Как найти температуру мокрого термометра: расчёт

Дано: показание сухого термометра $t_{\text{с}} = 24$ °C, относительная влажность $\varphi = 50\ \%$, барометрическое давление $B = 100$ кПа, психрометр станционный (Августа). Найти: температуру мокрого термометра $t_{\text{м}}$ и точку росы $t_{\text{р}}$.

У температуры мокрого термометра нет готовой формулы вида «подставь и получи»: искомая величина сидит внутри психрометрического уравнения под экспонентой давления насыщения, поэтому её находят подбором или по психрометрической таблице. Ответ: $t_{\text{м}} \approx 17{,}4$ °C, психрометрическая разность $\Delta t \approx 6{,}6$ К, точка росы $t_{\text{р}} \approx 12{,}9$ °C.

Калькулятор сверху решает то же уравнение делением отрезка пополам для любых показаний и любого барометрического давления. На графике видно главное: мокрый термометр это точка, где психрометрическая прямая, выпущенная из состояния воздуха, упирается в кривую насыщения. Ниже тот же ответ получен вручную.

Решение по шагам

Дано.

Найти: $t_{\text{м}}$, $\Delta t$, $t_{\text{р}}$.

Шаг 1. Давление насыщения при температуре воздуха. Это опорное число всей задачи: оно зависит только от температуры и берётся из таблицы водяного пара или считается по формуле Магнуса (давление в килопаскалях, температура в градусах Цельсия):

$$p_{\text{н}}(t_{\text{с}}) = 0{,}6105 \exp\left(\frac{17{,}269 \cdot 24}{237{,}3 + 24}\right) = 0{,}6105 \cdot e^{1{,}5861} \approx 2{,}982\ \text{кПа}.$$

Таблица водяного пара при 24 °C даёт 2,985 кПа, то есть формула сошлась с ней в пределах одной десятой процента. Для учебной задачи такой точности хватает с запасом.

Шаг 2. Парциальное давление водяного пара. Относительная влажность по определению есть доля от насыщения, поэтому фактическое давление пара получается одним умножением:

$$p_{\text{п}} = \varphi \, p_{\text{н}}(t_{\text{с}}) = 0{,}50 \cdot 2{,}982 = 1{,}491\ \text{кПа}.$$

Влажность подставляется долей, а не процентами. Если нужен ещё и влагосодержание, оно считается из того же $p_{\text{п}}$, и подробный разбор этого шага лежит в задаче про парциальное давление водяного пара.

Шаг 3. Психрометрическое уравнение. Связь показаний двух термометров с давлением пара даёт уравнение Шпрунга:

$$p_{\text{п}} = p_{\text{н}}(t_{\text{м}}) - A \, B \, (t_{\text{с}} - t_{\text{м}}).$$

Здесь $p_{\text{н}}(t_{\text{м}})$ это давление насыщения при температуре мокрого термометра, а $A$ психрометрический коэффициент прибора. Для станционного психрометра Августа $A = 0{,}00074$ 1/К, значит $A B = 0{,}00074 \cdot 100 = 0{,}074$ кПа/К. Уравнение неявное: $t_{\text{м}}$ стоит и в скобке, и под экспонентой, аналитически его не развернуть.

Шаг 4. Подбор температуры мокрого термометра. Берём пробные значения и смотрим, что даёт правая часть по сравнению с искомыми 1,491 кПа:

Первые две строки задают вилку, дальше работает линейная интерполяция внутри неё:

$$t_{\text{м}} \approx 17{,}0 + 0{,}5 \cdot \frac{1{,}491 - 1{,}419}{1{,}518 - 1{,}419} = 17{,}0 + 0{,}5 \cdot 0{,}73 \approx 17{,}37\ \text{°C}.$$

Психрометрическая разность получается сразу: $\Delta t = 24 - 17{,}4 = 6{,}6$ К.

Шаг 5. Точка росы. Её ищут из того же $p_{\text{п}}$ обратной формулой Магнуса: это температура, при которой имеющийся пар стал бы насыщенным без изменения его давления. Обозначим $a = \ln(p_{\text{п}} / 0{,}6105) = \ln 2{,}442 = 0{,}893$, тогда

$$t_{\text{р}} = \frac{237{,}3 \, a}{17{,}269 - a} = \frac{237{,}3 \cdot 0{,}893}{17{,}269 - 0{,}893} \approx 12{,}9\ \text{°C}.$$

Ответ: $t_{\text{м}} \approx 17{,}4$ °C, $\Delta t \approx 6{,}6$ К, $t_{\text{р}} \approx 12{,}9$ °C. Порядок величин выдержан: $t_{\text{р}} < t_{\text{м}} < t_{\text{с}}$, то есть 12,9 < 17,4 < 24. Если в твоём решении это неравенство нарушено, ошибка допущена раньше ответа.

Формула и откуда она берётся

Мокрый термометр обёрнут тканью, смоченной водой. С ткани испаряется влага и уносит теплоту парообразования, поэтому резервуар охлаждается. Охлаждение идёт не бесконечно: чем холоднее ткань, тем сильнее поток теплоты из окружающего воздуха к ней. Установившееся состояние это баланс двух потоков.

Теплота подводится к резервуару конвекцией и пропорциональна разности температур, а отводится вместе с испарённой влагой и пропорциональна разности давлений пара у поверхности плёнки и в воздухе:

$$\alpha \, (t_{\text{с}} - t_{\text{м}}) = r \, \beta \, \bigl(p_{\text{н}}(t_{\text{м}}) - p_{\text{п}}\bigr),$$

где $\alpha$ коэффициент теплоотдачи, $\beta$ коэффициент массоотдачи, $r$ удельная теплота парообразования. У поверхности мокрой ткани воздух насыщен, поэтому там стоит именно $p_{\text{н}}(t_{\text{м}})$, а не давление насыщения при температуре воздуха. Выразив отсюда $p_{\text{п}}$, получаем уравнение Шпрунга, причём психрометрический коэффициент оказывается равен $A = \alpha / (r \beta B)$.

Отсюда сразу следуют два практических вывода. Первый: показание мокрого термометра зависит не только от влажности, но и от обдува прибора, потому что от скорости воздуха зависит отношение $\alpha / \beta$. Второй: при $\varphi = 100\ \%$ испарения нет, скобка справа обращается в ноль и оба термометра показывают одинаково, а температура мокрого термометра совпадает с точкой росы. Физика коэффициента $\alpha$ разобрана отдельно в задаче про коэффициент теплоотдачи.

Психрометрическая постоянная: станционный прибор и аспирационный

В задачах встречаются два значения $A$, и путать их нельзя. У станционного психрометра Августа резервуары стоят в почти неподвижном воздухе, поэтому теплота подводится слабо и разность показаний больше; у аспирационного психрометра Ассмана вентилятор гонит воздух со скоростью около 2 м/с, теплоотдача растёт, и мокрый термометр охлаждается меньше:

Разница в ответе невелика, около 0,3 К, но в лабораторной работе с точностью до десятых она заметна. Переключи тип прибора в калькуляторе сверху: числа в столбцах таблицы получаются именно так.

Полезно сравнить обе цифры с температурой адиабатного насыщения. Энтальпия исходного воздуха равна 48,1 кДж/кг сухого воздуха, и если увлажнять его водой при постоянной энтальпии до состояния насыщения, получится 17,0 °C. Для системы «воздух плюс вода» температура мокрого термометра практически совпадает с температурой адиабатного насыщения, и именно поэтому на диаграмме влажного воздуха её снимают по линии постоянной энтальпии до линии $\varphi = 100\ \%$.

Обратная задача: влажность по разности показаний

Чаще в лаборатории известно обратное: прибор показывает два числа, а найти нужно влажность. Тогда подбор не нужен, потому что $t_{\text{м}}$ уже дана и правая часть уравнения Шпрунга считается напрямую. Для нашего же примера с показаниями 24 °C и 17,4 °C:

$$p_{\text{п}} = 1{,}986 - 0{,}074 \cdot 6{,}6 = 1{,}498\ \text{кПа}, \qquad \varphi = \frac{1{,}498}{2{,}982} \cdot 100\ \% \approx 50{,}2\ \%.$$

Получилось 50,2 % вместо исходных 50 % - расхождение возникло только из-за округления $t_{\text{м}}$ до десятых долей градуса. Это и есть проверка ответа прямой задачи: прогони расчёт обратно и убедись, что вернулся к условию.

На практике этот же переход делают по психрометрической таблице: в ней строка задаёт показание сухого термометра, столбец разность показаний, а в клетке стоит готовая влажность. Таблица построена ровно по уравнению Шпрунга для конкретного прибора, так что при её использовании коэффициент $A$ отдельно не подставляют. Теория влажного воздуха с определениями абсолютной и относительной влажности разобрана в статье про задачи на влажность воздуха.

Частые ошибки

• Подставляют в уравнение Шпрунга давление насыщения при температуре сухого термометра. У поверхности мокрой ткани воздух насыщен при её собственной температуре, поэтому там стоит $p_{\text{н}}(t_{\text{м}})$.
• Пытаются выразить $t_{\text{м}}$ алгебраически. Уравнение неявное, честный путь это подбор, интерполяция или психрометрическая таблица.
• Смешивают единицы: давление пара в килопаскалях, а барометрическое в миллиметрах ртутного столба. Величины $p_{\text{п}}$, $p_{\text{н}}$ и $B$ обязаны быть в одних единицах, иначе слагаемое $A B \Delta t$ уедет на два порядка.
• Берут $A$ наугад. Для станционного прибора 0,00074 1/К, для аспирационного 0,000662 1/К, и ответ различается на несколько десятых градуса.
• Путают температуру мокрого термометра с точкой росы. В нашем примере это 17,4 и 12,9 °C, совпадают они только при стопроцентной влажности.
• Оставляют влажность в процентах при расчёте $p_{\text{п}}$. Ответ вырастает в сто раз и превышает барометрическое давление, что физически невозможно.

FAQ

Чем температура мокрого термометра отличается от точки росы? Точка росы это температура, до которой надо охладить воздух без изменения содержания пара, чтобы пар стал насыщенным. Мокрый термометр охлаждается иначе: испарение добавляет пар в пограничный слой, поэтому процесс идёт не при постоянном влагосодержании, а при постоянной энтальпии. Температура мокрого термометра всегда лежит между точкой росы и температурой воздуха.

Может ли мокрый термометр показать больше сухого? Нет, если ткань смочена водой, а воздух не пересыщен. Максимум они сравняются при $\varphi = 100\ \%$, когда испарение прекращается. Показание выше сухого означает, что ткань высохла, загрязнена или обдувается тёплой струёй от постороннего источника.

Какое значение $A$ брать, если тип психрометра в условии не указан? По умолчанию берут 0,00074 1/К: это станционный психрометр, по нему составлены школьные и большинство вузовских психрометрических таблиц. Коэффициент 0,000662 1/К нужен, когда в условии прямо сказано про аспирационный прибор или про обдув около 2 м/с.

Зачем вообще считать $t_{\text{м}}$, если влажность уже известна? Она задаёт предел охлаждения воздуха водой: в градирне, увлажнительной камере или испарительном охладителе температура воды стремится именно к температуре мокрого термометра. По ней же проверяют режим сушки и оценивают тепловую нагрузку на человека в жарком цехе.

Коротко

1. Найди давление насыщения при температуре сухого термометра по таблице или формуле Магнуса: при 24 °C это 2,982 кПа.
2. Посчитай парциальное давление пара как долю от насыщения: $p_{\text{п}} = 0{,}50 \cdot 2{,}982 = 1{,}491$ кПа.
3. Запиши уравнение Шпрунга $p_{\text{п}} = p_{\text{н}}(t_{\text{м}}) - A B (t_{\text{с}} - t_{\text{м}})$ и подставь $A B = 0{,}074$ кПа/К.
4. Реши его подбором с интерполяцией внутри вилки 17,0 и 17,5 °C: $t_{\text{м}} \approx 17{,}4$ °C, $\Delta t \approx 6{,}6$ К, точка росы 12,9 °C.
5. Проверь неравенство $t_{\text{р}} < t_{\text{м}} < t_{\text{с}}$ и обратный ход через уравнение Шпрунга: влажность должна вернуться к исходным 50 %.