Как рассчитать объём стока: формула и пример расчёта

Дано: средний годовой расход воды в реке $Q = 12{,}5$ м³/с, площадь водосбора $F = 1250$ км², годовая сумма осадков $x = 620$ мм. Найти: объём годового стока $W$, модуль стока $M$, слой стока $h$ и коэффициент стока $\alpha$.

Объём стока считается по формуле $W = QT$: средний расход умножается на длительность периода, переведённую в секунды. Ответ: $W = 394{,}2$ млн м³, или 0,394 км³; $M = 10$ л/(с·км²); $h = 315$ мм; $\alpha = 0{,}51$. Калькулятор сверху пересчитывает все четыре показателя под любой расход, площадь водосбора и длительность периода, а столбики показывают, как слой осадков делится на сток и потери.

Решение по шагам

Дано: $Q = 12{,}5$ м³/с, $F = 1250$ км², $x = 620$ мм за год. Найти: $W$, $M$, $h$, $\alpha$.

Шаг 1. Переводим период в секунды. Расход измеряется в кубометрах за секунду, значит и время в формуле $W = QT$ обязано быть в секундах, иначе единицы не сократятся. В календарном году 365 суток:

$$T = 365 \cdot 24 \cdot 3600 = 31\,536\,000 \approx 31{,}54 \cdot 10^{6}\ \text{с}.$$

Число 31,54 млн секунд стоит держать в памяти: в гидрологических расчётах годовой период встречается постоянно, и почти все ошибки в объёме стока начинаются с того, что расход умножили на 365 вместо 31,54 миллиона.

Шаг 2. Считаем объём годового стока. Подставляем расход и период:

$$W = Q T = 12{,}5 \cdot 31{,}536 \cdot 10^{6} = 394{,}2 \cdot 10^{6}\ \text{м}^3.$$

Записывать такой результат в кубометрах неудобно, поэтому объём стока принято выражать в миллионах кубометров или в кубических километрах: $W = 394{,}2$ млн м³ $= 0{,}3942$ км³. Оба варианта равноправны, но в курсовых по гидрологии годовой сток крупных рек обычно приводят в км³, а сток малых водотоков и водохранилищ - в млн м³.

Шаг 3. Находим модуль стока. Модуль стока показывает, сколько воды в секунду даёт каждый квадратный километр водосбора. Это расход, отнесённый к площади:

$$M = \frac{Q}{F} = \frac{12{,}5}{1250} = 0{,}01\ \frac{\text{м}^3}{\text{с}\cdot\text{км}^2} = 10\ \frac{\text{л}}{\text{с}\cdot\text{км}^2}.$$

Переход от кубометров к литрам даёт множитель 1000, поэтому в литрах модуль получается ровно 10. Именно в литрах на секунду с квадратного километра модуль стока приводится в справочниках и на картах изолиний, так что ответ лучше давать в этих единицах.

Шаг 4. Находим слой стока. Слой стока - это объём стока, «размазанный» ровным слоем по всей площади водосбора. Площадь переводим в квадратные метры: $F = 1250$ км² $= 1250 \cdot 10^{6}$ м².

$$h = \frac{W}{F} = \frac{394{,}2 \cdot 10^{6}}{1250 \cdot 10^{6}} = 0{,}3154\ \text{м} = 315{,}4\ \text{мм}.$$

Слой стока измеряется в миллиметрах - в тех же единицах, что и осадки. Это сделано намеренно: только так сток и осадки можно сравнивать напрямую.

Шаг 5. Находим коэффициент стока. Коэффициент стока - отношение слоя стока к слою выпавших осадков:

$$\alpha = \frac{h}{x} = \frac{315{,}4}{620} = 0{,}51.$$

Значение безразмерное и по смыслу лежит между нулём и единицей: чуть больше половины выпавших осадков дошло до замыкающего створа реки, остальные 305 мм ушли на испарение, транспирацию и пополнение подземных вод.

Ответ. $W = 394{,}2$ млн м³ (0,394 км³); $M = 10$ л/(с·км²); $h = 315{,}4$ мм; $\alpha = 0{,}51$.

Формула объёма стока и откуда она берётся

Расход $Q$ - это объём воды, проходящий через створ за единицу времени, то есть производная объёма по времени. Значит, объём стока за период от $t_1$ до $t_2$ строго определяется как интеграл:

$$W = \int_{t_1}^{t_2} Q(t)\, dt.$$

Реальный расход меняется каждый день, и брать интеграл в учебной задаче не от чего. Поэтому в гидрологии работают со средним расходом за период: средний расход по определению - это такой постоянный расход, который за то же время даёт тот же объём. Как только $Q$ вынесен из-под интеграла как константа, формула схлопывается в произведение:

$$W = Q \cdot (t_2 - t_1) = QT.$$

Отсюда важное следствие: формула $W = QT$ не приближённая, а точная, если $Q$ - именно средний расход за этот период. Ошибка появляется тогда, когда за средний берут расход, измеренный однажды, или средний за другой период - например, годовой расход умножают на длительность половодья.

Остальные три показателя - не новые формулы, а способы нормировать тот же объём. Модуль стока делит расход на площадь, слой стока делит объём на площадь, коэффициент стока делит слой стока на слой осадков. Все они связаны между собой:

$$h = \frac{W}{F} = \frac{QT}{F} = M T,$$

поэтому слой стока можно получить и из модуля, минуя объём: $h = 0{,}01 \cdot 31{,}536 \cdot 10^{6} / 10^{6} = 0{,}3154$ м, тот же результат.

Четыре показателя стока в одной таблице

Модуль и слой нужны для сравнения рек разного размера: у большой реки объём стока всегда больше, но это ничего не говорит о водности территории. Река с водосбором 1250 км² и модулем 10 л/(с·км²) и река с водосбором 40 000 км² и тем же модулем одинаково водоносны, хотя их объёмы стока различаются в 32 раза.

Площадь водосбора обычно не дана в готовом виде, а снимается с топографической карты по водораздельной линии - палеткой или планиметром; масштабный переход от сантиметров карты к километрам местности разбирается в задаче как измерить расстояние по карте. Ошибка в площади бьёт сразу по трём показателям из четырёх, поэтому её округляют не грубее чем до целых квадратных километров.

Если расход задан не одним числом

Чаще всего в задаче дан ряд среднемесячных или среднесуточных расходов, а не единственное среднее значение. Тогда объём стока считают по частям и складывают:

$$W = \sum_i Q_i T_i.$$

Возьмём квартал со среднемесячными расходами 6,2; 24,0 и 15,4 м³/с и месяцем в 30 суток, то есть $T_i = 2{,}592 \cdot 10^{6}$ с:

Складывать сами расходы и умножать сумму на длительность одного месяца - распространённая ошибка: так получится втрое больший объём. Складывать можно только объёмы, а расходы - усреднять.

Тот же приём работает для половодья. При среднем расходе 85 м³/с за 18 суток объём стока равен $85 \cdot 18 \cdot 86\,400 = 132{,}2 \cdot 10^{6}$ м³ - 33,5 % годового объёма прошло за 18 дней из 365. Такая неравномерность типична для рек снегового питания и как раз объясняет, зачем строят водохранилища.

Отдельный случай - когда расход в задаче вообще не дан, а известны скорость течения и площадь живого сечения створа. Тогда сначала считают $Q = vS$ (это разбирается в задаче как рассчитать расход жидкости), и только потом умножают на период.

В условии расход обычно уже дан. Если же его нужно сначала измерить по створу - промерные вертикали, площадь живого сечения и средняя скорость - это отдельная задача про расход воды.

Частые ошибки

• Период не переведён в секунды. Умножение $12{,}5 \cdot 365$ даёт 4562,5 - это не объём стока ни в каких единицах. Расход в м³/с требует времени в секундах: сутки - 86 400 с, год - 31,54 млн с.
• Площадь оставлена в квадратных километрах. При расчёте слоя стока делить объём в м³ на площадь в км² нельзя: 1 км² $= 10^{6}$ м², и без этого множителя слой получается в миллион раз больше.
• Забыт множитель 1000 в модуле стока. Величина 0,01 м³/(с·км²) и 10 л/(с·км²) - одно и то же число; в справочниках модуль приводят в литрах, и ответ 0,01 без единиц выглядит как ошибка.
• Коэффициент стока считают от объёма, а не от слоя. Делить 394,2 млн м³ на 620 мм бессмысленно: $\alpha$ безразмерный и получается только делением слоя стока на слой осадков, обе величины в миллиметрах.
• Средний расход берут не за тот период. Годовой расход, умноженный на длительность половодья, не даёт объём половодья: в половодье расход в разы выше среднегодового.
• Смешивают 365 и 366 суток. В високосном году период длиннее на 86 400 с, и объём стока вырастает примерно на 0,3 %. В учебных задачах достаточно 365 суток, но в ведомостях по конкретному году берут фактическое число дней.

FAQ

Чем объём стока отличается от расхода воды? Расход - мгновенная характеристика, объём в секунду (м³/с); объём стока - накопленная за период величина (м³). Расход отвечает на вопрос «сколько идёт сейчас», объём стока - «сколько прошло за месяц, половодье или год». Связывает их только длительность периода: $W = QT$.

Сколько секунд брать в году? 31 536 000 с для обычного года и 31 622 400 с для високосного; в расчётах почти всегда округляют до $31{,}54 \cdot 10^{6}$ с. Для месяца берут фактическое число суток, умноженное на 86 400, а условные 30 суток дают $2{,}592 \cdot 10^{6}$ с.

Может ли коэффициент стока быть больше единицы? Для замкнутого водосбора за многолетний период - нет: воды не может стечь больше, чем выпало. Значения выше единицы получаются, когда сток питается не только осадками этого года (таяние ледников, сработка подземных запасов), когда водосбор оконтурен неверно или когда период сравнения короткий: сток марта складывается из снега, накопленного за всю зиму.

Как перевести объём стока в слой и обратно? Слой стока в миллиметрах равен объёму в кубометрах, делённому на площадь в квадратных метрах, и умноженному на 1000. Обратный переход: $W = h F$ с теми же единицами. Практическое правило: слой 1 мм с водосбора 1 км² даёт ровно 1000 м³ воды.

Коротко

1. Переведи период в секунды: сутки - 86 400 с, год - 31,54 млн с.
2. Объём стока: $W = QT = 12{,}5 \cdot 31{,}536 \cdot 10^{6} = 394{,}2$ млн м³, то есть 0,394 км³.
3. Модуль стока: $M = Q/F = 12{,}5/1250 = 0{,}01$ м³/(с·км²) $= 10$ л/(с·км²).
4. Слой стока: $h = W/F = 394{,}2 \cdot 10^{6} / (1250 \cdot 10^{6}) = 0{,}3154$ м $= 315{,}4$ мм.
5. Коэффициент стока: $\alpha = h/x = 315{,}4/620 = 0{,}51$ - до реки дошла примерно половина осадков.