Как определить крутизну ската: пошаговое решение

Дано: карта масштаба $1:10\,000$, высота сечения рельефа $h = 2{,}5$ м, заложение между соседними горизонталями $a = 5{,}0$ мм на карте. Найти: крутизну ската, то есть угол наклона и уклон.

Крутизна ската считается через заложение: превышение между горизонталями делят на горизонтальное расстояние между ними, а полученный уклон переводят в градусы через арктангенс. Ответ: уклон $i = 0{,}05$, то есть 5% или 50 промилле, угол наклона $\nu \approx 2^\circ 52'$. Калькулятор сверху строит для этих данных график заложений и пересчитывает крутизну под любой масштаб и сечение рельефа, ниже идёт решение по шагам.

Решение по шагам

Шаг 1. Переводим заложение с карты на местность. Заложение измерено линейкой по бумаге, а в формулу крутизны идёт расстояние на местности. Умножаем на знаменатель масштаба:

$$d = a \cdot M = 5{,}0 \cdot 10\,000 = 50\,000\ \text{мм} = 50\ \text{м}.$$

Тот же перевод разобран в задаче о расстоянии по карте; если знаменатель масштаба неизвестен, его сначала находят по километровой сетке или известной линии.

Шаг 2. Записываем превышение. Между двумя соседними горизонталями превышение равно высоте сечения рельефа, она подписана под южной рамкой карты:

$$\Delta h = h = 2{,}5\ \text{м}.$$

Шаг 3. Считаем уклон. Уклон это отношение превышения к заложению:

$$i = \frac{\Delta h}{d} = \frac{2{,}5}{50} = 0{,}05.$$

Шаг 4. Переводим уклон в проценты и промилле. Умножаем на 100 и на 1000:

$$i = 0{,}05 = 5\% = 50\ \text{промилле}.$$

Читается это так: на каждые 100 м по горизонтали скат поднимается на 5 м, а на каждый километр набирает 50 м высоты.

Шаг 5. Переводим уклон в градусы. Уклон численно равен тангенсу угла наклона, поэтому угол берётся арктангенсом:

$$\nu = \operatorname{arctg} i = \operatorname{arctg} 0{,}05 = 2{,}8624^\circ = 2^\circ 51{,}7' \approx 2^\circ 52'.$$

Шаг 6. Проверяем приближённой формулой. Для пологих скатов угол в градусах примерно равен уклону, умноженному на 57,3:

$$\nu \approx 57{,}3 \cdot i = 57{,}3 \cdot 0{,}05 = 2{,}865^\circ = 2^\circ 51{,}9'.$$

Расхождение с точным значением всего 0,2 минуты, то есть меньше цены деления любой транспортирной шкалы. Расчёт сходится.

Ответ: уклон $i = 0{,}05$ (5%, 50 промилле), крутизна ската $\nu \approx 2^\circ 52'$.

Сравнение соседних участков той же карты делается без формул. Если рядом заложение сократилось до 2,0 мм, то на местности это 20 м, уклон становится $2{,}5/20 = 0{,}125$, то есть 12,5% и 125 промилле, а угол вырастает до $7^\circ 07{,}5' \approx 7^\circ 08'$. Вывод, который проверяют почти в каждой контрольной: чем гуще горизонтали и короче заложение, тем круче скат.

Формула и откуда она берётся

Разрежем склон вертикальной плоскостью и получим прямоугольный треугольник. Его вертикальный катет это превышение $\Delta h$, горизонтальный катет это заложение $d$, а гипотенуза идёт по поверхности земли. Угол между гипотенузой и горизонталью и есть крутизна ската:

$$\operatorname{tg} \nu = \frac{\Delta h}{d} = i, \qquad \nu = \operatorname{arctg} \frac{\Delta h}{d}.$$

Из этой записи видно главное: уклон и угол это одна и та же величина в двух формах. Уклон безразмерен и удобен в проектировании (нормы для дорог и труб задают именно в промилле), угол в градусах нагляден и снимается прямо с графика заложений.

Заложение $d$ это горизонтальная проекция, а не длина линии по склону. Иногда возникает опасение, что подмена длины проекцией портит ответ, но масштаб ошибки легко оценить: наклонная длина равна $\sqrt{50^2 + 2{,}5^2} = 50{,}06$ м, то есть длиннее проекции на 0,12%. При углах до 10 градусов такой разницей пренебрегают, и все карты по определению дают именно горизонтальные проложения.

Высота сечения рельефа $h$ берётся из зарамочного оформления, а не выдумывается: для карт 1:10 000 это обычно 2,5 м, для 1:25 000 и 1:50 000 чаще 5 и 10 м. Если горизонтали подписаны отметками, превышение проще снять как разность подписей, а промежуточные значения между горизонталями находят интерполяцией, как в разборе отметки точки.

График заложений: крутизна без вычислений

На топографических картах под южной рамкой печатают график заложений, и он избавляет от арктангенса. Строят его так: для углов 1, 2, 3 градуса и далее вычисляют заложение $d = h / \operatorname{tg} \nu$, переводят в миллиметры карты и откладывают эти отрезки вертикально над шкалой углов, а концы соединяют плавной кривой. Для нашей карты получается такая таблица.

Пользуются графиком за один приём: раствором циркуля берут заложение между горизонталями, переносят на график и ищут место, где вертикальный отрезок кривой равен этому раствору. Подпись под этим местом и есть крутизна. Строка 5,0 мм в таблице соответствует нашему ответу 2°52', так что график подтверждает вычисление.

Кривая заложений спадает гиперболически, и отсюда её главное практическое свойство. На пологих скатах небольшое изменение заложения сильно меняет угол, поэтому крутизна снимается уверенно. На крутых скатах заложения сжимаются до долей миллиметра, кривая идёт почти горизонтально, и разница между 25 и 30 градусами на бумаге уже неразличима. Поэтому рядом печатают вторую кривую с более крупным шагом, а точные значения для обрывов подписывают отдельно.

Средний уклон линии через несколько горизонталей

Часто спрашивают крутизну не между двумя горизонталями, а по всей линии трассы. Формула та же, меняются только числа: в числителе полное превышение, в знаменателе полная длина линии на местности.

Пусть линия AB на карте 1:10 000 имеет длину 3,2 см и пересекает горизонтали от 145 до 160 м при сечении рельефа 2,5 м. Длина на местности равна $3{,}2 \cdot 10\,000 = 32\,000$ см, то есть 320 м. Превышение равно разности крайних отметок: $160 - 145 = 15$ м. Тогда

$$i_{\text{ср}} = \frac{15}{320} = 0{,}0469 \approx 46{,}9\ \text{промилле}, \qquad \nu_{\text{ср}} = \operatorname{arctg} 0{,}0469 = 2^\circ 41'.$$

Здесь легко ошибиться в превышении. Если считать не по отметкам, а по числу пересечённых горизонталей, то нужно брать число промежутков, а оно на единицу меньше числа линий: семь горизонталей дают шесть промежутков и превышение $6 \cdot 2{,}5 = 15$ м, а не $7 \cdot 2{,}5 = 17{,}5$ м.

Второй нюанс касается направления. Крутизна ската определяется по линии наибольшего ската, то есть по перпендикуляру к горизонталям: там заложение кратчайшее, а уклон наибольший. Любое косое направление даёт заложение длиннее и крутизну меньше настоящей. И ещё: средний уклон сглаживает профиль. Линия со средним уклоном 47 промилле может состоять из полки в 10 промилле и обрыва в 150, поэтому для трассирования дороги проверяют каждый отрезок между горизонталями отдельно.

Отметки, по которым проводят горизонтали, берут не с потолка - их вычисляют из полевых измерений: как ведётся и контролируется журнал нивелирования, разобрано отдельно.

Частые ошибки

• Заложение подставляют в миллиметрах карты. Уклон $2{,}5 / 5{,}0 = 0{,}5$ выглядит правдоподобно, но завышен в тысячу раз: перед делением заложение обязательно переводится на местность умножением на знаменатель масштаба.
• Уклон выдают за угол. Уклон 5% это не 5 градусов, а 2°52'. Переход между ними идёт только через тангенс, и путаница даёт ошибку почти вдвое.
• Промилле считают процентами. Промилле это тысячная доля: 50 промилле равны 5%, а не 50%. Ошибка в десять раз обычно всплывает уже в проектной части задачи.
• Вместо сечения рельефа берут отметку горизонтали. В числителе стоит превышение между горизонталями, то есть высота сечения рельефа (2,5 м), а не подписанная отметка (например, 150 м).
• Считают горизонтали вместо промежутков. Между $n$ горизонталями всего $n - 1$ промежуток, поэтому превышение надёжнее брать разностью крайних отметок.
• Меряют заложение вкось. Отрезок проводят по кратчайшему расстоянию между горизонталями, перпендикулярно им; наклонный отрезок занижает крутизну.
• Применяют приближение $\nu \approx 57{,}3 i$ к крутым склонам. При 5 градусах оно почти точно, при 20 градусах даёт уже около одного градуса ошибки, поэтому за пределами пологих скатов нужен арктангенс.

FAQ

Чем крутизна ската отличается от уклона? Это одна величина в разных единицах. Крутизна выражается углом наклона в градусах и минутах, уклон той же линии выражается отношением превышения к заложению в долях, процентах или промилле. Связь между ними: $i = \operatorname{tg} \nu$.

Как перевести уклон в градусы и обратно? Прямой переход: $\nu = \operatorname{arctg} i$, например $\operatorname{arctg} 0{,}12 = 6^\circ 51'$. Обратный: $i = \operatorname{tg} \nu$. Для пологих скатов до 6 градусов работает приближение $\nu^\circ \approx 57{,}3 \cdot i$, а обратно $i \approx \nu^\circ / 57{,}3$.

Где скат круче: там, где горизонтали гуще или где реже? Там, где гуще. Густые горизонтали означают короткое заложение при одном и том же превышении, а короткое заложение стоит в знаменателе формулы уклона, поэтому крутизна растёт. Обрывы, где заложение вырождается в ноль, показывают специальным знаком, а не горизонталями.

Что делать, если высота сечения рельефа не подписана? Её восстанавливают по подписям утолщённых горизонталей: разность двух соседних подписей делят на число промежутков между ними. Например, между отметками 150 и 160 м проведены четыре промежуточные линии, значит промежутков пять и сечение равно 2 м.

Коротко

1. Измерить заложение между горизонталями по кратчайшему направлению и перевести его на местность: $d = a \cdot M$. Для примера: $5{,}0$ мм на карте 1:10 000 дают 50 м.
2. Взять превышение: между соседними горизонталями оно равно высоте сечения рельефа $h$, для линии через несколько горизонталей это разность крайних отметок.
3. Посчитать уклон $i = \Delta h / d$ и записать его в процентах и промилле: $2{,}5 / 50 = 0{,}05 = 5\% = 50$ промилле.
4. Перевести уклон в градусы: $\nu = \operatorname{arctg} i \approx 2^\circ 52'$, для пологих скатов проверить приближением $\nu \approx 57{,}3 i$.
5. Проконтролировать ответ по графику заложений под южной рамкой карты: заложению 5,0 мм на нём отвечает то же значение крутизны.