Вихревая дорожка Кармана: как она образуется

Вихревая дорожка Кармана - это упорядоченная цепочка вихрей, которая возникает в следе за телом при обтекании потоком жидкости или газа. За круглым цилиндром при определённой скорости поток перестаёт быть симметричным: с верхней и нижней кромок поочерёдно срываются вихри, образуя два смещённых ряда с противоположным вращением. Именно эта периодичность заставляет провода гудеть на ветру, а флагшток или дымовую трубу - раскачиваться. Ниже разберём, при каких числах Рейнольдса дорожка появляется, как связать частоту срыва вихрей со скоростью потока через число Струхаля и где студенты ошибаются в расчётах. Чтобы сразу почувствовать связь скорости, диаметра и частоты, покрути калькулятор ниже, а дальше выведем каждую формулу строго.

Как образуется вихревая дорожка Кармана

Когда поток набегает на цилиндр, у его поверхности из-за вязкости образуется тонкий пограничный слой. На задней части цилиндра давление растёт по ходу движения, и этот слой не может преодолеть встречный градиент давления - он отрывается от стенки. Точки отрыва на верхней и нижней сторонах формируют две сдвиговые области, в которых скорость резко меняется поперёк потока. Такой сдвиговый слой неустойчив и сворачивается в вихрь.

Ключевой момент: вихри по обе стороны цилиндра не сходят одновременно. Растущий с одной стороны вихрь оттягивает к себе сдвиговый слой с противоположной стороны, перекрывает его подпитку и заставляет тот оторваться. Стороны поочерёдно перехватывают инициативу, поэтому вихри срываются строго по очереди - сверху, снизу, снова сверху. В результате за телом выстраиваются два параллельных ряда вихрей, смещённых на полшага друг относительно друга, с противоположными направлениями вращения. Эта неустойчивость родственна неустойчивости Кельвина - Гельмгольца на границе двух потоков с разной скоростью.

Рассчитать для своей задачи

При каких числах Рейнольдса появляется дорожка

Режим обтекания цилиндра определяется числом Рейнольдса $Re = \dfrac{U d}{\nu}$, где $U$ - скорость набегающего потока, $d$ - диаметр цилиндра, $\nu$ - кинематическая вязкость среды. По мере роста $Re$ след за цилиндром проходит несколько стадий:

• $Re < 5$ - поток плавно обтекает цилиндр, след симметричен, вихрей нет.
• $5 \le Re < 47$ - за телом стоит пара симметричных неподвижных вихрей, прикреплённых к цилиндру; они не срываются.
• $47 \le Re < 200$ - пара вихрей теряет устойчивость, и начинается регулярный поочерёдный сход вихрей: формируется ламинарная вихревая дорожка Кармана.
• $200 \le Re < 3 \cdot 10^5$ - дорожка сохраняется, но сами вихри и след постепенно турбулизуются; именно этот широкий диапазон отвечает за гудение проводов и вибрации конструкций.
• $Re > 3 \cdot 10^5$ - пограничный слой становится турбулентным ещё до отрыва, регулярность дорожки нарушается.

Нижняя граница $Re \approx 47$ - это критическое число, при котором стационарная пара вихрей сменяется периодическим срывом (бифуркация Хопфа). Подробнее о самих режимах течения - в разборе числа Рейнольдса и перехода от ламинарного к турбулентному.

Число Струхаля и частота срыва вихрей

Главная количественная характеристика дорожки - частота $f$, с которой сходят вихри (точнее, частота пары «верхний плюс нижний», равная частоте срыва с одной стороны). Её связывают со скоростью и диаметром через безразмерное число Струхаля:

$$St = \frac{f d}{U}.$$

Отсюда частота срыва вихрей:

$$f = \frac{St \cdot U}{d}.$$

Замечательное свойство: в широком диапазоне $Re$ от примерно 250 до $2 \cdot 10^5$ число Струхаля для круглого цилиндра почти постоянно и равно $St \approx 0{,}20$. Это значит, что частота схода прямо пропорциональна скорости и обратно пропорциональна диаметру. Тонкий провод на сильном ветру гудит на высокой ноте, толстая труба при том же ветре - на низкой.

Для более точных оценок в диапазоне $Re$ от 250 до $2 \cdot 10^5$ применяют эмпирическую формулу Рошко:

$$St = 0{,}212\left(1 - \frac{21{,}2}{Re}\right).$$

При больших $Re$ поправка стремится к нулю и $St \to 0{,}212$, а вблизи $Re \approx 47$ число Струхаля заметно меньше.

Геометрия дорожки и устойчивость по Карману

Теодор фон Карман в 1911 году показал, что устойчивой может быть только дорожка с вполне определённым соотношением между поперечным расстоянием $h$ между рядами и продольным шагом $a$ между соседними вихрями одного ряда:

$$\frac{h}{a} = \frac{1}{\pi}\,\operatorname{arcsinh}(1) \approx 0{,}281.$$

Это и есть знаменитое отношение Кармана: только при таком сдвинутом (шахматном) расположении система вихрей не разваливается под действием собственного индуцированного поля скоростей. Симметричное расположение (вихри строго друг под другом) всегда неустойчиво - поэтому в природе наблюдается именно шахматная дорожка.

Рассчитать для своей задачи

Резонанс и практические последствия

Периодический срыв вихрей создаёт переменную поперечную силу, действующую на тело с частотой $f$. Если эта частота совпадает с собственной частотой колебаний конструкции, наступает вихревой резонанс, и амплитуда раскачки резко растёт. Именно по этому механизму раскачиваются на ветру дымовые трубы, мачты, тросы вантовых мостов и теплообменные трубки.

Чтобы оценить опасность, частоту срыва $f = St\,U/d$ сравнивают с собственной частотой конструкции. Для борьбы с резонансом на трубы и мачты ставят винтовые спойлеры (спиральные рёбра), которые разрушают регулярность срыва и не дают вихрям сходить когерентно по всей длине. Заметим, что классическое объяснение обрушения Такомского моста именно резонансом с дорожкой Кармана - упрощение: там работала более сложная аэроупругая неустойчивость (флаттер), хотя срыв вихрей тоже присутствовал.

Частые ошибки

• Путают частоту срыва с одной стороны и полный период. За один период дорожки сходит один вихрь сверху и один снизу. В формуле $St = fd/U$ под $f$ понимают частоту схода вихрей с одной стороны - она же частота переменной поперечной силы.
• Берут $St \approx 0{,}2$ при любом числе Рейнольдса. Постоянство справедливо лишь в диапазоне $Re$ примерно от 250 до $2 \cdot 10^5$. Ниже $Re \approx 47$ дорожки вообще нет, а у самой границы $St$ заметно меньше.
• Подставляют скорость и диаметр в разных единицах. $St$ безразмерно только в согласованных единицах СИ: $U$ в м/с, $d$ в метрах, $f$ в герцах. Диаметр в миллиметрах без перевода даёт ошибку в тысячу раз.
• Считают $d$ диаметром, а не характерным размером. Для некруглых тел в число Струхаля и Рейнольдса подставляют поперечный размер тела по нормали к потоку, а не любой удобный габарит.
• Забывают про кинематическую вязкость. В $Re$ входит именно $\nu = \mu/\rho$; для воздуха $\nu \approx 1{,}5 \cdot 10^{-5}$ м²/с, для воды - около $10^{-6}$ м²/с.

FAQ

Почему провода гудят на ветру? За проводом срываются вихри дорожки Кармана с частотой $f = St\,U/d$. При $St \approx 0{,}2$, скорости ветра несколько метров в секунду и диаметре провода в миллиметры эта частота попадает в слышимый диапазон сотен герц - отсюда характерный гул. Чем тоньше провод и сильнее ветер, тем выше тон.

Чем дорожка Кармана отличается от обычной турбулентности? Дорожка - это регулярная, почти периодическая структура с выраженной частотой срыва, тогда как развитая турбулентность хаотична и не имеет одной выделенной частоты. Дорожка существует в промежуточном диапазоне чисел Рейнольдса; при очень больших $Re$ её регулярность размывается турбулентностью.

Можно ли подавить срыв вихрей? Да. На дымовые трубы и мачты ставят спиральные спойлеры, которые сдвигают точки отрыва вдоль тела и не дают вихрям сходить синхронно по всей длине. Это разрушает когерентность дорожки и убирает резонансную поперечную силу.

Коротко

Вихревая дорожка Кармана - это два смещённых ряда поочерёдно срывающихся вихрей в следе за телом. Она появляется при числах Рейнольдса выше примерно 47, а в диапазоне от 250 до $2 \cdot 10^5$ частота срыва задаётся простым соотношением $f = St\,U/d$ с почти постоянным числом Струхаля $St \approx 0{,}2$. Устойчива только шахматная геометрия с отношением $h/a \approx 0{,}281$. Совпадение частоты срыва с собственной частотой конструкции вызывает вихревой резонанс - отсюда гудение проводов и раскачка труб.