Как найти коэффициент теплоотдачи: пример расчёта

Дано: вода со средней температурой $t_{\text{ж}} = 50$ °C течёт по трубе внутренним диаметром $d = 20$ мм со скоростью $w = 1{,}0$ м/с, температура стенки $t_{\text{с}} = 60$ °C, длина участка $l = 2$ м. Найти: коэффициент теплоотдачи $\alpha$ и тепловой поток с участка.

Коэффициент теплоотдачи в конвекции напрямую не измеряют и не берут из таблицы: его получают из критериального уравнения через число Нуссельта по формуле $\alpha = Nu\,\lambda / d$. Порядок такой: свойства среды из таблицы, число Рейнольдса, режим течения, подходящее критериальное уравнение, и только потом $\alpha$. Ответ этой задачи: $\alpha \approx 5170$ Вт/(м²·К), плотность потока 51,7 кВт/м², с двух метров трубы снимается около 6,5 кВт. Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах, а ползунками можно посмотреть, что будет при другом диаметре или скорости.

Решение по шагам

Шаг 1. Выписываем свойства воды при определяющей температуре. Определяющая температура здесь средняя температура жидкости, 50 °C. Из таблиц теплофизических свойств воды:

Шаг 2. Считаем число Рейнольдса и определяем режим. Характерный размер для течения внутри трубы это её внутренний диаметр:

$$Re = \frac{w d}{\nu} = \frac{1{,}0 \cdot 0{,}02}{0{,}556 \cdot 10^{-6}} = 3{,}60 \cdot 10^{4}.$$

Полученное значение больше $10^4$, значит течение устойчиво турбулентное, и для него есть готовое критериальное уравнение. Это ключевая развилка расчёта: при $Re < 2300$ пришлось бы брать совсем другую формулу, а промежуточная зона вообще не описывается одним выражением.

Шаг 3. Берём критериальное уравнение Михеева. Для турбулентного течения в трубе:

$$Nu = 0{,}021\,Re^{0{,}8}\,Pr^{0{,}43}\,\varepsilon_l\left(\frac{Pr_{\text{ж}}}{Pr_{\text{с}}}\right)^{0{,}25}.$$

Поправки пока принимаем равными единице (почему так можно, разбирается ниже) и подставляем числа:

$$\begin{aligned} Re^{0{,}8} &= (3{,}60 \cdot 10^{4})^{0{,}8} = 4413, \\ Pr^{0{,}43} &= 3{,}54^{0{,}43} = 1{,}722, \\ Nu &= 0{,}021 \cdot 4413 \cdot 1{,}722 = 159{,}6. \end{aligned}$$

Шаг 4. Переходим от числа Нуссельта к коэффициенту теплоотдачи. Это и есть искомая величина, причём в знаменателе стоит тот же характерный размер, по которому считали $Re$:

$$\alpha = \frac{Nu\,\lambda}{d} = \frac{159{,}6 \cdot 0{,}648}{0{,}02} = 5171\ \text{Вт/(м}^2\cdot\text{К)} \approx 5170\ \text{Вт/(м}^2\cdot\text{К)}.$$

Шаг 5. Проверяем ответ тепловым потоком. Плотность потока по закону Ньютона и Рихмана, площадь внутренней поверхности участка и полный поток:

$$\begin{aligned} q &= \alpha\,(t_{\text{с}} - t_{\text{ж}}) = 5171 \cdot 10 = 51{,}7\ \text{кВт/м}^2, \\ F &= \pi d l = 3{,}14 \cdot 0{,}02 \cdot 2 = 0{,}126\ \text{м}^2, \\ Q &= q F = 51{,}7 \cdot 0{,}126 = 6{,}50\ \text{кВт}. \end{aligned}$$

Дополнительная проверка по балансу: расход воды $G = \rho w \pi d^2 / 4 = 0{,}310$ кг/с, и такой поток нагреет её на $\Delta t = Q / (G c) = 6500 / (0{,}310 \cdot 4174) = 5{,}0$ К. Нагрев на пять градусов согласуется с принятой средней температурой 50 °C (вход около 47,5 °C, выход около 52,5 °C), то есть свойства выбраны непротиворечиво.

Ответ: $\alpha \approx 5170$ Вт/(м²·К), $q = 51{,}7$ кВт/м², $Q = 6{,}5$ кВт с двух метров трубы.

Формула и откуда она берётся

Коэффициент теплоотдачи определён законом Ньютона и Рихмана: $q = \alpha\,\Delta t$, то есть $\alpha$ это плотность теплового потока, снимаемого с квадратного метра поверхности на каждый градус разности температур. Формула красивая, но бесполезная сама по себе: $\alpha$ зависит от скорости, вязкости, теплопроводности, геометрии и даже от направления потока тепла, и вычислить её напрямую нельзя.

Выход даёт теория подобия. Уравнения пограничного слоя приводят к безразмерному виду, и оказывается, что решение выражается через несколько комплексов: число Нуссельта $Nu = \alpha l / \lambda$, число Рейнольдса $Re = wl/\nu$ и число Прандтля $Pr = \nu / a$. Эксперимент даёт связь между ними в виде степенной зависимости, которую и называют критериальным уравнением. Отсюда обратный ход: сначала по $Re$ и $Pr$ находят $Nu$, потом из определения $Nu$ выражают $\alpha = Nu\,\lambda / l$. Физический смысл самого критерия и вывод его формулы разобраны отдельно в статье про число Нуссельта в конвекции, здесь он нужен только как ступенька к $\alpha$.

Два места, где чаще всего теряют точность. Первое: $\lambda$ в формуле это теплопроводность среды, а не стенки, и берётся она при определяющей температуре. Второе: характерный размер $l$ в $Nu$ и в $Re$ обязан быть одним и тем же. Для течения внутри трубы это внутренний диаметр, для поперечного обтекания трубы наружный, для пластины длина по потоку, для канала некруглого сечения эквивалентный диаметр $d_{\text{э}} = 4F / P$.

Поправки, которые часто забывают

В формуле Михеева стоят два множителя, которые в учебной задаче обычно молча принимают за единицу. Стоит понимать, когда так делать нельзя.

Поправка на начальный участок $\varepsilon_l$ учитывает, что у входа в трубу пограничный слой ещё не сформировался и теплоотдача там выше. При $l/d > 50$ она равна единице. У нас $l/d = 2 / 0{,}02 = 100$, поэтому $\varepsilon_l = 1$ честно. Для короткого участка, например $l/d = 10$, множитель вырос бы примерно до 1,2 и ответ поднялся бы на пятую часть.

Поправка $(Pr_{\text{ж}} / Pr_{\text{с}})^{0{,}25}$ учитывает направление теплового потока: у нагреваемой жидкости вязкость у стенки ниже, слой тоньше, теплоотдача выше. Для воды при 60 °C число Прандтля равно 2,98, поэтому множитель составляет $(3{,}54/2{,}98)^{0{,}25} = 1{,}04$, и уточнённый ответ равен 5400 Вт/(м²·К). Разница в четыре процента для оценочного расчёта несущественна, но при большом температурном напоре в масле этот множитель легко даёт полтора раза.

Свободная конвекция: та же труба в неподвижном воздухе

Если среду ничто не гонит, движение создаёт сама подъёмная сила, и число Рейнольдса теряет смысл. Его место занимает число Грасгофа, а критериальное уравнение строится на произведении $Gr \cdot Pr$. Посчитаем для той же трубы 20 мм со стенкой 60 °C, остывающей в неподвижном воздухе при 20 °C. Определяющая температура здесь средняя между стенкой и средой, то есть 40 °C: $\lambda = 0{,}0276$ Вт/(м·К), $\nu = 16{,}96 \cdot 10^{-6}$ м²/с, $Pr = 0{,}699$, $\beta = 1/T = 3{,}19 \cdot 10^{-3}$ 1/К.

$$Gr = \frac{g \beta \Delta t\, d^3}{\nu^2} = \frac{9{,}81 \cdot 3{,}19 \cdot 10^{-3} \cdot 40 \cdot (0{,}02)^3}{(16{,}96 \cdot 10^{-6})^2} = 3{,}49 \cdot 10^{4}.$$

Тогда $Gr \cdot Pr = 2{,}44 \cdot 10^{4}$, что попадает в диапазон от $10^3$ до $10^9$, где работает уравнение $Nu = 0{,}5\,(Gr \cdot Pr)^{0{,}25}$:

$$Nu = 0{,}5 \cdot (2{,}44 \cdot 10^{4})^{0{,}25} = 6{,}25, \qquad \alpha = \frac{6{,}25 \cdot 0{,}0276}{0{,}02} = 8{,}6\ \text{Вт/(м}^2\cdot\text{К)}.$$

Разница с первой задачей почти в шестьсот раз, и это не ошибка: вода вместо воздуха и принудительное течение вместо самотёка действительно дают такой разрыв. Чтобы увидеть это своими глазами, достаточно переключить в калькуляторе сверху режим на свободную конвекцию, среду на воздух и выставить напор 40 К.

Порядки величин: чем проверить ответ

Полученное число полезно сверить с типичным диапазоном для своего случая. Если расчёт вывалился из него на порядок, почти наверняка перепутан характерный размер или свойства взяты не для той среды.

Наши 5170 Вт/(м²·К) попадают в середину интервала для воды с принудительным течением, а 8,6 Вт/(м²·К) в интервал свободной конвекции в газе. Вторая проверка размерностная: безразмерное $Nu$ умножается на Вт/(м·К) и делится на метры, что и даёт Вт/(м²·К), то есть единицы сходятся. Если дальше задача требует теплопередачи через стенку, найденный $\alpha$ становится одним из слагаемых в термическом сопротивлении стенки, где к нему добавляются сопротивление самого материала и теплоотдача с другой стороны.

Частые ошибки

• Подставляют теплопроводность стенки вместо теплопроводности среды. В $\alpha = Nu\,\lambda/d$ стоит $\lambda$ жидкости или газа. Сталь с её 45 Вт/(м·К) вместо воды с 0,648 завышает ответ в семьдесят раз.
• Разные характерные размеры в $Re$ и в $Nu$. Если $Re$ считали по диаметру, то и делить надо на диаметр. Смешение диаметра и длины это самая частая причина ответа, отличающегося на порядок.
• Применяют формулу Михеева при $Re < 10^4$. Для ламинарного течения нужен совсем другой аппарат, а переходная зона 2300 ... 10⁴ вообще не описывается единым уравнением, и её результат считается оценочным.
• Свойства берут при комнатной температуре. Вязкость воды от 20 до 50 °C падает почти вдвое, и $Re$ вместе с ответом уезжает соответственно. Определяющая температура для течения в трубе это средняя температура жидкости, для свободной конвекции полусумма температур стенки и среды.
• Путают $\alpha$ с коэффициентом теплопередачи $k$. Первый описывает переход тепла от жидкости к поверхности, второй весь путь через стенку от среды к среде и всегда меньше меньшего из $\alpha$.
• Забывают перевести миллиметры в метры. Диаметр 20 мм, подставленный как 20, завышает $Re$ в тысячу раз, а $\alpha$ при этом занижается.

FAQ

В каких единицах измеряется коэффициент теплоотдачи? В Вт/(м²·К), то есть ватт на квадратный метр поверхности на каждый кельвин разности температур. Поскольку речь о разности, градусы Цельсия и кельвины здесь взаимозаменяемы, и запись Вт/(м²·°C) означает то же самое.

Можно ли найти коэффициент теплоотдачи без критериальных уравнений? Да, если известен тепловой поток: из $q = \alpha \Delta t$ получается $\alpha = q / \Delta t$. Так делают в лабораторной работе, где $Q$ измеряется по нагреву теплоносителя, а $\Delta t$ термопарами. Критериальные уравнения нужны, когда поток заранее неизвестен и задачу решают проектно.

Чем коэффициент теплоотдачи отличается от коэффициента теплопроводности? Теплопроводность $\lambda$ это свойство вещества, она есть в таблицах и от геометрии не зависит. Коэффициент теплоотдачи $\alpha$ это характеристика процесса на границе поверхности с потоком: одна и та же вода даёт разные $\alpha$ в трубе 10 и 100 мм. Разбор самой теплопроводности есть в законе Фурье.

Почему при переходе от воды к воздуху ответ падает в сотни раз? Складываются два фактора: теплопроводность воздуха примерно в 23 раза ниже, а сама конвекция при самотёке намного слабее, чем при накачке насосом. Именно поэтому в теплообменниках газовую сторону оребряют, наращивая площадь, раз уж $\alpha$ поднять нечем.

Коротко

1. Общая формула одна: $\alpha = Nu\,\lambda / d$, где $\lambda$ это теплопроводность среды, а $d$ тот же характерный размер, по которому считали критерий.
2. Для вынужденного течения ищем $Re = wd/\nu$ и по нему выбираем уравнение; при $Re \ge 10^4$ работает $Nu = 0{,}021\,Re^{0{,}8}Pr^{0{,}43}$.
3. Для свободной конвекции вместо $Re$ берём $Gr = g\beta\Delta t\,d^3/\nu^2$ и уравнение $Nu = 0{,}5\,(Gr\,Pr)^{0{,}25}$ в диапазоне $10^3 \ldots 10^9$.
4. Свойства среды выписываем при определяющей температуре: средней температуре жидкости для трубы и полусумме температур стенки и среды для свободной конвекции.
5. Ответ задачи: $Re = 3{,}6 \cdot 10^4$, $Nu = 159{,}6$, $\alpha \approx 5170$ Вт/(м²·К), $q = 51{,}7$ кВт/м², $Q = 6{,}5$ кВт с двух метров трубы. Проверяем его по таблице порядков и по тепловому балансу.