Как найти молярную массу газа: решение задачи

Дано: масса газа $m = 8{,}8$ г, объём $V = 5{,}0$ л, температура $t = 27$ °C, давление $p = 100$ кПа. Найти: молярную массу $M$, относительную плотность по воздуху и сам газ.

Молярная масса находится из уравнения Менделеева-Клапейрона: количество вещества выражается через массу как $\nu = m/M$, и после подстановки остаётся одна неизвестная. Ответ: $M \approx 43{,}9$ г/моль, $D_{\text{возд}} \approx 1{,}51$, газ - углекислый газ $\text{CO}_2$.

Калькулятор сверху считает молярную массу всеми тремя школьными и вузовскими способами и показывает на диаграмме, в какой справочный газ попал полученный ответ. Ниже тот же результат разобран вручную.

Решение по шагам

Дано. $m = 8{,}8$ г, $V = 5{,}0$ л, $t = 27$ °C, $p = 100$ кПа, $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К). Найти: $M$, $D_{\text{возд}}$, название газа.

Шаг 1. Переводим температуру в кельвины. Уравнение состояния работает только с абсолютной температурой:

$$T = t + 273 = 27 + 273 = 300 \text{ К}.$$

Шаг 2. Записываем уравнение состояния через массу. Из $pV = \nu RT$ и $\nu = m/M$ получаем рабочую формулу:

$$pV = \frac{m}{M} RT \quad\Longrightarrow\quad M = \frac{mRT}{pV}.$$

Шаг 3. Подставляем числа. Если массу брать в граммах, давление в килопаскалях, а объём в литрах, множители $10^{3}$ в числителе и знаменателе сокращаются и молярная масса сразу получается в граммах на моль:

$$M = \frac{8{,}8 \cdot 8{,}31 \cdot 300}{100 \cdot 5{,}0} = \frac{21\,938{,}4}{500} \approx 43{,}9 \text{ г/моль}.$$

Шаг 4. Проверяем через количество вещества. Считаем $\nu$ отдельно и делим массу на него:

$$\nu = \frac{pV}{RT} = \frac{100 \cdot 5{,}0}{8{,}31 \cdot 300} \approx 0{,}2006 \text{ моль}, \qquad M = \frac{m}{\nu} = \frac{8{,}8}{0{,}2006} \approx 43{,}9 \text{ г/моль}.$$

Сходится, значит арифметика верна.

Шаг 5. Находим относительную плотность и опознаём газ. Плотность по воздуху - это отношение молярных масс:

$$D_{\text{возд}} = \frac{M}{M_{\text{возд}}} = \frac{43{,}9}{29} \approx 1{,}51.$$

Ближайшая табличная молярная масса - 44 г/моль. Расхождение 0,3 % полностью укладывается в округление $R$ и в точность измерений, так что в сосуде углекислый газ.

Ответ. $M \approx 43{,}9$ г/моль, $D_{\text{возд}} \approx 1{,}51$, газ - $\text{CO}_2$.

Формула и откуда она берётся

Уравнение состояния идеального газа связывает четыре величины: $pV = \nu RT$. Здесь $p$ - давление в паскалях, $V$ - объём в кубометрах, $T$ - абсолютная температура в кельвинах, $\nu$ - количество вещества в молях, а $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К) - универсальная газовая постоянная. Подробный вывод уравнения состояния из основного уравнения МКТ разобран отдельно, здесь важен только результат.

Молярная масса появляется в нём через определение количества вещества: $\nu = m/M$, где $m$ - масса порции газа, а $M$ - масса одного моля. Подставив это в уравнение состояния, получаем форму, которую и называют уравнением Менделеева-Клапейрона для массы газа:

$$pV = \frac{m}{M} RT.$$

Из неё молярная масса выражается одной перестановкой: $M = mRT/(pV)$. Физический смысл прост: при заданных давлении и температуре объём определяется числом молекул, а не их сортом. Значит, если известная масса занимает мало места, молекулы тяжёлые и молярная масса большая, и наоборот.

Единицы удобно держать в одной из двух связок. Строгая система СИ: масса в килограммах, давление в паскалях, объём в кубометрах, ответ в килограммах на моль. Практическая связка для задач: масса в граммах, давление в килопаскалях, объём в литрах, ответ сразу в граммах на моль. Смешивать их нельзя, а вот выбрать любую можно, и вторая экономит два перевода.

Способ через относительную плотность газа

Относительная плотность $D$ показывает, во сколько раз один газ тяжелее другого при одинаковых давлении и температуре. Поскольку в равных объёмах при равных условиях содержится равное число молекул (закон Авогадро), отношение плотностей равно отношению молярных масс:

$$D = \frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{M_1}{M_2} \quad\Longrightarrow\quad M_1 = D \cdot M_2 .$$

Это самый быстрый способ: никаких переводов и никакой газовой постоянной, только умножение. Достаточно знать молярную массу газа сравнения.

Проверим на нашем газе в обратную сторону. Плотность найденного газа по водороду равна $D_{\text{H}_2} = 43{,}9/2 \approx 21{,}9$. Если бы в условии дали привычное «плотность по водороду равна 22», ответ получился бы за одно действие: $M = 2 \cdot 22 = 44$ г/моль. Тот же $\text{CO}_2$.

Воздух в этой формуле участвует как условная смесь с $M_{\text{возд}} = 29$ г/моль. Это средняя молярная масса смеси азота, кислорода и аргона, посчитанная по объёмным долям, - по той же логике, по которой в растворах считают массовую долю компонента. Для смеси средняя молярная масса равна $M_{\text{ср}} = \sum \varphi_i M_i$, где $\varphi_i$ - объёмные доли.

Способ через объём при нормальных условиях

Третий путь опирается на молярный объём: при нормальных условиях ($p_0 = 101{,}3$ кПа, $T_0 = 273$ К) один моль любого идеального газа занимает $V_m = 22{,}4$ л. Если объём дан не при н.у., его сначала приводят к нормальным условиям по объединённому газовому закону:

$$V_0 = \frac{p V T_0}{p_0 T} = \frac{100 \cdot 5{,}0 \cdot 273}{101{,}3 \cdot 300} \approx 4{,}49 \text{ л}.$$

Дальше молярная масса получается из простой пропорции «столько-то литров весят столько-то граммов»:

$$M = \frac{m \cdot V_m}{V_0} = \frac{8{,}8 \cdot 22{,}4}{4{,}49} \approx 43{,}9 \text{ г/моль}.$$

Третий ответ совпал с первыми двумя. Эквивалентная запись через плотность при н.у.: $M = \rho_0 \cdot V_m$, где $\rho_0 = m/V_0 \approx 1{,}96$ г/л. Формулировку «плотность газа при н.у. равна 1,96 г/л» в задачах дают часто, и тогда молярная масса считается в одно умножение.

Какой способ выбирать, диктует условие. Даны $p$, $V$, $T$ и масса - уравнение Менделеева-Клапейрона. Дана относительная плотность по водороду или воздуху - умножение на 2 или на 29. Даны объём при н.у. или плотность при н.у. - молярный объём 22,4 л/моль. Если в задаче параллельно спрашивают скорости молекул, найденная $M$ пойдёт дальше в формулы средней скорости теплового движения.

Для влажного воздуха этот расчёт усложняется: молярная масса смеси зависит от доли водяного пара, а она задаётся парциальным давлением пара.

Частые ошибки

• Температура в градусах Цельсия. Подстановка $T = 27$ вместо $T = 300$ занижает ответ ровно в 11 раз: вместо 43,9 получится 3,95 г/моль. Кельвины в уравнении состояния обязательны всегда.
• Смешанные единицы. Давление в килопаскалях вместе с объёмом в кубометрах или масса в граммах вместе с давлением в паскалях дают ответ, промахнувшийся на три порядка. Держитесь одной связки: либо всё в СИ, либо г, кПа и л.
• Путают молярную массу и массу порции. $M$ - это масса одного моля, а $m$ - масса того газа, который дан в задаче. В ответе у $M$ единицы г/моль, у $m$ - граммы; если единицы не сошлись, формула перевёрнута.
• Молярный объём 22,4 л/моль применяют не при н.у. Это значение верно только при 101,3 кПа и 273 К. При 27 °C и 100 кПа моль занимает уже около 24,9 л, и деление на 22,4 без приведения объёма даёт ошибку в несколько процентов.
• Путают относительную плотность и обычную. $D$ - безразмерное отношение молярных масс, $\rho$ - плотность в кг/м³ или г/л. Умножать на 29 нужно именно $D$, а не $\rho$.
• Округляют до ближайшего газа слишком рано. Сначала записывается расчётное значение (43,9 г/моль), и только потом делается вывод о веществе. Если расхождение с табличным больше 2-3 %, вывод о газе делать нельзя.

FAQ

Что делать, если в условии дана плотность газа в г/л, а не масса? Плотность уже содержит отношение массы к объёму, поэтому формула сокращается до $M = \rho RT/p$. Например, при $\rho = 1{,}76$ г/л, $T = 300$ К и $p = 100$ кПа получится те же 43,9 г/моль. Отдельно искать массу и объём не нужно.

Какое значение газовой постоянной брать? Для связки «граммы, килопаскали, литры» и для СИ подходит $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К). Значение 8,314 уточняет ответ на сотые доли процента и на вывод о газе не влияет. Другие числа (например, 0,082) относятся к другим единицам давления и объёма, их без нужды лучше не смешивать.

Как найти молярную массу смеси газов? Через средневзвешенное по составу: $M_{\text{ср}} = \varphi_1 M_1 + \varphi_2 M_2 + \ldots$, где $\varphi_i$ - объёмные (они же мольные) доли. Для смеси 40 % кислорода и 60 % азота получается $0{,}4 \cdot 32 + 0{,}6 \cdot 28 = 29{,}6$ г/моль. Уравнение Менделеева-Клапейрона для смеси даёт именно эту среднюю величину.

Почему опытная молярная масса иногда заметно больше табличной? У реальных газов при высоком давлении и низкой температуре модель идеального газа перестаёт работать: сказываются собственный объём молекул и притяжение между ними. Ещё одна причина - ассоциация молекул, как у диоксида азота, который частично существует в виде димера и потому «весит» больше формульной единицы.

Коротко

1. Перевести температуру в кельвины: $T = t + 273$, и привести данные к одной связке единиц.
2. Если даны $m$, $p$, $V$ и $T$, применить уравнение Менделеева-Клапейрона: $M = mRT/(pV)$.
3. Если дана относительная плотность, умножить её на молярную массу газа сравнения: $M = D \cdot M_2$ (по водороду на 2, по воздуху на 29).
4. Если дан объём или плотность при нормальных условиях, использовать молярный объём: $M = m V_m / V_0 = \rho_0 \cdot 22{,}4$.
5. Для примера с 8,8 г газа в 5,0 л при 27 °C и 100 кПа все три пути дают $M \approx 43{,}9$ г/моль, $D_{\text{возд}} \approx 1{,}51$ и газ $\text{CO}_2$.