Число Нуссельта: критерий теплоотдачи при конвекции

Когда жидкость или газ движется вдоль нагретой стенки, тепло уходит от поверхности не только за счёт молекулярной теплопроводности, но и потому, что поток уносит нагретые порции среды и подносит холодные. Эта совокупность явлений называется конвективной теплоотдачей, а её интенсивность характеризует число Нуссельта. Это безразмерный критерий, который показывает, во сколько раз реальный тепловой поток через пограничный слой больше, чем был бы при чистой теплопроводности неподвижной среды. Разберём, откуда берётся формула, как считать число Нуссельта через критериальные уравнения и зачем оно нужно в инженерных расчётах. Калькулятор ниже сразу покажет, как Nu и коэффициент теплоотдачи зависят от режима течения.

Что такое число Нуссельта

Число Нуссельта определяется как отношение характерного размера к толщине условного слоя, через который тепло передавалось бы только теплопроводностью:

$$Nu = \frac{\alpha L}{\lambda}$$

Здесь $\alpha$ - коэффициент теплоотдачи (Вт/(м²·К)), $L$ - характерный размер тела (диаметр трубы, длина пластины), $\lambda$ - теплопроводность самой жидкости. Важно: в знаменателе стоит теплопроводность среды, а не стенки.

Физический смысл удобно увидеть так. Конвективный тепловой поток с единицы поверхности равен $q = \alpha\,\Delta T$. Если бы та же разность температур $\Delta T$ создавала поток через неподвижный слой толщиной $L$ только за счёт кондукции, он составил бы $q_\text{конд} = \lambda\,\Delta T / L$. Отношение этих потоков и есть число Нуссельта:

$$Nu = \frac{q}{q_\text{конд}} = \frac{\alpha\,\Delta T}{\lambda\,\Delta T / L} = \frac{\alpha L}{\lambda}$$

Поэтому $Nu = 1$ означает, что движение среды ничего не добавляет - теплоотдача чисто кондуктивная. Чем больше число Нуссельта, тем сильнее конвекция «разгоняет» теплообмен по сравнению с покоящейся средой.

Рассчитать для своей задачи

Откуда берётся коэффициент теплоотдачи

Коэффициент теплоотдачи $\alpha$ - не свойство вещества, а характеристика конкретных условий обтекания. Он зависит от скорости потока, режима течения, геометрии, свойств среды и разности температур. Прямо измерить $\alpha$ трудно, поэтому в теории теплообмена идут обходным путём: находят число Нуссельта из критериального уравнения, а затем выражают коэффициент теплоотдачи обратно:

$$\alpha = \frac{Nu \cdot \lambda}{L}$$

Этот приём - ядро инженерного расчёта теплообменников. Сначала по режиму течения и свойствам среды определяют Nu, потом вычисляют $\alpha$, и уже через него - тепловой поток и площадь поверхности, нужную для отвода заданной мощности.

Критериальные уравнения: связь с Re и Pr

Число Нуссельта не вычисляется напрямую из определения - его находят из эмпирических зависимостей от других безразмерных критериев. Для вынужденной конвекции (поток гонит насос или вентилятор) общий вид такой:

$$Nu = C \cdot Re^{m} \cdot Pr^{n}$$

где число Рейнольдса $Re$ задаёт режим течения, а число Прандтля $Pr = \nu / a$ - отношение кинематической вязкости к температуропроводности - характеризует саму среду (как соотносятся перенос импульса и тепла). Коэффициенты $C$, $m$, $n$ берут из таблиц для конкретной геометрии и режима.

Для турбулентного течения в трубе ($Re > 10^4$) широко применяется формула Михеева:

$$Nu = 0{,}021 \cdot Re^{0{,}8} \cdot Pr^{0{,}43}$$

Показатель степени при Re близок к единице - теплоотдача почти линейно растёт со скоростью потока. Поэтому самый дешёвый способ усилить теплообмен в трубе - поднять расход.

Свободная и вынужденная конвекция

Расчётные формулы зависят от того, что движет поток.

При вынужденной конвекции среду гонит внешняя сила (насос, вентилятор, ветер). Здесь главный критерий - число Рейнольдса, и Nu выражают через Re и Pr, как в формуле Михеева. Режим течения (ламинарный или турбулентный) определяет показатель степени и сами коэффициенты.

При свободной (естественной) конвекции поток возникает сам из-за разности плотностей нагретых и холодных слоёв. Здесь вместо Re работает число Грасгофа $Gr$, а критериальное уравнение имеет вид:

$$Nu = C \cdot (Gr \cdot Pr)^{n}$$

Для развитой турбулентной свободной конвекции у вертикальной стенки $Nu = 0{,}15\,(Gr \cdot Pr)^{1/3}$. Произведение $Gr \cdot Pr$ называют числом Рэлея $Ra$ - оно играет для естественной конвекции ту же роль, что Re для вынужденной.

Рассчитать для своей задачи

Число Нуссельта и число Био: не путать

Внешне формулы похожи, но смысл разный, и это классическая ловушка на экзамене.

Число Нуссельта $Nu = \alpha L / \lambda_\text{ж}$ содержит теплопроводность жидкости ($\lambda_\text{ж}$). Оно описывает теплообмен на границе «поток - стенка» и характеризует интенсивность конвекции в среде.

Число Био $Bi = \alpha L / \lambda_\text{т}$ содержит теплопроводность твёрдого тела ($\lambda_\text{т}$). Оно сравнивает внешнее термическое сопротивление с внутренним и говорит, можно ли считать температуру тела одинаковой по объёму ($Bi < 0{,}1$).

То есть в Nu стоит $\lambda$ среды, в Bi - $\lambda$ тела. Один и тот же коэффициент $\alpha$, но разная теплопроводность в знаменателе - и совершенно разный физический вопрос.

Характерный размер: что подставлять в L

Ошибка с выбором характерного размера - частая причина неверного ответа. Правило: $L$ берут тем же, по которому считали число Рейнольдса в данной корреляции.

• Течение в трубе - внутренний диаметр $d$.
• Продольное обтекание пластины - длина пластины по потоку.
• Поперечное обтекание трубы или шара - наружный диаметр.
• Каналы некруглого сечения - эквивалентный (гидравлический) диаметр $d_\text{экв} = 4F / P$.

Подставлять размер «на глаз» нельзя: критериальные формулы выведены под конкретное определение $L$, и подмена сразу искажает результат в разы.

Как считать на практике

Типовой порядок расчёта конвективной теплоотдачи:

1. Определить режим и движущую силу: вынужденная конвекция или свободная.
2. Найти определяющие критерии: для вынужденной - $Re$ и $Pr$, для свободной - $Gr$ и $Pr$. Свойства среды берут при определяющей температуре (часто средней между стенкой и потоком).
3. Выбрать критериальное уравнение под геометрию и режим, подставить критерии, получить $Nu$.
4. Выразить коэффициент теплоотдачи $\alpha = Nu\,\lambda / L$.
5. Через $\alpha$ найти тепловой поток $Q = \alpha\,F\,\Delta T$ или требуемую площадь поверхности.

Калькулятор выше проходит шаги 2–4 для трубы автоматически: меняй Re и среду - и смотри, как число Нуссельта тянет за собой коэффициент теплоотдачи.

Частые ошибки

• Путают $\lambda$ жидкости и стенки. В числе Нуссельта стоит теплопроводность среды, в числе Био - твёрдого тела. Подстановка $\lambda$ металла в Nu даёт абсурдно малое число.
• Берут не тот характерный размер. $L$ должен соответствовать тому, по которому считали Re. Для трубы это диаметр, для пластины - длина по потоку.
• Применяют формулу Михеева к ламинарному режиму. Корреляция $Nu = 0{,}021\,Re^{0{,}8}\,Pr^{0{,}43}$ верна только для развитого турбулентного течения ($Re > 10^4$). Для ламинарного в трубе Nu стремится к постоянной около 3,66.
• Игнорируют число Прандтля. Пропуск множителя $Pr^{n}$ занижает теплоотдачу воды и масел в разы - у них Pr заметно больше единицы.
• Считают свойства при неправильной температуре. Вязкость и Pr сильно зависят от температуры; их берут при определяющей температуре, а не при комнатной.

FAQ

Чему равно число Нуссельта при ламинарном течении в трубе? Для стабилизированного ламинарного потока в круглой трубе при постоянной температуре стенки $Nu \approx 3{,}66$, при постоянном тепловом потоке - около 4,36. Это предельные значения: теплоотдача почти не зависит от скорости, потому что профиль уже сформировался.

Может ли число Нуссельта быть меньше единицы? Практически нет. $Nu = 1$ соответствует чистой теплопроводности неподвижного слоя; конвекция только усиливает теплообмен, поэтому реальные значения всегда больше единицы, обычно - десятки и сотни.

В чём разница между числом Нуссельта и числом Стантона? Число Стантона $St = Nu / (Re \cdot Pr)$ - это то же число Нуссельта, нормированное на конвективный перенос потока. Оно удобнее, когда теплоотдачу сравнивают с гидравлическим сопротивлением (аналогия Рейнольдса).

Коротко

Число Нуссельта $Nu = \alpha L / \lambda$ - безразмерный критерий конвективной теплоотдачи, показывающий, во сколько раз тепловой поток через пограничный слой больше чисто кондуктивного. Его не вычисляют из определения, а находят из критериальных уравнений: для вынужденной конвекции $Nu = C\,Re^{m}\,Pr^{n}$ (в трубе - формула Михеева $0{,}021\,Re^{0{,}8}\,Pr^{0{,}43}$), для свободной - $Nu = C\,(Gr\,Pr)^{n}$. По найденному Nu выражают коэффициент теплоотдачи $\alpha = Nu\,\lambda / L$ и через него - тепловой поток. Главное не путать Nu (теплопроводность жидкости) с числом Био (теплопроводность тела) и брать характерный размер $L$ согласованно с числом Рейнольдса.