Как определить среднюю плотность материала и пористость

Дано: куб бетона с ребром $a = 100$ мм, высушенный до постоянной массы, масса $m = 2360$ г; истинная плотность материала $\rho = 2{,}65$ г/см³. Найти: среднюю плотность образца и его пористость.

Средняя плотность - это масса, делённая на объём образца в естественном состоянии, то есть вместе с порами. Объём куба известен из размеров, поэтому вся задача сводится к одному делению и к проверке единиц. Ответ: средняя плотность 2,36 г/см³, или 2360 кг/м³, пористость 10,9 %. Калькулятор сверху считает то же самое для любого образца и умеет находить объём гидростатическим взвешиванием, если форма неправильная.

Решение по шагам

Дано.

Найти: среднюю плотность $\rho_{\text{m}}$ и пористость $\text{П}$.

Шаг 1. Приводим единицы. Массу оставляем в граммах, а размер переводим в сантиметры: тогда объём получится в кубических сантиметрах, а плотность сразу в г/см³. Перевод в килограммы на кубометр после этого сводится к умножению на тысячу, потому что в кубометре ровно миллион кубических сантиметров, а в килограмме тысяча граммов.

$$a = 100\ \text{мм} = 10\ \text{см}.$$

Шаг 2. Объём образца в естественном состоянии. Куб сжат в правильную форму, поэтому объём берём по геометрии, ничего не измеряя дополнительно:

$$V = a^3 = 10^3 = 1000\ \text{см}^3 = 0{,}001\ \text{м}^3.$$

Это полный объём куска вместе с порами и воздушными включениями. Именно он стоит в знаменателе средней плотности, и именно этим средняя плотность отличается от истинной.

Шаг 3. Средняя плотность. Делим массу сухого образца на его объём:

$$\rho_{\text{m}} = \frac{m}{V} = \frac{2360}{1000} = 2{,}36\ \text{г/см}^3 = 2360\ \text{кг/м}^3.$$

Полученное значение типично для тяжёлого бетона на плотном заполнителе: нормируемый диапазон 2200-2500 кг/м³, и наш образец попадает в его середину.

Шаг 4. Пористость через отношение плотностей. Пористость показывает, какую долю объёма занимают поры. Её находят, сравнивая среднюю плотность с истинной:

$$\text{П} = \left(1 - \frac{\rho_{\text{m}}}{\rho}\right) \cdot 100\% = \left(1 - \frac{2{,}36}{2{,}65}\right) \cdot 100\% = (1 - 0{,}891) \cdot 100\% = 10{,}9\%.$$

Отношение $\rho_{\text{m}} / \rho = 0{,}891$ называют коэффициентом плотности: вещество занимает 89,1 % объёма куска, остальное - пустота.

Ответ. Объём образца $V = 1000$ см³, средняя плотность $\rho_{\text{m}} = 2{,}36$ г/см³, то есть 2360 кг/м³, пористость 10,9 %.

Формула и откуда она берётся

Плотность отвечает на вопрос, сколько весит единица объёма. У пористого материала объём можно понимать по-разному, и от выбора зависит ответ, поэтому в строительном материаловедении величин три, и в задачах их путают чаще всего остального.

Истинная плотность $\rho$ - масса единицы объёма вещества без пор. Чтобы её измерить, материал перемалывают в тонкий порошок и находят объём пикнометром: при помоле поры исчезают, остаётся только твёрдая фаза. Это характеристика вещества, а не изделия, и по справочнику она известна заранее.

Средняя плотность $\rho_{\text{m}}$ - масса единицы объёма материала в естественном состоянии, вместе с порами:

$$\rho_{\text{m}} = \frac{m}{V}.$$

Насыпная плотность $\rho_{\text{н}}$ - масса единицы объёма рыхло насыпанного зернистого материала: песка, щебня, цемента. Кроме пор внутри зёрен, здесь есть ещё воздух между зёрнами, поэтому она самая маленькая из трёх.

Для одного материала всегда выполняется $\rho > \rho_{\text{m}} > \rho_{\text{н}}$, и разница между ними - это пустота разного масштаба. Формула пористости получается из этого неравенства в одну строку. Объём вещества в образце равен $V_{\text{в}} = m / \rho$, объём пор - это остаток $V - V_{\text{в}}$, а пористость есть отношение объёма пор к полному объёму:

$$\text{П} = \frac{V - V_{\text{в}}}{V} = 1 - \frac{m}{\rho V} = 1 - \frac{\rho_{\text{m}}}{\rho}.$$

Отсюда видно, зачем в условии дана истинная плотность: без неё пористость не найти, а средняя плотность считается и без неё. Порядок величин для распространённых материалов удобно держать в голове как проверку ответа:

Пористость - не дефект, а проектируемое свойство. От неё зависят теплопроводность, морозостойкость, водопоглощение и звукопоглощение материала: чем больше мелких замкнутых пор, тем теплее стена и тем хуже она проводит звук. Прочность при этом падает, поэтому у марки бетона и его средней плотности связь прямая: облегчить бетон, не потеряв прочности, нельзя.

Объём образца неправильной формы: гидростатическое взвешивание

Скол бетона, кусок кирпича или обломок камня по размерам не обмерить. Тогда объём находят по вытесненной воде, опираясь на закон Архимеда: погружённое тело теряет в весе столько, сколько весит вытесненная им вода. Разность масс в воздухе и в воде, делённая на плотность воды, и даёт объём тела.

Тонкость в том, что пористый материал впитывает воду, и часть её уходит в поры вместо того, чтобы вытесняться. Поэтому образец сначала насыщают водой до постоянной массы: поры уже заполнены, и вытесняется честный полный объём. Второй вариант - покрыть образец тонким слоем парафина, но тогда объём парафиновой оболочки придётся вычесть отдельно.

Возьмём тот же бетонный образец: в сухом состоянии он весит 2360 г, после насыщения водой 2465 г, а при взвешивании в воде показывает 1465 г. Плотность воды принимаем равной 1 г/см³:

$$V = \frac{m_{\text{нас}} - m_{\text{в}}}{\rho_{\text{в}}} = \frac{2465 - 1465}{1} = 1000\ \text{см}^3.$$

Объём совпал с геометрическим, а средняя плотность считается по массе сухого образца, а не насыщенного:

$$\rho_{\text{m}} = \frac{2360}{1000} = 2{,}36\ \text{г/см}^3.$$

Попутно тот же опыт даёт водопоглощение. По массе оно равно $(2465 - 2360) / 2360 \cdot 100\% = 4{,}4\%$, по объёму - $105 / 1000 \cdot 100\% = 10{,}5\%$. Водопоглощение по объёму и есть открытая пористость: вода заполнила все поры, сообщающиеся с поверхностью. Сравнив его с полной пористостью, получаем долю закрытых пор: $10{,}9 - 10{,}5 = 0{,}4\%$. У тяжёлого бетона открытых пор почти столько же, сколько всего, и это плохая новость для морозостойкости: замерзая, вода в открытых порах расширяется и разрушает камень изнутри. Переключи в калькуляторе способ определения объёма, и эти же числа пересчитаются для твоего образца.

Насыпная плотность и пустотность засыпки

Тот же материал в виде щебня ведёт себя иначе. Возьмём мерный сосуд объёмом 10 л, насыплем щебень без уплотнения и взвесим засыпку: пусть её масса 13,0 кг. Тогда

$$\rho_{\text{н}} = \frac{13\,000}{10\,000} = 1{,}30\ \text{г/см}^3 = 1300\ \text{кг/м}^3.$$

Между зёрнами остался воздух, и его долю называют межзерновой пустотностью. Считают её так же, как пористость, только сравнивают насыпную плотность со средней плотностью самих зёрен:

$$V_{\text{пуст}} = \left(1 - \frac{\rho_{\text{н}}}{\rho_{\text{m}}}\right) \cdot 100\% = \left(1 - \frac{1300}{2360}\right) \cdot 100\% = 44{,}9\%.$$

Почти половина ведра щебня - это воздух, и цифра около 45 % характерна для рядового фракционированного щебня. В калькуляторе сверху ползунок пустотности стоит как раз на 45 %, и насыпная плотность выходит 1298 кг/м³ - те же 1300 кг/м³ с точностью до округления.

Пустотность нужна не для красоты: при подборе состава бетона именно её заполняют песком и цементным тестом, и от неё считают расход материалов на кубометр смеси. Заодно она объясняет, почему щебень продают тоннами, а заказывают кубометрами: перевод между ними идёт через насыпную плотность, а не через среднюю, и ошибка здесь стоит почти двойного объёма.

Частые ошибки

• Делят массу на объём вещества, а не на объём образца. В знаменателе средней плотности стоит полный объём куска вместе с порами. Разделив на объём твёрдой фазы, получишь истинную плотность и потеряешь весь смысл задачи.
• Берут влажный образец. Вода добавляет массу, но объёма не добавляет, поэтому влажный образец даёт завышенную плотность. По стандарту образец сушат до постоянной массы при 105-110 °C.
• Забывают перевести миллиметры в сантиметры. Куб с ребром 100 мм имеет объём 1000 см³, а не 100 см³ и не миллион: ребро возводится в куб уже после перевода единиц.
• Считают пористость через массы. Выражение с разностью масс сухого и насыщенного образца - это водопоглощение, а не пористость. Пористость определяется только через объёмы или через отношение плотностей.
• Подставляют массу насыщенного образца в числитель. В гидростатическом взвешивании массы две: насыщенная нужна для объёма, сухая - для плотности. Перепутав их, получишь завышение ровно на величину водопоглощения.
• Применяют насыпную плотность к монолиту. Насыпная плотность описывает засыпку, а не кусок: считая по ней массу бетонной конструкции, ошибёшься почти вдвое.

FAQ

Чем средняя плотность отличается от удельного веса? Плотность - это масса единицы объёма, измеряется в кг/м³. Удельный вес - вес единицы объёма, то есть $\gamma = \rho g$, и измеряется в Н/м³. Для нашего бетона $\gamma = 2360 \cdot 9{,}81 = 23\,152$ Н/м³, около 23,2 кН/м³. В старых учебниках удельным весом иногда называют плотность, отсюда и путаница в единицах.

Как найти объём образца неправильной формы, если он размокает в воде? Гипс, известь и грунтовые образцы насыщать водой нельзя. Их парафинируют: образец покрывают тонким слоем расплавленного парафина, взвешивают, а затем из полученного объёма вычитают объём оболочки, зная массу парафина и его плотность 0,93 г/см³.

Почему у одного бетона средняя плотность 2360, а у другого 2500 кг/м³? Разница идёт от заполнителя, водоцементного отношения и качества уплотнения. Гранитный щебень тяжелее известнякового, лишняя вода после испарения оставляет поры, а плохо провибрированная смесь удерживает вовлечённый воздух. Все три фактора меняют объём пустот, не меняя вещества.

Нужно ли учитывать температуру воды при гидростатическом взвешивании? В учебных задачах плотность воды принимают равной 1 г/см³. При 20 °C она равна 0,998 г/см³, и погрешность от такого округления около 0,2 %, что меньше разброса самих образцов.

Коротко

1. Средняя плотность - масса сухого образца, делённая на его полный объём вместе с порами: $\rho_{\text{m}} = m / V$.
2. Объём правильного образца берут по размерам, объём неправильного - по вытесненной воде: $V = (m_{\text{нас}} - m_{\text{в}}) / \rho_{\text{в}}$, причём в числитель плотности всё равно идёт сухая масса.
3. Пористость находят через отношение к истинной плотности: $\text{П} = (1 - \rho_{\text{m}} / \rho) \cdot 100\%$, а водопоглощение по объёму даёт открытую пористость.
4. Насыпную плотность считают для зернистых материалов, а межзерновую пустотность - сравнивая её со средней плотностью зёрен.
5. Для куба 100 мм массой 2360 г при истинной плотности 2,65 г/см³: $V = 1000$ см³, $\rho_{\text{m}} = 2360$ кг/м³, пористость 10,9 %.