Как определить прямоугольные координаты по карте: решение

Дано: топографическая карта масштаба $1:25\,000$ с километровой сеткой через 1 км, на листе это квадраты со стороной 4 см. Точка $A$ лежит в квадрате, южная линия которого подписана $6065$, а западная $4311$. Перпендикуляр от точки до южной линии равен $a = 26{,}2$ мм, до западной $b = 17{,}8$ мм. Найти: прямоугольные координаты $X$ и $Y$ точки, номер зоны и удаление от осевого меридиана.

Линии сетки дают целые километры, а метры внутри квадрата добавляются по масштабу: на карте $1:25\,000$ в одном миллиметре 25 м местности. Ответ: $X = 6\,065\,655$ м, $Y = 4\,311\,445$ м, точка лежит в 4-й зоне и отстоит от её осевого меридиана $21^\circ$ в. д. на $188\,555$ м к западу. Калькулятор сверху рисует тот же квадрат с перпендикулярами и пересчитывает ответ для других отсчётов, масштабов и деформированной бумаги.

Решение по шагам

Шаг 1. Находим квадрат и выписываем подписи его линий. Километровая сетка - это горизонтальные и вертикальные линии через целый километр. Горизонтальные линии подписаны абсциссами $X$, то есть расстоянием от экватора в километрах, вертикальные - ординатами $Y$. Внутри листа крупно печатают только две последние цифры (65 и 11), полностью подписи стоят у углов рамки. Квадрат называют по его южной и западной линиям: наша точка лежит в квадрате 6511, от линий $6065$ и $4311$ и ведём отсчёт.

Шаг 2. Опускаем перпендикуляры на линии сетки. Циркулем или линейкой меряем кратчайшее расстояние от точки до южной линии квадрата и до западной. Получилось $a = 26{,}2$ мм и $b = 17{,}8$ мм. Сразу делаем контрольный замер до противоположных линий: до северной $13{,}8$ мм, до восточной $22{,}2$ мм. Каждая пара даёт в сумме $40{,}0$ мм, ровно сторону квадрата, значит отсчёты взяты без промаха.

Шаг 3. Переводим миллиметры в метры. Масштаб $1:25\,000$ значит, что 1 мм карты равен $25\,000$ мм, то есть 25 м на местности:

$$\Delta x = a \cdot \frac{M}{1000} = 26{,}2 \cdot 25 = 655\ \text{м}, \qquad \Delta y = b \cdot \frac{M}{1000} = 17{,}8 \cdot 25 = 445\ \text{м}.$$

Шаг 4. Прибавляем метры к километрам линий. Подписи линий переводим в метры и добавляем приращения:

$$\begin{aligned} X &= 6\,065\,000 + 655 = 6\,065\,655\ \text{м}, \\ Y &= 4\,311\,000 + 445 = 4\,311\,445\ \text{м}. \end{aligned}$$

Контроль от противоположных линий даёт то же самое: $6\,066\,000 - 13{,}8 \cdot 25 = 6\,065\,655$ м и $4\,312\,000 - 22{,}2 \cdot 25 = 4\,311\,445$ м.

Шаг 5. Читаем номер зоны и настоящее удаление от осевого меридиана. Первая цифра ординаты, 4, - номер шестиградусной зоны, её осевой меридиан $L_0 = 6 \cdot 4 - 3 = 21^\circ$ в. д. Оставшиеся $311\,445$ м содержат условную добавку 500 км, поэтому настоящая ордината $y = 311\,445 - 500\,000 = -188\,555$ м. Минус значит, что точка лежит к западу от осевого меридиана.

Ответ: $X = 6\,065\,655$ м, $Y = 4\,311\,445$ м; зона 4, точка в $188\,555$ м к западу от осевого меридиана $21^\circ$ в. д.

Формула и откуда она берётся

В общем виде координаты точки внутри квадрата считаются одной пропорцией:

$$X = X_{\text{ю}} + d \cdot \frac{a}{s}, \qquad Y = Y_{\text{з}} + d \cdot \frac{b}{s},$$

где $X_{\text{ю}}$ и $Y_{\text{з}}$ - подписи южной и западной линий квадрата в метрах, $d$ - шаг сетки на местности (1000 м), $s$ - сторона квадрата на карте в миллиметрах, $a$ и $b$ - отсчёты до точки. Если бумага не деформирована, $s = 40$ мм, а $d / s = 25$ м в миллиметре, то есть та же цена деления, что дал масштаб в шаге 3.

Сами числа на линиях - это координаты проекции Гаусса-Крюгера. Землю делят меридианами на 60 зон шириной $6^\circ$ и каждую разворачивают на плоскость отдельно. Изображение осевого меридиана зоны становится осью $X$, изображение экватора - осью $Y$. Абсцисса поэтому равна расстоянию от экватора к северу, а ордината - расстоянию от осевого меридиана к востоку.

Обрати внимание на оси: в геодезии $X$ смотрит на север, а $Y$ на восток, наоборот по сравнению со школьной декартовой системой. Так удобнее, потому что направления на местности отсчитывают от севера по часовой стрелке. С этими осями по координатам двух точек ищут длину и направление линии - это разобрано в задаче про приращения координат.

Как читать ординату: зона, осевой меридиан и 500 км

Номер зоны $n$ отсчитывают от Гринвича на восток, зона $n$ занимает долготы от $6(n-1)$ до $6n$ градусов. Для нашей 4-й зоны это полоса от $18^\circ$ до $24^\circ$ в. д., её осевой меридиан:

$$L_0 = 6n - 3 = 6 \cdot 4 - 3 = 21^\circ.$$

Точки к западу от осевого меридиана имели бы отрицательную ординату. Чтобы минусов не было нигде, к ординате прибавляют 500 км: полуширина зоны на экваторе около 334 км, так что условная ордината любой точки остаётся положительной. Перед ней ещё ставят номер зоны, иначе точки с одинаковыми числами в соседних зонах было бы не различить.

Проверим ответ по здравому смыслу. Длина градуса меридиана в среднем от экватора до этих широт около 110,9 км, и $6065{,}7 / 110{,}9 \approx 54{,}7^\circ$ с. ш. Градус долготы на такой широте короче, примерно 64,5 км, поэтому $188{,}6$ км к западу - это около $2{,}9^\circ$, и долгота точки около $18^\circ05'$ в. д. Точный пересчёт по формулам проекции даёт $54^\circ41'$ с. ш. и $18^\circ05'$ в. д. Как снимать широту и долготу прямо с минутной рамки листа, показано в задаче про географические координаты по карте.

Если бумага деформирована или масштаб другой

Бумага садится и растягивается от влажности, и сторона квадрата на старом листе редко равна ровно 40 мм. Поэтому надёжнее считать не по масштабу, а по пропорции от фактической стороны. Пусть квадрат измерился $s = 39{,}6$ мм:

$$\Delta x = 1000 \cdot \frac{26{,}2}{39{,}6} = 661{,}62 \approx 662\ \text{м}, \qquad \Delta y = 1000 \cdot \frac{17{,}8}{39{,}6} = 449{,}49 \approx 449\ \text{м}.$$

Тогда $X = 6\,065\,662$ м и $Y = 4\,311\,449$ м. По $X$ поправка составила 7 м, а графическая точность карты $1:25\,000$ всего 5 м: ошибка отсчёта в 0,2 мм умножается на 25 м. Значит, деформацией бумаги здесь пренебрегать нельзя. Калькулятор сверху делает ту же поправку, если сдвинуть ползунок стороны квадрата.

На картах других масштабов меняются шаг сетки и цена миллиметра:

Как по известному отрезку найти сам масштаб, если он не подписан, разобрано в задаче про масштаб карты.

Обратная задача, нанесение точки по координатам, решается тем же путём в другую сторону. Для $X = 5\,870\,340$ м и $Y = 7\,412\,760$ м на карте $1:50\,000$ нужен квадрат с линиями 5870 и 7412, то есть квадрат 7012. От южной линии откладываем $340 / 50 = 6{,}8$ мм, от западной $760 / 50 = 15{,}2$ мм. Точка встаёт на пересечении двух перпендикуляров.

В пределах одного листа координаты часто пишут сокращённо: две последние цифры километров и метры. Наша точка в такой записи выглядит как $X = 65\,655$, $Y = 11\,445$.

Частые ошибки

• Путают оси и пишут $X = 4\,311\,445$ м. Абсцисса всегда снимается с горизонтальных линий и растёт к северу, ордината снимается с вертикальных и начинается с номера зоны.
• Меряют параллельно рамке листа, а не перпендикулярно линиям сетки. Километровая сетка идёт параллельно осевому меридиану зоны и развёрнута относительно рамки на сближение меридианов, здесь около $2{,}4^\circ$. На краю квадрата косой замер уводит отсчёт на миллиметр и больше. Как сближение меридианов входит в расчёт направлений, показано в задаче про магнитный азимут.
• Отсчёт от северной линии прибавляют к подписи южной: $6\,065\,000 + 345$ вместо $6\,065\,000 + 655$. Метры внутри квадрата всегда отсчитываются вверх от южной линии и вправо от западной.
• Ошибаются в цене деления: на карте $1:25\,000$ в миллиметре 25 м, а 250 м приходится на сантиметр. Перепутанный множитель даёт координату, которая выходит за пределы своего квадрата.
• Считают $311\,445$ м расстоянием от осевого меридиана и забывают вычесть условные 500 км. Точка от этого переезжает на другую сторону осевого меридиана.
• На карте $1:100\,000$ берут шаг сетки за 1 км. Там линии проведены через 2 км, и тот же отсчёт в миллиметрах стоит вдвое больше метров.

FAQ

Зачем на одной карте две системы координат? Широта и долгота по рамке удобны для связи с глобальными данными, но считать в угловых величинах неудобно: секунда долготы на разных широтах стоит разное число метров. Прямоугольные координаты сразу даны в метрах, поэтому расстояния, площади и направления по ним считаются простой алгеброй.

Что делать, если точка лежит у границы двух зон? На листах у края зоны на внешней рамке дополнительно показаны выходы линий километровой сетки соседней зоны. Если координаты нужно получить в соседней зоне, эти выходы соединяют карандашом и снимают отсчёты от построенной сетки так же, как от основной.

Чем удобнее мерить отсчёты? Для учебной задачи хватает линейки с миллиметровыми делениями или циркуля-измерителя. На практике используют координатомер - угольник со шкалами, размеченными прямо в метрах для нужного масштаба. Его прикладывают к южной и западной линиям квадрата и читают приращения без перевода миллиметров.

Можно ли записывать координаты до метра? Записывать можно, но надо понимать реальную точность: отсчёт по карте берётся с ошибкой около 0,2 мм, что на карте $1:25\,000$ составляет 5 м. Поэтому последний знак в $6\,065\,655$ показывает скорее порядок округления, чем точное положение, и для карт мельче лучше округлять до 10 м.

Коротко

1. Найди квадрат с точкой и выпиши подписи его южной и западной линий: у нас $6065$ и $4311$ км.
2. Измерь перпендикуляры до этих линий, $26{,}2$ и $17{,}8$ мм, и проверь, что с отсчётами до противоположных линий они дают сторону квадрата, 40 мм.
3. Переведи миллиметры в метры по масштабу или по пропорции от фактической стороны: $655$ и $445$ м.
4. Прибавь метры к километрам линий: $X = 6\,065\,655$ м, $Y = 4\,311\,445$ м.
5. Прочитай зону по первой цифре ординаты и вычти 500 км: зона 4, осевой меридиан $21^\circ$ в. д., точка в $188\,555$ м к западу от него.