Уравнение Навье-Стокса для вязкой жидкости: разбор

Уравнение Навье-Стокса описывает движение вязкой жидкости и газа: это второй закон Ньютона, записанный для бесконечно малого жидкого объёма, к которому добавлены силы вязкого трения. На нём держится вся современная гидродинамика - от расчёта течения нефти в трубопроводе до моделирования обтекания крыла. Разберём, что означает каждое слагаемое уравнения, как из него возникает число Рейнольдса и в каких случаях его удаётся решить точно. Ниже - калькулятор, который по параметрам потока сразу посчитает режим течения и профиль скорости в трубе.

Полная запись уравнения

Для несжимаемой вязкой жидкости ($\rho = \text{const}$) уравнение Навье-Стокса записывается так:

$$\rho\left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu\,\nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}$$

К нему добавляется уравнение неразрывности, выражающее сохранение массы:

$$\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$$

Здесь $\mathbf{v}$ - поле скорости, $p$ - давление, $\rho$ - плотность, $\mu$ - динамическая вязкость, $\mathbf{f}$ - плотность массовых сил (например, сила тяжести $\rho \mathbf{g}$). Вместе это система из четырёх скалярных уравнений на четыре неизвестные ($v_x$, $v_y$, $v_z$, $p$).

Рассчитать для своей задачи

Физический смысл слагаемых

Левая часть - это ускорение жидкой частицы, умноженное на плотность, то есть масса на ускорение в форме на единицу объёма. Она состоит из двух частей:

• Локальное ускорение $\rho\,\partial \mathbf{v}/\partial t$ - изменение скорости в данной точке со временем. В стационарном потоке оно равно нулю.
• Конвективное ускорение $\rho(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}$ - изменение скорости из-за того, что частица переносится в область с другой скоростью. Именно это слагаемое нелинейно и делает уравнение Навье-Стокса таким трудным.

Правая часть - сумма сил, действующих на жидкий элемент:

• Градиент давления $-\nabla p$ толкает жидкость из области высокого давления в область низкого.
• Вязкое трение $\mu\,\nabla^2\mathbf{v}$ - диффузия импульса между слоями жидкости, движущимися с разной скоростью. Это слагаемое и отличает вязкую жидкость от идеальной.
• Массовая сила $\mathbf{f}$ - внешнее поле, чаще всего сила тяжести.

Если убрать вязкое слагаемое ($\mu = 0$), уравнение вырождается в уравнение Эйлера для идеальной жидкости. Именно член $\mu\,\nabla^2\mathbf{v}$ вносит необратимое рассеяние энергии и условие прилипания на стенке.

Число Рейнольдса: что важнее

Чтобы понять, какие силы в потоке доминируют, уравнение приводят к безразмерному виду. Отношение инерционного слагаемого к вязкому даёт ключевой параметр гидродинамики - число Рейнольдса:

$$\mathrm{Re} = \frac{\rho\,U\,L}{\mu} = \frac{U\,L}{\nu}$$

где $U$ - характерная скорость, $L$ - характерный размер, $\nu = \mu/\rho$ - кинематическая вязкость. Физически $\mathrm{Re}$ показывает, во сколько раз инерция жидкости больше вязкого трения.

• При малых $\mathrm{Re}$ (вязкость доминирует) течение ламинарное, слои скользят упорядоченно, конвективным слагаемым можно пренебречь - получается линейное уравнение Стокса.
• При больших $\mathrm{Re}$ (инерция доминирует) поток теряет устойчивость и становится турбулентным.

Для течения в круглой трубе переход от ламинарного к турбулентному режиму происходит около $\mathrm{Re} \approx 2300$ - подробнее об этой границе в материале про число Рейнольдса и смену режима течения. Именно число Рейнольдса задаёт чип «режим течения» в калькуляторе выше.

Рассчитать для своей задачи

Условие прилипания на стенке

Вязкость порождает фундаментальное граничное условие: на неподвижной твёрдой стенке скорость жидкости равна нулю. Это условие прилипания (no-slip). Молекулы жидкости, контактирующие со стенкой, не скользят по ней, а покоятся вместе с ней.

Именно из-за прилипания у стенки возникает тонкий пограничный слой, где скорость резко нарастает от нуля до скорости основного потока. В этом слое велик градиент скорости, а значит - вязкие напряжения. Для идеальной жидкости такого условия нет: там допустимо проскальзывание вдоль стенки.

Условие прилипания превращает уравнение Навье-Стокса в краевую задачу и определяет форму профиля скорости в любом канале.

Точное решение: течение Пуазейля

Полностью уравнение Навье-Стокса не решается аналитически почти никогда, но в простых геометриях точные решения есть. Классический пример - течение Пуазейля: стационарное ламинарное течение в круглой трубе под действием постоянного перепада давления.

В этом случае конвективное слагаемое обнуляется (скорость не меняется вдоль трубы), и уравнение упрощается до баланса градиента давления и вязкого трения. Решение даёт параболический профиль скорости:

$$v(r) = \frac{\Delta p}{4\mu L}\left(R^2 - r^2\right)$$

где $R$ - радиус трубы, $r$ - расстояние от оси, $L$ - длина участка, $\Delta p$ - перепад давления. Скорость максимальна на оси и обращается в ноль на стенке - ровно как требует условие прилипания.

Интегрируя профиль по сечению, получаем расход (закон Гагена-Пуазейля):

$$Q = \frac{\pi R^4 \Delta p}{8\mu L}$$

Зависимость расхода от четвёртой степени радиуса - причина того, что даже небольшое сужение сосуда или трубы резко увеличивает сопротивление потоку. Калькулятор выше строит этот параболический профиль и сразу считает расход.

Существование и гладкость решений

Уравнение Навье-Стокса - одна из семи «задач тысячелетия». Для трёхмерного случая до сих пор не доказано, что гладкое решение существует при любых начальных условиях и не обращается в бесконечность за конечное время. Виновник трудности - то самое нелинейное конвективное слагаемое $(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}$, которое связывает масштабы движения и порождает турбулентность.

На практике это означает: при больших $\mathrm{Re}$ уравнение приходится решать численно, разбивая область на сетку и применяя методы вычислительной гидродинамики (CFD). Аналитика остаётся только для ламинарных течений в простых геометриях.

Частые ошибки

• Путают динамическую и кинематическую вязкость. В уравнении стоит $\mu$ (Па·с), а в числе Рейнольдса удобнее $\nu = \mu/\rho$ (м²/с). Перепутать единицы - типичная ошибка в расчётах.
• Забывают уравнение неразрывности. Без условия $\nabla\cdot\mathbf{v} = 0$ система для несжимаемой жидкости незамкнута: давление определяется именно из неразрывности.
• Считают конвективное слагаемое линейным. $(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}$ квадратично по скорости - именно поэтому решения нельзя складывать.
• Применяют профиль Пуазейля при больших Re. Парабола верна только для ламинарного режима; при турбулентности профиль уплощается, и формула не работает.
• Игнорируют условие прилипания. Скорость на стенке всегда ноль для вязкой жидкости - пограничный слой нельзя выкинуть.

FAQ

Чем уравнение Навье-Стокса отличается от уравнения Эйлера? Уравнение Эйлера описывает идеальную жидкость без вязкости. Навье-Стокса добавляет слагаемое вязкого трения $\mu\,\nabla^2\mathbf{v}$ и условие прилипания на стенке. При $\mu \to 0$ Навье-Стокса переходит в Эйлера, но граничные условия при этом меняются качественно.

Почему уравнение Навье-Стокса нельзя решить в общем виде? Из-за нелинейного конвективного слагаемого $(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}$. Оно связывает разные масштабы движения и при больших числах Рейнольдса порождает турбулентность - хаотическое поведение, не поддающееся аналитике. Доказательство существования гладкого решения в 3D - открытая задача тысячелетия.

Что показывает число Рейнольдса? Отношение инерционных сил к вязким. Малое $\mathrm{Re}$ - ламинарное упорядоченное течение, большое - турбулентное. Для трубы граница перехода около $\mathrm{Re} \approx 2300$.

Коротко

Уравнение Навье-Стокса - это второй закон Ньютона для вязкой жидкости: баланс инерции, градиента давления, вязкого трения и массовых сил при условии несжимаемости $\nabla\cdot\mathbf{v} = 0$. Главную трудность создаёт нелинейное конвективное слагаемое, а ключевой безразмерный параметр - число Рейнольдса, отделяющее ламинарный режим от турбулентного. В простых геометриях, как течение Пуазейля в трубе, уравнение даёт точное параболическое решение с условием прилипания на стенке; в общем 3D-случае существование гладкого решения остаётся недоказанным.