб находится через тангенс: $\operatorname{tg} r = |\Delta y| / |\Delta x| = 152{,}20 / 151{,}14 = 1{,}00701$, откуда $r = 45^\circ12'$. Оба приращения положительны, четверть первая, поэтому дирекционный угол совпал с румбом. Переключи калькулятор в режим обратной задачи - он выполнит именно этот пересчёт. Приращения задают только плановое положение точки; её высоту берут из нивелирования - как считают отметку точки, разобрано отдельно.

Ведомость замкнутого хода: невязки и поправки

В настоящей работе приращения считают не для одной стороны, а для всего хода, и заполняют ведомость вычисления координат. Возьмём замкнутый ход из четырёх сторон, первая из которых - уже разобранная нами.

В замкнутом ходе точка возврата совпадает с точкой старта, поэтому теоретические суммы приращений равны нулю. Фактические суммы нулю не равны - это и есть невязки:

$$f_x = \sum \Delta x = +0{,}14 \text{ м}, \qquad f_y = \sum \Delta y = -0{,}07 \text{ м}$$

Абсолютная линейная невязка хода - гипотенуза, построенная на этих двух катетах, а качество хода оценивают её отношением к периметру $P$:

$$f_{\text{абс}} = \sqrt{f_x^2 + f_y^2} = \sqrt{0{,}14^2 + 0{,}07^2} = 0{,}16 \text{ м}, \qquad f_{\text{отн}} = \frac{0{,}16}{738{,}12} \approx \frac{1}{4700}$$

Допустимая относительная невязка теодолитного хода - $1/2000$, у нас получилось вчетверо точнее, значит ход годен и его можно увязывать. Поправки распределяют пропорционально длинам сторон и с обратным знаком невязки: чем длиннее сторона, тем больше в ней накопилось ошибки.

$$\delta x_i = -\frac{f_x}{P} d_i, \qquad \delta y_i = -\frac{f_y}{P} d_i$$

Для первой стороны это даёт $\delta x_1 = -0{,}14 \cdot 214{,}50 / 738{,}12 = -0{,}04$ м и $\delta y_1 = +0{,}07 \cdot 214{,}50 / 738{,}12 = +0{,}02$ м. Остальные поправки считают так же, а затем проверяют, что их сумма в точности погасила невязку.

Исправленные приращения дают в сумме ровно нуль, а последовательное их прибавление возвращает нас в исходную точку с координатами $500{,}00$ и $700{,}00$ - это главный контроль всей ведомости. Обрати внимание, что после увязки координаты точки 2 немного изменились: вместо предварительных $651{,}14$ и $852{,}20$ получились $651{,}10$ и $852{,}22$. Так и должно быть, окончательными считаются координаты после увязки.

Частые ошибки

• Синус и косинус меняют местами. Приращение по абсциссе всегда идёт через косинус, потому что ось абсцисс направлена на север, а дирекционный угол отсчитывается именно от неё. Проверка одна: при угле, близком к нулю, линия идёт почти на север, и $\Delta y$ обязано быть маленьким.
• Теряют знак приращения. Если считать через румб, обе функции положительны, и знак надо ставить по четверти вручную. Забытый минус уводит точку в противоположный угол плана.
• Берут наклонную длину вместо горизонтального проложения. На склоне разница между $D$ и $d$ достигает метров, а в формулу приращений подставляется только проложение.
• Распределяют поправки поровну, а не пропорционально длинам. Ошибка измерения растёт с длиной линии, поэтому длинная сторона обязана получить большую поправку.
• Ставят поправке тот же знак, что у невязки. Поправка гасит невязку, значит её знак противоположен: при $f_x$ со знаком плюс все поправки по абсциссе отрицательны.
• Округляют промежуточные значения косинуса до двух знаков. Пяти знаков после запятой достаточно, трёх уже мало: на сотнях метров ошибка вылезает в сантиметры и раздувает невязку.

FAQ

Чем приращение координат отличается от самой координаты? Приращение - это разность координат двух соседних точек, то есть насколько сместилась точка вдоль оси. Координата же отсчитывается от начала системы. В ведомости приращения складывают нарастающим итогом и получают координаты всех точек хода.

Почему в замкнутом ходе сумма приращений должна равняться нулю? Потому что ход возвращается в ту же точку: все смещения на север компенсируются смещениями на юг, а смещения на восток - смещениями на запад. Для разомкнутого хода теоретическая сумма равна не нулю, а разности координат конечного и начального пунктов, и невязка считается относительно неё.

Какая невязка считается допустимой? Для теодолитного хода нормой служит относительная невязка не грубее $1/2000$, на застроенной территории требования жёстче - до $1/3000$. Абсолютная величина сама по себе ни о чём не говорит: 20 сантиметров на ход в 100 метров - это брак, а на ход в 2 километра - хороший результат.

Что делать, если невязка превысила допустимую? Увязывать такой ход бессмысленно, ошибка не случайная, а грубая. Сначала пересчитывают дирекционные углы и приращения, затем проверяют журнал измерений и знаки по четвертям, и только убедившись, что арифметика чиста, повторяют измерения подозрительной стороны.

Коротко

1. Приращения координат - проекции линии хода на оси: $\Delta x = d\cos\alpha$ и $\Delta y = d\sin\alpha$, где $d$ - горизонтальное проложение, $\alpha$ - дирекционный угол.
2. Знак приращения задаётся четвертью: в первой оба плюс, во второй абсцисса минус, в третьей оба минус, в четвёртой ордината минус.
3. Для стороны $d = 214{,}50$ м при $\alpha = 45^\circ12'$ получаем $\Delta x = +151{,}14$ м и $\Delta y = +152{,}20$ м, а координаты точки 2 равны $x_2 = 651{,}14$ м и $y_2 = 852{,}20$ м.
4. Контроль вычислений - теорема Пифагора: $\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ обязано вернуть исходную длину линии.
5. В замкнутом ходе суммы приращений дают невязки $f_x$ и $f_y$; при $f_{\text{отн}}$ не грубее $1/2000$ ход увязывают, распределяя поправки пропорционально длинам сторон и с обратным знаком.