Коэффициент скорости истечения через отверстие: формула

Когда жидкость вытекает из бака через отверстие, её реальная скорость всегда чуть меньше той, что предсказывает идеальная формула Торричелли. Отношение реальной скорости к идеальной и называют коэффициентом скорости истечения. Эта небольшая поправка объясняет, почему струя из реального отверстия летит не так далеко, как должна была бы по закону сохранения энергии, и почему расход воды через отверстие приходится считать с двумя коэффициентами сразу. Ниже разберём, что именно показывает коэффициент скорости, как он связан с коэффициентами сжатия и расхода, как через него находят реальную скорость и расход струи, и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать, как напор и коэффициенты влияют на скорость и расход, покрутите калькулятор ниже: он показывает траекторию струи, все три коэффициента и то, куда уходит часть напора.

Идеальная скорость истечения: формула Торричелли

Представим открытый бак, в боковой стенке которого на глубине $H$ под уровнем жидкости сделано малое отверстие. Если пренебречь любыми потерями энергии, скорость истечения находится из уравнения Бернулли и совпадает со скоростью свободного падения тела с высоты $H$:

$v_{ид} = \sqrt{2gH},$

где $g$ - ускорение свободного падения, а $H$ - напор, то есть высота столба жидкости над центром отверстия. Это и есть формула Торричелли. Она получается, если приравнять потенциальную энергию столба жидкости к кинетической энергии вытекающей струи: запас давления напора целиком превращается в скоростной напор. В таком идеальном описании жидкость считается невязкой, а само отверстие - не оказывающим сопротивления.

Рассчитать для своей задачи

На анимации видно главное: скорость струи растёт не линейно, а как квадратный корень из напора. Чтобы удвоить скорость, напор нужно увеличить вчетверо. Эта зависимость одинакова и для идеальной, и для реальной струи, разница только в постоянном множителе, которым как раз и служит коэффициент скорости.

Что показывает коэффициент скорости истечения

В реальной жидкости часть энергии тратится на вязкое трение в самом отверстии и на завихрения у его кромок. Из-за этого настоящая скорость струи $v$ оказывается меньше идеальной. Поправку вводят множителем, который и называют коэффициентом скорости истечения $\varphi$:

$v = \varphi \, v_{ид} = \varphi \sqrt{2gH}.$

Коэффициент скорости - это безразмерное число, показывающее, какую долю от идеальной скорости составляет реальная. Для отверстия с острой кромкой в тонкой стенке он близок к $\varphi \approx 0{,}97$, то есть струя теряет около 3% скорости. Чем глаже кромка и чем меньше вязкость, тем ближе $\varphi$ к единице. Физически коэффициент скорости связан с коэффициентом сопротивления отверстия $\zeta$ соотношением:

$\varphi = \frac{1}{\sqrt{1 + \zeta}}, \qquad \zeta = \frac{1}{\varphi^2} - 1.$

Через эту же величину удобно говорить и об энергии. На скорость струи идёт доля $\varphi^2$ напора, а оставшаяся часть $1 - \varphi^2$ теряется. Например, при $\varphi = 0{,}97$ полезной оказывается доля $\varphi^2 \approx 0{,}94$, а на трение и вихри уходит около 6% энергии напора. Именно поэтому в калькуляторе выше скорость падает заметно медленнее, чем коэффициент: скорость зависит от $\varphi$ напрямую, а энергия - от его квадрата.

Сжатие струи и коэффициент расхода

Коэффициент скорости отвечает только за скорость, но при истечении меняется и площадь струи. Сразу за отверстием линии тока ещё сходятся внутрь, поэтому поперечное сечение струи становится меньше площади самого отверстия. Самое узкое сечение называют сжатым сечением (vena contracta), а отношение его площади к площади отверстия - коэффициентом сжатия струи $\varepsilon$:

$\varepsilon = \frac{A_c}{A},$

где $A$ - площадь отверстия, $A_c$ - площадь сжатого сечения. Для круглого отверстия с острой кромкой $\varepsilon \approx 0{,}64$, то есть струя сужается примерно на треть.

Рассчитать для своей задачи

Расход жидкости - это объём, проходящий за единицу времени, и считать его нужно по площади и скорости именно в сжатом сечении. Подставив реальную скорость и сжатую площадь, получаем расход через два коэффициента:

$Q = \varepsilon A \cdot \varphi \sqrt{2gH} = \mu A \sqrt{2gH},$

где произведение $\mu = \varepsilon \, \varphi$ называют коэффициентом расхода. Он объединяет оба эффекта: сжатие струи и потерю скорости. Для острого круглого отверстия $\mu = 0{,}64 \cdot 0{,}97 \approx 0{,}62$. Это и есть рабочий коэффициент, через который инженеры считают расход через отверстия, насадки и водосливы.

Связь трёх коэффициентов

Удобно держать в голове, что три коэффициента истечения связаны простым произведением:

$\mu = \varepsilon \, \varphi.$

Коэффициент скорости $\varphi$ учитывает потери на трение (реальная скорость меньше идеальной), коэффициент сжатия $\varepsilon$ - сужение струи (реальная площадь меньше площади отверстия), а коэффициент расхода $\mu$ - суммарный эффект для объёмного расхода. Если в задаче дан только коэффициент расхода, а сжатие отдельно не задано, разделить его на скоростную и геометрическую части без дополнительных данных нельзя - нужно знать хотя бы один из множителей. В калькуляторе выше столбики показывают все три величины разом, и видно, что коэффициент расхода всегда меньше каждого из сомножителей.

Тип отверстия сильно влияет на эти числа. У отверстия с закруглённой кромкой или у короткого насадка сжатие почти исчезает ($\varepsilon \to 1$), зато может вырасти сопротивление, поэтому коэффициент расхода у разных насадков отличается. Для внешнего цилиндрического насадка, например, коэффициент расхода даже выше, чем у острого отверстия, хотя скорость в нём падает сильнее, и эта на первый взгляд парадоксальная связь как раз и разбирается через те же три коэффициента истечения.

Пример расчёта реальной скорости и расхода

Разберём типовую задачу. Через круглое отверстие диаметром $d = 20$ мм в тонкой стенке вытекает вода при напоре $H = 2$ м. Коэффициент скорости $\varphi = 0{,}97$, коэффициент сжатия $\varepsilon = 0{,}64$. Нужно найти реальную скорость струи и объёмный расход.

Сначала идеальная скорость по Торричелли:

$v_{ид} = \sqrt{2gH} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 2} \approx 6{,}26 \ \text{м/с}.$

Теперь реальная скорость струи через коэффициент скорости:

$v = \varphi \sqrt{2gH} = 0{,}97 \cdot 6{,}26 \approx 6{,}08 \ \text{м/с}.$

Площадь отверстия находим по диаметру, переведя миллиметры в метры:

$A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{3{,}14 \cdot (0{,}02)^2}{4} \approx 3{,}14 \cdot 10^{-4} \ \text{м}^2.$

Наконец, расход через коэффициент расхода $\mu = \varepsilon \varphi = 0{,}64 \cdot 0{,}97 \approx 0{,}62$:

$Q = \mu A \sqrt{2gH} = 0{,}62 \cdot 3{,}14 \cdot 10^{-4} \cdot 6{,}26 \approx 1{,}22 \cdot 10^{-3} \ \text{м}^3/\text{с},$

то есть около 1,2 л/с. Все эти числа калькулятор выше пересчитывает мгновенно при любом наборе напора, диаметра и коэффициентов, оставляя вам контроль над формулами и единицами.

Частые ошибки

• Путают реальную и идеальную скорость. Формула $v = \sqrt{2gH}$ даёт идеальную скорость без потерь. Реальную получают только умножением на коэффициент скорости $\varphi$.
• Считают расход по скорости в отверстии, а не в сжатом сечении. Расход определяется площадью струи в vena contracta, поэтому в формулу входит коэффициент сжатия $\varepsilon$, а не одна площадь отверстия.
• Берут напор не до центра отверстия. В формуле Торричелли $H$ - это глубина центра отверстия под свободной поверхностью, а не высота столба над дном бака.
• Подставляют диаметр в миллиметрах. Площадь нужно считать в метрах: перед расчётом переводите диаметр в метры, иначе расход выйдет в миллион раз больше.
• Смешивают коэффициенты. Коэффициент расхода $\mu$ - это произведение $\varepsilon \varphi$, а не сумма и не среднее; подставлять вместо него один коэффициент скорости нельзя.

FAQ

Чему равен коэффициент скорости для отверстия с острой кромкой? Для малого круглого отверстия в тонкой стенке коэффициент скорости истечения близок к $\varphi \approx 0{,}97$. Это значит, что реальная скорость струи примерно на 3% меньше идеальной по Торричелли, а около 6% энергии напора теряется на трение и вихри.

Чем коэффициент скорости отличается от коэффициента расхода? Коэффициент скорости $\varphi$ показывает, во сколько раз реальная скорость струи меньше идеальной. Коэффициент расхода $\mu = \varepsilon \varphi$ учитывает ещё и сжатие струи и нужен для расчёта объёмного расхода. Поэтому $\mu$ всегда меньше $\varphi$.

Как по измеренной скорости найти коэффициент скорости? Нужно разделить измеренную скорость струи на идеальную при том же напоре: $\varphi = v / \sqrt{2gH}$. Например, если при напоре 2 м струя имеет скорость 6,0 м/с, то $\varphi = 6{,}0 / 6{,}26 \approx 0{,}96$.

Коротко

Коэффициент скорости истечения $\varphi$ показывает, какую долю от идеальной скорости Торричелли $\sqrt{2gH}$ имеет реальная струя, и для острого отверстия близок к 0,97. Вместе с коэффициентом сжатия $\varepsilon$ он даёт коэффициент расхода $\mu = \varepsilon \varphi$, через который считают расход $Q = \mu A \sqrt{2gH}$. Реальная скорость струи всегда меньше идеальной, а часть напора уходит на потери, и именно эти три коэффициента переводят идеальную формулу в рабочий инженерный расчёт.