Уравнение неразрывности струи: формула S1v1 = S2v2

Зажмите кончик садового шланга пальцем, и вода ударит дальше и сильнее: сечение уменьшилось, а струя ускорилась. За этим бытовым опытом стоит уравнение неразрывности струи. Оно говорит, что через любое сечение трубки тока за одну и ту же секунду проходит один и тот же объём несжимаемой жидкости, поэтому там, где трубка уже, жидкость вынуждена течь быстрее. Покрутите калькулятор ниже: задайте площади двух сечений и скорость в широком из них и посмотрите, как меняются скорость в узком месте и объёмный расход.

Что такое уравнение неразрывности струи

Представим установившийся поток несжимаемой жидкости в трубе переменного сечения. Выделим мысленно трубку тока - пучок линий тока, вдоль которых движется жидкость. У несжимаемой жидкости плотность постоянна, а через стенки трубки тока жидкость не просачивается. Значит, сколько жидкости вошло в один конец участка за секунду, столько же должно выйти из другого: объём не может ни накопиться, ни исчезнуть.

Объём, проходящий через сечение площадью $S$ за единицу времени, называют объёмным расходом. За время $\Delta t$ через сечение проходит столбик жидкости длиной $v\,\Delta t$, поэтому расход равен

$Q = \frac{S \cdot v\,\Delta t}{\Delta t} = S v.$

Условие сохранения объёма для несжимаемой жидкости означает, что этот расход одинаков во всех сечениях трубки тока:

$Q = S v = \text{const}.$

Это и есть уравнение неразрывности струи. Для двух конкретных сечений с площадями $S_1$ и $S_2$ оно записывается в самой узнаваемой форме.

Формула S1v1 = S2v2

Поскольку расход одинаков в любом сечении, для сечений 1 и 2 получаем равенство расходов:

$S_1 v_1 = S_2 v_2.$

Рассчитать для своей задачи

Из формулы сразу следует выражение для скорости в любом сечении через скорость в другом:

$v_2 = v_1 \cdot \frac{S_1}{S_2}.$

Скорость обратно пропорциональна площади сечения. Сузили трубу вдвое по площади - скорость выросла вдвое; сузили вчетверо - скорость учетверилась. На анимации видно, как золотые маркеры в горловине расходятся: между ними становится больше расстояние, потому что каждый из них проходит больший путь за ту же секунду. Именно поэтому зажатый шланг бьёт дальше: при том же расходе уменьшение сечения поднимает скорость струи.

Почему в узком сечении скорость выше

Самое частое недоумение: разве жидкость не должна, наоборот, замедляться, протискиваясь через узкое место? Ответ даёт сохранение объёма. Жидкость несжимаема, ей некуда деться и негде накопиться, а через стенки она не уходит. Если бы в узком сечении скорость осталась прежней, то за секунду через него прошло бы меньше жидкости, чем втекло в широкое, - и часть объёма копилась бы перед горловиной. Этого не происходит, поэтому жидкость разгоняется ровно настолько, чтобы пронести через малое сечение тот же объём.

Удобно мыслить расходом: $Q = Sv$ - это «пропускная способность» сечения. Чтобы при меньшей площади пропустить тот же объём, остаётся единственный способ - увеличить скорость. График зависимости скорости от площади сечения при фиксированном расходе - гипербола.

Рассчитать для своей задачи

На графике видно, что узкому сечению $S_2$ соответствует точка высоко на кривой, а широкому $S_1$ - точка внизу, и отношение скоростей в точности равно обратному отношению площадей: $v_2/v_1 = S_1/S_2$.

Зависимость от радиуса трубы

В задачах сечение трубы часто задают не площадью, а радиусом или диаметром. Для круглой трубы площадь сечения равна $S = \pi r^2$, поэтому уравнение неразрывности через радиусы выглядит так:

$\frac{v_2}{v_1} = \frac{S_1}{S_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}.$

Зависимость от радиуса квадратичная - это источник частых ошибок. Если радиус трубы уменьшить вдвое, скорость вырастет не в два, а в четыре раза, ведь площадь падает в четыре раза. Поэтому даже небольшое сужение по радиусу даёт заметный скачок скорости. То же относится к диаметру: отношение скоростей равно квадрату отношения диаметров.

Связь с сохранением массы и уравнением Бернулли

По сути уравнение неразрывности - это закон сохранения массы, записанный для потока. В общем (дифференциальном) виде для сжимаемой среды он формулируется как

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho \mathbf{v}) = 0,$

где $\rho$ - плотность, а $\mathbf{v}$ - поле скоростей. Для несжимаемой жидкости плотность постоянна, и условие упрощается до $\nabla\cdot\mathbf{v} = 0$: поле скоростей не имеет источников и стоков. Интегральная форма этого условия для трубки тока и даёт привычное $S v = \text{const}$.

Уравнение неразрывности тесно связано с уравнением Бернулли, которое добавляет к картине давление. Бернулли утверждает, что в установившемся потоке сумма давления и кинетической энергии единицы объёма постоянна вдоль линии тока. Поэтому там, где неразрывность разгоняет жидкость (в узком сечении), давление падает. Эту пару законов используют вместе: неразрывность даёт скорости, а Бернулли - давления. На таком тандеме работают расходомер Вентури, пульверизатор и подъёмная сила крыла. Будет ли реальное течение в трубе плавным или вихревым, подскажет уже число Рейнольдса, отделяющее ламинарный режим от турбулентного.

Как решать задачи на неразрывность струи

Почти все задачи на эту тему укладываются в короткий план. Сначала выписывают, что дано: площади (или радиусы) сечений и одну из скоростей либо расход. Если сечения заданы радиусами, переводят их в площади по $S = \pi r^2$ - или сразу работают с квадратами радиусов, ведь множитель $\pi$ всё равно сократится.

Дальше применяют основное равенство. Нужна скорость в другом сечении - берут $v_2 = v_1\,S_1/S_2$. Нужен расход - считают $Q = S v$ в любом удобном сечении (в обоих он одинаков). При работе с числами следят за единицами: площадь в квадратных метрах, скорость в метрах в секунду, тогда расход получается в кубометрах в секунду; для бытовых задач удобнее литры в секунду.

Наконец, проверяют физический смысл ответа: в более узком сечении скорость обязана быть больше, отношение скоростей равно обратному отношению площадей. Если в задаче дальше спрашивают про давление, к неразрывности подключают уравнение Бернулли.

Частые ошибки

• Думать, что в узком месте жидкость замедляется. Наоборот: при том же расходе меньшая площадь требует большей скорости, иначе объём копился бы перед сужением.
• Забывать про квадрат при работе с радиусом. Скорость зависит от площади, а площадь от квадрата радиуса: $v_2/v_1 = r_1^2/r_2^2$, а не $r_1/r_2$. Уменьшение радиуса вдвое ускоряет поток вчетверо.
• Применять формулу к сжимаемому газу без оговорок. Простое $S v = \text{const}$ верно для несжимаемой жидкости. Для газа при больших скоростях сохраняется массовый расход $\rho S v$, а плотность меняется.
• Путать объёмный и массовый расход. $Q = S v$ - это объём в секунду. Массовый расход равен $\rho S v$ и для несжимаемой жидкости отличается лишь постоянным множителем $\rho$.
• Игнорировать условие трубки тока. Уравнение справедливо вдоль трубки тока установившегося течения; при ветвлении потока расходы по ветвям складываются.

FAQ

Почему скорость жидкости больше в узком сечении трубы? Из-за сохранения объёма несжимаемой жидкости. Через любое сечение трубки тока за секунду проходит один и тот же объём, то есть расход $Q = S v$ постоянен. Чтобы при меньшей площади $S$ пропустить тот же объём, скорость $v$ должна вырасти: $v_2 = v_1\,S_1/S_2$.

Как уравнение неразрывности связано с уравнением Бернулли? Неразрывность определяет скорости в разных сечениях, а Бернулли связывает скорость с давлением. Где неразрывность разгоняет поток (в узком месте), там по Бернулли давление ниже. Вместе они описывают работу трубки Вентури и пульверизатора.

Как записать уравнение неразрывности через радиус трубы? Площадь круглого сечения $S = \pi r^2$, поэтому $v_2/v_1 = S_1/S_2 = r_1^2/r_2^2$. Множитель $\pi$ сокращается, а зависимость от радиуса получается квадратичной: вдвое меньший радиус даёт вчетверо большую скорость.

Коротко

Уравнение неразрывности струи выражает сохранение объёма несжимаемой жидкости: объёмный расход $Q = S v$ одинаков во всех сечениях трубки тока, откуда $S_1 v_1 = S_2 v_2$ и $v_2 = v_1\,S_1/S_2$. Скорость обратно пропорциональна площади сечения, а для круглой трубы зависит от квадрата радиуса: $v_2/v_1 = r_1^2/r_2^2$. По сути это закон сохранения массы для потока, в общем виде записываемый как $\nabla\cdot\mathbf{v} = 0$ для несжимаемой среды. В паре с уравнением Бернулли неразрывность объясняет, почему в узком и быстром месте потока давление падает.