Как определить теплопроводность материала: пример расчёта

Дано: плоский образец керамзитобетона $250 \times 250$ мм, толщина $\delta = 30$ мм, мощность нагревателя $Q = 12{,}5$ Вт, температуры граней $35{,}0$ и $15{,}0$ °C. Найти: коэффициент теплопроводности $\lambda$ и термическое сопротивление слоя $R$.

Теплопроводность определяют из закона Фурье для стационарного режима: весь поток от нагревателя проходит через образец известной площади и толщины, а перепад температур на гранях измеряют термопарами. Ответ: $\lambda = 0{,}300$ Вт/(м·К), $R = 0{,}100$ м²·К/Вт. Калькулятор сверху пересчитает опыт под твои размеры, мощность и температуры.

Решение по шагам

Дано.

Найти: $\lambda$ и $R$.

Шаг 1. Переводим размеры в метры и считаем площадь. Это место, где теряется больше всего баллов: в формулу идут метры, а не миллиметры.

$$a = 0{,}250\ \text{м}, \qquad \delta = 0{,}030\ \text{м}, \qquad A = a^2 = 0{,}250^2 = 0{,}0625\ \text{м}^2.$$

Шаг 2. Плотность теплового потока. Вся мощность нагревателя в стационарном режиме уходит через образец, поэтому поток на квадратный метр равен

$$q = \frac{Q}{A} = \frac{12{,}5}{0{,}0625} = 200\ \text{Вт/м}^2.$$

Шаг 3. Перепад температур на гранях.

$$\Delta t = t_1 - t_2 = 35{,}0 - 15{,}0 = 20{,}0\ \text{K}.$$

Разность температур в кельвинах и в градусах Цельсия численно одинакова, поэтому переводить ничего не нужно.

Шаг 4. Коэффициент теплопроводности. Из закона Фурье для плоской стенки $q = \lambda \dfrac{\Delta t}{\delta}$ выражаем $\lambda$:

$$\lambda = \frac{q\,\delta}{\Delta t} = \frac{Q\,\delta}{A\,\Delta t} = \frac{200 \cdot 0{,}030}{20{,}0} = 0{,}300\ \text{Вт/(м}\cdot\text{К)}.$$

Шаг 5. Термическое сопротивление образца.

$$R = \frac{\delta}{\lambda} = \frac{0{,}030}{0{,}300} = 0{,}100\ \text{м}^2\cdot\text{К/Вт}.$$

Ответ. Коэффициент теплопроводности материала $\lambda = 0{,}300$ Вт/(м·К), термическое сопротивление испытанного слоя $R = 0{,}100$ м²·К/Вт. Такое значение соответствует лёгкому бетону средней плотности около 1000 кг/м³.

Формула и откуда она берётся

В основе лежит закон Фурье: плотность теплового потока пропорциональна градиенту температуры, а коэффициентом пропорциональности как раз и служит теплопроводность. Для плоского слоя при установившемся режиме температура меняется по толщине линейно, градиент равен $\Delta t / \delta$, и закон принимает простой вид:

$$q = \lambda\,\frac{\Delta t}{\delta}.$$

Отсюда рабочая формула метода пластины. В ней $Q$ измеряется ваттметром на нагревателе, $A$ и $\delta$ берутся штангенциркулем, а $\Delta t$ снимают термопарами, приклеенными прямо к граням образца. Вывод самого уравнения и нестационарный случай разобраны отдельно в статье про уравнение теплопроводности и закон Фурье, здесь он нужен только как обоснование одной строчки.

Физический смысл $\lambda$: сколько ватт проходит через слой площадью 1 м² и толщиной 1 м при перепаде в один градус. Это свойство самого материала, оно не зависит от того, какой толщины образец ты взял. А вот $R = \delta / \lambda$ - свойство конкретного слоя: удвоил толщину, удвоил сопротивление. Путать эти две величины нельзя, хотя в условиях задач они стоят рядом.

Важное требование метода: режим должен быть стационарным. Пока прибор прогревается, часть мощности уходит на нагрев самого образца, и формула даёт завышенное $\lambda$. Признак выхода на режим - показания термопар и мощность держатся постоянными в течение получаса.

Плотность материала: чем проверить полученное число

Теплопроводность пористого материала почти целиком определяется его средней плотностью. Тепло проводит твёрдый каркас, а воздух в порах при $\lambda \approx 0{,}026$ Вт/(м·К) работает изолятором: чем больше пор, тем длиннее и извилистее путь потока. Поэтому по плотности можно быстро прикинуть ожидаемое значение и понять, не ошибся ли ты в опыте.

Наш образец имеет объём $V = 0{,}250 \cdot 0{,}250 \cdot 0{,}030 = 0{,}001875$ м³. Взвешивание после сушки до постоянной массы дало $m = 1{,}875$ кг, значит

$$\rho = \frac{m}{V} = \frac{1{,}875}{0{,}001875} = 1000\ \text{кг/м}^3,$$

то есть марка по средней плотности D1000. Методика взвешивания и расчёт пористости подробно разобраны в задаче про среднюю плотность материала.

Справочное значение для D1000 равно 0,27 Вт/(м·К), опыт дал 0,300 - расхождение около 11 %, что для одиночного образца нормально: заполнитель, водоцементное отношение и степень уплотнения у каждого замеса свои. Если бы получилось 0,6 или 0,1, стоило бы искать ошибку в единицах или в утечках тепла мимо образца. Кстати, та же плотность входит и в оценку прочности смеси, о чём речь в разборе марки бетона.

Влажность: почему в расчёт стены идёт не измеренное значение

Полученные 0,300 Вт/(м·К) относятся к сухому материалу. В стене поры частично заполнены водой, а у воды $\lambda \approx 0{,}6$ Вт/(м·К), то есть она проводит тепло почти в двадцать раз лучше воздуха. Поэтому нормы вводят расчётные условия эксплуатации: А для сухого и нормального режима помещения, Б для влажного режима и влажных зон. Для лёгких бетонов расчётная теплопроводность выше сухой примерно на четверть в условиях А и примерно в полтора раза в условиях Б.

Посчитаем, во что это выливается для стены толщиной 300 мм из нашего керамзитобетона. В сухом состоянии

$$R_{\text{сух}} = \frac{0{,}300}{0{,}300} = 1{,}00\ \text{м}^2\cdot\text{К/Вт},$$

а в условиях Б при $\lambda_{\text{Б}} = 1{,}5 \cdot 0{,}300 = 0{,}450$ Вт/(м·К)

$$R_{\text{Б}} = \frac{0{,}300}{0{,}450} \approx 0{,}67\ \text{м}^2\cdot\text{К/Вт}.$$

Треть сопротивления теряется только из-за влаги. Переключи чипы влажностного режима в калькуляторе сверху - увидишь, как обе величины расходятся. Дальше это сопротивление складывают с сопротивлениями остальных слоёв и с сопротивлениями теплоотдаче, получая полное сопротивление теплопередаче; схема такого сложения разобрана в материале про термическое сопротивление стенки. А если нужно найти сам коэффициент теплоотдачи на поверхности, это отдельная задача - расчёт альфа через критерии подобия.

Частые ошибки

• Миллиметры в формуле. Толщина 30 вместо 0,030 занижает ответ ровно в тысячу раз, площадь в см² завышает его в десять тысяч. Переводи размеры в метры отдельной строкой до подстановки.
• Берут полную мощность прибора. В формулу идёт только тот поток, который прошёл через образец. Мощность охранного нагревателя и потери через боковые грани вычитают, иначе $\lambda$ завышается.
• Путают перепад на гранях с разностью температур в камерах. Между воздухом и поверхностью есть теплоотдача со своим сопротивлением, поэтому $\Delta t$ воздуха всегда больше $\Delta t$ на гранях. Термопары ставят на сам образец.
• Считают по непрогретому прибору. До выхода на стационар часть тепла аккумулируется образцом, результат завышен. Ждут постоянства показаний.
• Смешивают $\lambda$ и $R$. Теплопроводность измеряется в Вт/(м·К) и не зависит от толщины, сопротивление в м²·К/Вт и растёт вместе с ней.
• Подставляют сухое значение в теплотехнический расчёт. Для ограждающей конструкции берут расчётное $\lambda$ для условий А или Б, а не лабораторное.

FAQ

Чем метод пластины отличается от метода зонда? Пластина работает в стационарном режиме и даёт самое точное значение, но требует часов на прогрев и правильно подготовленный плоский образец. Игольчатый зонд греет материал импульсом и считает $\lambda$ по скорости роста температуры: замер занимает минуты, зато результат чувствителен к контакту зонда с материалом.

Почему размерность Вт/(м·К), а не Вт/(м·°C)? Потому что в формулу входит разность температур, а шкала Кельвина и шкала Цельсия отличаются только началом отсчёта. Численно обе записи равноценны, в нормативных документах принята запись через кельвины.

Сколько образцов нужно испытать? По методике берут серию из трёх и более образцов одного замеса и усредняют результат: локальная неоднородность бетона даёт разброс в несколько процентов, и по одному замеру марку материала не назначают.

Можно ли определить $\lambda$ без прибора, по паспорту? Для учебной задачи достаточно таблицы справочных значений по плотности, но паспортное число всегда относится к сухому материалу конкретной технологии. Если важен реальный результат, измеряют.

Коротко

1. Переведи размеры в метры и найди площадь образца: $A = a^2 = 0{,}0625$ м².
2. Посчитай плотность потока $q = Q/A = 200$ Вт/м².
3. Найди перепад температур на гранях: $\Delta t = 20{,}0$ K.
4. Подставь в формулу метода пластины: $\lambda = q\,\delta / \Delta t = 0{,}300$ Вт/(м·К).
5. Термическое сопротивление слоя $R = \delta / \lambda = 0{,}100$ м²·К/Вт, а для расчёта стены сухое значение пересчитывают на условия эксплуатации А или Б.