Как определить модуль крупности песка: расчёт по ситам

Дано: навеска сухого песка 2000 г, частные остатки после просеивания 60, 180, 420, 700 и 500 г на ситах 2,5; 1,25; 0,63; 0,315 и 0,16 мм, в поддоне 140 г. Найти: модуль крупности и группу песка.

Модуль крупности считают в три действия: остатки переводят в проценты от навески, складывают их нарастающим итогом сверху вниз и сумму полных остатков делят на сто. Ответ: сумма полных остатков 209 %, модуль крупности 2,09, песок относится к группе «средний». Калькулятор сверху пересчитает Мк и группу под твои массы остатков и покажет кривую просеивания.

Решение по шагам

Дано. Проба высушена до постоянной массы и просеяна через стандартный набор сит. Результаты взвешивания остатков:

Сумма всех остатков: $60 + 180 + 420 + 700 + 500 + 140 = 2000$ г, то есть потерь при просеивании нет и навеска сошлась.

Найти: частные остатки в процентах, полные остатки, модуль крупности $M_{\text{к}}$ и группу песка.

Шаг 1. Частные остатки в процентах. Частный остаток $a_i$ - это доля навески, задержавшаяся именно на данном сите:

$$a_i = \frac{m_i}{m} \cdot 100\%.$$

Подставляем массу навески $m = 2000$ г:

$$\begin{aligned} a_{2{,}5} &= \frac{60}{2000} \cdot 100 = 3{,}0\ \%, & a_{1{,}25} &= \frac{180}{2000} \cdot 100 = 9{,}0\ \%, \\ a_{0{,}63} &= \frac{420}{2000} \cdot 100 = 21{,}0\ \%, & a_{0{,}315} &= \frac{700}{2000} \cdot 100 = 35{,}0\ \%, \\ a_{0{,}16} &= \frac{500}{2000} \cdot 100 = 25{,}0\ \%, & a_{\text{под}} &= \frac{140}{2000} \cdot 100 = 7{,}0\ \%. \end{aligned}$$

Проверка: $3 + 9 + 21 + 35 + 25 + 7 = 100\ \%$.

Шаг 2. Полные остатки. Полный остаток $A_i$ - это сколько процентов навески осталось бы на сите, если бы песок сыпали сразу на него: сумма частных остатков на этом сите и на всех более крупных.

$$A_i = a_1 + a_2 + \dots + a_i.$$

Считаем нарастающим итогом сверху вниз:

Шаг 3. Модуль крупности. Складываем пять полных остатков и делим на сто:

$$M_{\text{к}} = \frac{A_{2{,}5} + A_{1{,}25} + A_{0{,}63} + A_{0{,}315} + A_{0{,}16}}{100} = \frac{3{,}0 + 12{,}0 + 33{,}0 + 68{,}0 + 93{,}0}{100} = \frac{209{,}0}{100} = 2{,}09.$$

Остаток в поддоне в сумму не входит: частицы мельче 0,16 мм не задержались ни на одном сите, поэтому ни в один полный остаток они не попадают.

Шаг 4. Группа песка. Полученное значение сравниваем с границами:

Значение 2,09 попадает в интервал от 2,0 до 2,5 - это средний песок.

Шаг 5. Контрольная проверка. У каждой группы нормируется ещё и полный остаток на сите 0,63 мм: у среднего песка он должен лежать в пределах 30–45 %. В нашей пробе $A_{0{,}63} = 33{,}0\ \%$, что укладывается в коридор. Две независимые графы дали один и тот же ответ, значит, арифметика в полных остатках не поехала.

Ответ: модуль крупности $M_{\text{к}} = 2{,}09$, песок относится к группе «средний»; полный остаток на сите 0,63 мм равен 33,0 %, что подтверждает группу.

Формула и откуда она берётся

Модуль крупности выглядит странно: складываются проценты, а результат оказывается безразмерным числом около двойки. Смысл становится виден, если переписать сумму полных остатков через частные. Остаток на сите 2,5 мм входит во все пять полных остатков, значит, в сумму он попадает пять раз. Остаток на сите 1,25 мм входит в четыре полных остатка, на 0,63 мм - в три, на 0,315 мм - в два, на 0,16 мм - в один.

$$M_{\text{к}} = \frac{5a_{2{,}5} + 4a_{1{,}25} + 3a_{0{,}63} + 2a_{0{,}315} + 1 \cdot a_{0{,}16}}{100}.$$

Проверим на наших числах: $5 \cdot 3 + 4 \cdot 9 + 3 \cdot 21 + 2 \cdot 35 + 1 \cdot 25 = 15 + 36 + 63 + 70 + 25 = 209$, и снова $M_{\text{к}} = 2{,}09$. То есть модуль крупности - это средневзвешенный номер фракции, где вес фракции равен её доле в навеске: чем больше крупных зёрен, тем выше номер. Максимум 5,0 получился бы у песка, целиком осевшего на верхнем сите, минимум 0 - у пыли, ушедшей в поддон.

Отсюда и практический смысл величины. Модуль крупности заменяет всю кривую просеивания одним числом и позволяет сравнивать пески из разных карьеров одной цифрой. Он напрямую связан с удельной поверхностью зёрен: мелкий песок при той же массе имеет большую суммарную поверхность, её надо обмазать цементным тестом, поэтому на мелком песке расход цемента растёт при том же составе смеси. Как расход цемента входит в подбор состава, показано в задаче про марку и класс бетона.

Как ставится опыт и где теряются проценты

Навеску берут не произвольную: пробу сокращают квартованием до 2000 г и высушивают до постоянной массы, потому что влажный песок комкуется и мелкие зёрна не проходят сквозь сетку. Перед основным просеиванием пробу пропускают через сита 10 и 5 мм и отдельно считают содержание зёрен крупнее 5 мм: это уже не песок, а гравийная примесь, и в расчёт модуля крупности она не идёт.

Просеивание ведут до тех пор, пока за минуту встряхивания сквозь сито не проходит меньше 0,1 % навески. Если остановиться раньше, часть мелких зёрен останется наверху, полные остатки завысятся, и модуль крупности выйдет больше настоящего. Обратная ошибка - слишком большая навеска: слой на сите получается толстым, зёрна не доходят до сетки, и результат снова уплывает вверх.

Сумма всех остатков вместе с поддоном должна совпасть с навеской. Допустимое расхождение - около одного процента; если потеряно больше, опыт переделывают, а не «разбрасывают» недостачу по ситам. Именно поэтому калькулятор сверху считает проценты от фактической суммы взвешенных остатков, а не от заявленных 2000 г.

Отдельно определяют содержание пылевидных и глинистых частиц отмучиванием: они проходят вместе с фракцией мельче 0,16 мм, но опасны не размером, а тем, что обволакивают зёрна и мешают сцеплению с цементным камнем. Плотностные характеристики пробы (насыпная и истинная плотность, пустотность) меряют отдельно, и как это устроено, разобрано в задаче про среднюю плотность материала.

Смесь двух песков и подбор под задачу

Если карьерный песок оказался слишком мелким, его не бракуют, а смешивают с крупным. Модуль крупности смеси считается как средневзвешенное по массе: при доле крупного песка $x$

$$M_{\text{см}} = x \cdot M_1 + (1 - x) \cdot M_2.$$

Пусть под рукой есть крупный песок с $M_1 = 3{,}2$ и мелкий с $M_2 = 1{,}4$, а нужен модуль 2,2. Тогда $x = (2{,}2 - 1{,}4) / (3{,}2 - 1{,}4) = 0{,}8 / 1{,}8 = 0{,}44$, то есть примерно 44 % крупного и 56 % мелкого по массе. Правило работает потому, что полные остатки складываются линейно, а модуль - их сумма.

Требуемый модуль зависит от того, куда пойдёт песок. Для тяжёлого бетона нужен средний или крупный песок, обычно от 2,0 и выше: на мелком песке при той же подвижности смеси приходится добавлять воду, а вместе с ней и цемент. Для кладочного раствора коридор сдвинут вниз, примерно 1,5–2,5, потому что крупные зёрна не проходят в тонкий шов. Для отделочного штукатурного слоя берут ещё мельче: зерно крупнее 1,25 мм оставляет на затёртой поверхности борозды. Переключи чипы в калькуляторе сверху - он скажет, попадает ли твой песок в нужный коридор. На подвижность смеси крупность влияет напрямую, и как её измеряют, показано в задаче про подвижность бетонной смеси.

Частые ошибки

• Полные остатки считают снизу вверх. Нарастающий итог идёт от самого крупного сита к самому мелкому. Если начать с 0,16 мм, получится сумма проходов, а не остатков, и модуль выйдет около 3,9 вместо 2,09.
• В сумму включают поддон. Частицы мельче 0,16 мм не остались ни на одном сите. Добавив их 7 %, получим 2,16 вместо 2,09 - ошибка невелика, но при большом содержании пыли она уводит группу на ступень вверх.
• Делят не на сто. Модуль крупности безразмерен: сумму полных остатков в процентах делят ровно на 100, а не на число сит. Деление на 5 дало бы 41,8 - величину без смысла.
• Считают проценты от 2000 г, когда сумма остатков другая. Если взвешивания дали 1985 г, проценты берут от 1985, иначе они не сложатся в сотню и полные остатки поедут.
• Не отсеивают зёрна крупнее 5 мм. Гравийная примесь, оставленная в навеске, ложится на верхнее сито и завышает все пять полных остатков разом.
• Путают группу с маркой. Группа по крупности говорит о размере зёрен, а не о прочности: песок бывает средним и при этом непригодным из-за глинистых примесей.

FAQ

Почему в формуле участвуют только пять сит? Набор стандартизован: 2,5; 1,25; 0,63; 0,315 и 0,16 мм - ряд с шагом вдвое. Именно на этот ряд настроены все таблицы групп песка, поэтому добавлять или убирать сита нельзя: с другим набором число получится другим и сравнивать его будет не с чем.

Какой модуль крупности считается нормальным для бетона? Для тяжёлого бетона обычно требуется от 2,0 до 3,25, то есть средний, крупный или повышенной крупности песок. Мелкий песок с модулем около 1,5 применять можно, но тогда повышают расход цемента или вводят пластификатор, иначе смесь получается водопотребной.

Что показывает полный остаток на сите 0,63 мм? Это контрольная графа: по ней группу песка можно назвать, вообще не считая модуль. Для среднего песка полный остаток на этом сите лежит в пределах 30–45 %, у нас 33,0 %. Если модуль и эта графа указывают на разные группы, где-то ошибка в полных остатках.

Меняется ли модуль крупности после промывки песка? Да, и заметно. Промывка уносит частицы мельче 0,16 мм, доля крупных фракций растёт, все полные остатки увеличиваются, и модуль становится выше. Поэтому испытание проводят на песке в том виде, в каком он пойдёт в дело.

Коротко

1. Высуши пробу, отсей зёрна крупнее 5 мм и возьми навеску 2000 г; просеивай через сита 2,5; 1,25; 0,63; 0,315 и 0,16 мм до практически полного прекращения прохода.
2. Частные остатки: $a_i = m_i / m \cdot 100\%$. В примере 3,0; 9,0; 21,0; 35,0 и 25,0 % плюс 7,0 % в поддоне; сумма равна 100 %.
3. Полные остатки - нарастающий итог сверху вниз: 3,0; 12,0; 33,0; 68,0 и 93,0 %.
4. Модуль крупности: $M_{\text{к}} = (3{,}0 + 12{,}0 + 33{,}0 + 68{,}0 + 93{,}0) / 100 = 2{,}09$; поддон в сумму не входит.
5. Группа по таблице: 2,09 лежит в интервале 2,0–2,5, значит, песок средний; контроль по полному остатку на сите 0,63 мм даёт 33,0 % при норме 30–45 % и подтверждает ответ.