Влажность воздуха: задачи на относительную и абсолютную

Задачи на влажность воздуха пугают обилием величин: абсолютная и относительная влажность, давление и плотность пара, точка росы, показания психрометра. На самом деле всё держится на одном понятии - насыщенном паре. Стоит понять, что относительная влажность это просто доля от насыщения, и почти любая задача сводится к одному отношению. Покрутите калькулятор ниже: задайте температуру и относительную влажность и посмотрите, как меняются абсолютная влажность и точка росы.

Абсолютная и относительная влажность: в чём разница

Абсолютная влажность $\rho$ - это масса водяного пара в одном кубическом метре воздуха, то есть плотность пара. Измеряется в граммах на кубический метр (г/м³). Иногда абсолютную влажность характеризуют не плотностью, а парциальным давлением водяного пара $p$ - это эквивалентная мера, ведь пар подчиняется уравнению состояния газа.

Относительная влажность $\varphi$ показывает, насколько воздух близок к насыщению паром. Это отношение фактического содержания пара к тому максимуму, который воздух может удержать при данной температуре:

$\varphi = \frac{\rho}{\rho_{\text{нас}}} \cdot 100\% = \frac{p}{p_{\text{нас}}} \cdot 100\%,$

где $\rho_{\text{нас}}$ и $p_{\text{нас}}$ - плотность и давление насыщенного пара при той же температуре. Оба выражения дают одно и то же число, потому что при фиксированной температуре плотность пара пропорциональна его давлению. Именно относительную влажность показывает гигрометр в комнате, и именно её чаще всего спрашивают в задачах.

Ключевая величина здесь - насыщающее давление $p_{\text{нас}}(T)$. Оно зависит только от температуры и берётся из таблицы (или формулы Магнуса). Запомните логику: абсолютная влажность отвечает на вопрос «сколько пара есть», а относительная - «сколько пара по сравнению с пределом».

Давление насыщенного пара и точка росы

При фиксированной температуре воздух может удержать строго ограниченное количество пара. Достигнув этого предела, пар становится насыщенным: дальнейшее испарение уравновешивается конденсацией. Чем выше температура, тем больше предел - поэтому тёплый воздух удерживает много пара, а холодный мало. Зависимость $p_{\text{нас}}(T)$ растёт круто, почти экспоненциально.

Рассчитать для своей задачи

Точка росы - это температура, до которой нужно охладить воздух при неизменном содержании пара, чтобы пар стал насыщенным ($\varphi = 100\%$). На графике это температура, при которой горизонталь фактического давления $p$ пересекает кривую насыщения. Ниже точки росы избыток пара конденсируется: выпадает роса, запотевают окна, образуется туман. Поэтому в задачах точка росы - это всегда температура, при которой $p_{\text{нас}}(T_{\text{росы}}) = p$.

Эта связь объясняет бытовые наблюдения. Стакан с холодной водой запотевает, потому что воздух у его стенки охлаждается ниже точки росы. А зимой при заносе холодных очков в тёплую комнату на них мгновенно оседает роса по той же причине.

Как связаны давление пара и абсолютная влажность

Чтобы перейти от давления пара к его плотности (абсолютной влажности), водяной пар рассматривают как идеальный газ. Из уравнения состояния следует

$\rho = \frac{p \mu}{R T},$

где $\mu$ - молярная масса воды (18 г/моль), $R$ - универсальная газовая постоянная, $T$ - абсолютная температура в кельвинах. Та же формула в форме с удельной газовой постоянной пара выглядит как $\rho = p / (R_v T)$, где $R_v \approx 461{,}5$ Дж/(кг·К). Этот переход - прямое применение уравнения состояния, которое подробно разбирается в теме про основное уравнение МКТ идеального газа.

На практике в школьных задачах плотность насыщенного пара $\rho_{\text{нас}}$ обычно берут готовой из таблицы, и тогда абсолютная влажность считается напрямую: $\rho = \varphi \cdot \rho_{\text{нас}} / 100\%$. Если же дано давление, удобнее работать через $p_{\text{нас}}$ и при необходимости пересчитывать в плотность по уравнению состояния.

Рассчитать для своей задачи

На схеме хорошо видно, что относительная влажность это просто доля заполнения: высота золотого столбика (фактический пар) относительно полного столбика (насыщение) и есть $\varphi$.

Психрометр: как измеряют влажность

Самый распространённый прибор в задачах - психрометр. Он состоит из двух термометров: сухого и влажного (его резервуар обёрнут влажной тканью). С влажной ткани испаряется вода, забирая тепло, поэтому влажный термометр показывает меньшую температуру. Чем суше воздух, тем интенсивнее испарение и тем больше разность показаний.

По этой разности и психрометрической таблице определяют относительную влажность. Логика такая: сухой термометр даёт реальную температуру воздуха, а разность с влажным термометром - меру того, насколько воздух далёк от насыщения. Если воздух насыщен ($\varphi = 100\%$), испарения нет, и оба термометра показывают одинаково.

В задачах с психрометром алгоритм прост: берём показание сухого термометра как температуру воздуха, считаем разность показаний и по таблице находим $\varphi$. Дальше при необходимости переходим к абсолютной влажности или точке росы через те же формулы.

Как решать задачи на влажность: общий алгоритм

Почти любая задача укладывается в короткий план. Сначала определяют, что дано и что нужно найти. Если задана относительная влажность $\varphi$ и температура $T$, то по таблице находят $p_{\text{нас}}$ или $\rho_{\text{нас}}$ при этой температуре - это опорные числа.

Дальше используют главное соотношение $\varphi = p / p_{\text{нас}} = \rho / \rho_{\text{нас}}$. Из него легко выразить любую неизвестную: фактическое давление $p = \varphi \cdot p_{\text{нас}}$, абсолютную влажность $\rho = \varphi \cdot \rho_{\text{нас}}$ или, наоборот, относительную влажность по известным $p$ и $p_{\text{нас}}$.

Если спрашивают точку росы, ищут температуру, при которой текущее давление пара $p$ становится насыщающим: по таблице находят $T$, для которой $p_{\text{нас}}(T) = p$. Если в задаче меняют температуру при постоянном содержании пара, помните: абсолютная влажность не меняется (пар никуда не делся), а относительная меняется, потому что меняется $p_{\text{нас}}$. Эта разница - источник большинства ошибок. Похожая логика «что сохраняется при изменении условий» работает и в изопроцессах идеального газа.

Частые ошибки

• Путать абсолютную и относительную влажность. Абсолютная - это плотность пара в г/м³ (или его давление), относительная - доля от насыщения в процентах. Их нельзя складывать или приравнивать.
• Брать давление насыщения не при той температуре. $p_{\text{нас}}$ зависит только от температуры; для точки росы его берут при температуре росы, а не при исходной.
• Считать, что при охлаждении меняется абсолютная влажность. Если пар не конденсируется и не добавляется, абсолютная влажность постоянна. Меняется относительная, потому что падает $p_{\text{нас}}$.
• Забывать переводить температуру в кельвины. В формуле $\rho = p\mu/(RT)$ температура только абсолютная. Подстановка градусов Цельсия даёт грубую ошибку.
• Игнорировать единицы. Давление в паскалях, плотность в кг/м³ или г/м³ - следите за множителями, иначе ответ отличается в тысячи раз.

FAQ

Чем относительная влажность отличается от абсолютной? Абсолютная влажность - это масса водяного пара в единице объёма воздуха (плотность пара, г/м³) или его парциальное давление. Относительная влажность - это отношение фактического содержания пара к насыщающему при той же температуре, выраженное в процентах. Абсолютная говорит «сколько пара», относительная - «насколько близко к пределу».

Как найти точку росы по относительной влажности? Сначала находят фактическое давление пара $p = \varphi \cdot p_{\text{нас}}(T)$. Затем по таблице ищут температуру, при которой это давление становится насыщающим: $p_{\text{нас}}(T_{\text{росы}}) = p$. Эта температура и есть точка росы. Ниже неё пар начнёт конденсироваться.

Почему влажный термометр психрометра показывает меньше сухого? С влажной ткани испаряется вода, а испарение забирает тепло (теплота парообразования), охлаждая резервуар термометра. Чем суше воздух, тем активнее испарение и больше разность показаний. При $\varphi = 100\%$ испарения нет, и термометры показывают одинаковую температуру.

Коротко

Все задачи на влажность воздуха держатся на одном соотношении: относительная влажность $\varphi = p/p_{\text{нас}} = \rho/\rho_{\text{нас}}$ - это доля фактического содержания пара от насыщающего при данной температуре. Абсолютная влажность $\rho$ - плотность пара (или его давление $p$), переход между ними даёт уравнение состояния $\rho = p\mu/(RT)$. Точка росы - температура, при которой $p$ становится насыщающим, ниже неё выпадает роса. Психрометр измеряет влажность по разности сухого и влажного термометров. Главное правило: при охлаждении без конденсации абсолютная влажность постоянна, а относительная растёт, потому что падает давление насыщения.