Как найти сумму ряда: пошаговое решение

Дано: числовой ряд с общим членом $a_n = \dfrac{1}{n(n+2)}$, суммирование от $n = 1$ до бесконечности. Найти: сумму ряда.

Работаем через частичные суммы: общий член раскладывается на простейшие дроби, в сумме $S_N$ соседние слагаемые взаимно уничтожаются, и остаётся короткое выражение, у которого легко берётся предел. Ответ: $S = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$. Калькулятор сверху считает ту же сумму для любого сдвига $k$ в знаменателе и показывает, как ломаная частичных сумм подбирается к пунктиру точной суммы.

Решение по шагам

Шаг 1. Убедиться, что сумма существует. Сумма ряда - это предел последовательности частичных сумм, и у расходящегося ряда её просто нет. Формально сначала строится последовательность $S_1, S_2, S_3, \dots$, и только её предел называют суммой; без сходимости все дальнейшие преобразования не имеют смысла. Здесь при больших $n$ общий член ведёт себя как $\dfrac{1}{n^2}$, а обобщённый гармонический ряд с показателем $p = 2$ сходится, значит, по предельному признаку сравнения сходится и наш ряд. Заодно это подсказывает скорость: члены убывают квадратично, поэтому к сумме ряд подходит довольно быстро.

Шаг 2. Разложить общий член на простейшие дроби. Ищем разложение в виде

$$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2}.$$

Приводим правую часть к общему знаменателю и приравниваем числители: $1 = A(n+2) + Bn$. Подставляем удобные значения. При $n = 0$ получаем $1 = 2A$, то есть $A = \dfrac{1}{2}$. При $n = -2$ получаем $1 = -2B$, то есть $B = -\dfrac{1}{2}$. Итог:

$$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right).$$

Шаг 3. Выписать частичную сумму. Складываем первые $N$ членов и выносим множитель:

$$S_N = \frac{1}{2}\left(\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n} - \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n+2}\right).$$

Вторая сумма - это та же первая, но сдвинутая на два номера: она пробегает дроби от $\dfrac{1}{3}$ до $\dfrac{1}{N+2}$. Всё, что попало в обе суммы, сокращается. От первой остаются два первых слагаемых, от второй - два последних:

$$S_N = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{N+1} - \frac{1}{N+2}\right).$$

Шаг 4. Перейти к пределу. Дроби с $N$ в знаменателе стремятся к нулю, остальное - константа:

$$S = \lim_{N \to \infty} S_N = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2} = \frac{3}{4}.$$

Ответ: $S = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$.

Шаг 5. Проверить числом. Подставим $N = 10$ в формулу частичной суммы: $S_{10} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{12}\right) = \dfrac{175}{264} \approx 0{,}6629$. Прямое сложение десяти членов $\dfrac{1}{1\cdot3} + \dfrac{1}{2\cdot4} + \dots + \dfrac{1}{10\cdot12}$ даёт то же самое число, а остаток $R_{10} = S - S_{10} \approx 0{,}0871$ показывает, насколько частичная сумма ещё не дотянула до предела. Калькулятор сверху открыт ровно на этих значениях: $k = 2$, $N = 10$. Такая задача - стандартный первый пункт контрольной по числовым рядам в курсе математического анализа, и от неё ждут именно замкнутого выражения для $S_N$, а не приближённого сложения на калькуляторе.

Формула и откуда она берётся

Приём называется телескопированием: слагаемые складываются, как складывается подзорная труба, и от длинной суммы остаются только края. Работает он, когда общий член удаётся записать в виде разности $b_n - b_{n+k}$ - тогда частичная сумма равна разности «головы» и «хвоста», а предел зависит только от поведения хвоста.

Для семейства рядов вида $\dfrac{1}{n(n+k)}$ ответ выписывается сразу. Разложение даёт $\dfrac{1}{k}\left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+k}\right)$, в частичной сумме уцелевают первые $k$ и последние $k$ дробей, а хвост исчезает в пределе:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+k)} = \frac{1}{k}\left(1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{k}\right) = \frac{H_k}{k},$$

где $H_k$ - сумма первых $k$ членов гармонического ряда. При $k = 1$ сумма равна $1$, при $k = 2$ - те самые $\dfrac{3}{4}$, при $k = 3$ - $\dfrac{11}{18} \approx 0{,}6111$. Ползунок $k$ в калькуляторе перебирает эти случаи, и видно главное: чем больше сдвиг, тем медленнее ряд подходит к своей сумме.

Важно не путать два разных вопроса. Признаки сравнения, Даламбера, Коши и признак Лейбница отвечают только на вопрос, сходится ли ряд, но самой суммы не дают. Сумму находят либо телескопированием, либо через известные разложения элементарных функций - других массовых приёмов в типовом курсе нет.

Геометрический ряд: вторая формула, которую спрашивают

Второй ряд, у которого сумма считается в одну строку, - геометрический. Его члены образуют геометрическую прогрессию $a_n = b_1 q^{n-1}$, и частичная сумма известна из школы:

$$S_N = b_1\,\frac{1 - q^N}{1 - q}.$$

Если $|q| < 1$, то $q^N \to 0$ и в пределе остаётся

$$S = \frac{b_1}{1 - q}, \qquad |q| < 1.$$

Пример из чипов под строкой запроса: $b_1 = 6$, $q = 0{,}25$. Проверяем условие: $|0{,}25| < 1$, ряд сходится. Сумма равна $S = \dfrac{6}{1 - 0{,}25} = \dfrac{6}{0{,}75} = 8$, а частичная сумма пяти членов $S_5 = 6\cdot\dfrac{1 - 0{,}25^5}{0{,}75} \approx 7{,}9922$. В режиме геометрического ряда калькулятор показывает это наглядно: столбики членов быстро проседают к нулю, а ломаная частичных сумм ложится на пунктир уже после четвёртого-пятого шага.

При $|q| \geq 1$ формулой пользоваться нельзя: общий член не стремится к нулю, ряд расходится, и суммы у него нет. Отрицательное $q$ разрешено - тогда столбики чередуют знак, а частичные суммы подходят к пределу с двух сторон.

Сумма через известное разложение

Третий рабочий приём - свести ряд к уже известному разложению. Опорная формула та же геометрическая: $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \dfrac{1}{1-x}$ при $|x| < 1$. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать, и это превращает одну известную сумму в семейство новых.

Продифференцируем обе части: $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \dfrac{1}{(1-x)^2}$. Умножим на $x$:

$$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n} = \frac{x}{(1-x)^2}.$$

Теперь пример «сумма ряда $n/2^n$» решается подстановкой $x = \dfrac{1}{2}$:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n} = \frac{1/2}{(1/2)^2} = 2.$$

Тем же способом из разложений $e^x$, $\ln(1+x)$ и $\arctg x$ получают суммы вроде $\sum \dfrac{1}{n!} = e - 1$ или $\sum \dfrac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$. Схема одна: узнать в ряде знакомое разложение, подставить конкретное значение аргумента и проверить, что оно лежит внутри интервала сходимости. На границе интервала формула часто ещё верна, но обосновывать это приходится отдельно, теоремой Абеля, а не подстановкой.

Частые ошибки

• Найдена сходимость вместо суммы. Признак Даламбера или предельный признак сравнения доказывают только существование предела. Если в ответе стоит «ряд сходится», задача не решена.
• Потерян множитель при разложении. Из $\dfrac{1}{n(n+2)}$ получается $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+2}\right)$, а не $\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+2}$. Забытая одна вторая удваивает ответ.
• Неверно посчитан хвост. При сдвиге на $k$ остаются ровно $k$ первых и $k$ последних дробей. При $k = 2$ уцелевают $1$ и $\dfrac{1}{2}$, а не одна единица - типовая потеря $\dfrac{1}{4}$ в ответе.
• Формула суммы применена при $|q| \geq 1$. Выражение $\dfrac{b_1}{1-q}$ даёт число и при $q = 2$, но это число не имеет смысла: ряд расходится.
• Перепутана нумерация в геометрическом ряде. Для $\sum_{n=1}^{\infty} b_1 q^{n-1}$ первый член равен $b_1$, а для $\sum_{n=1}^{\infty} b_1 q^{n}$ он уже равен $b_1 q$, и сумма отличается множителем $q$.
• Предел взят по $n$ вместо $N$. В $S_N$ индекс суммирования $n$ уже «съеден» суммой, к бесконечности устремляется только верхний предел $N$.

FAQ

Чем сумма ряда отличается от суммы прогрессии? Сумма прогрессии - это конечная сумма $N$ слагаемых, она считается по формуле для любого $q$. Сумма ряда - предел этих конечных сумм при $N \to \infty$, и он существует не всегда. Формула $\dfrac{b_1}{1-q}$ и есть результат предельного перехода в формуле для $S_N$.

Как понять, что ряд телескопируется? Верный признак - дробь, знаменатель которой раскладывается на множители, отличающиеся сдвигом номера: $n(n+2)$, $(2n-1)(2n+1)$, $(n+1)(n+3)$. Разложение на простейшие дроби превращает такую дробь в разность двух подобных слагаемых, и сумма сворачивается. Приём тот же, что при интегрировании рациональных дробей в задаче про определённый интеграл.

Что делать, если сумма не выражается в замкнутом виде? Большинство сходящихся рядов точной суммы в элементарных функциях не имеет. Тогда в ответе оставляют оценку: считают частичную сумму $S_N$ и оценивают остаток $R_N$. Для знакочередующегося ряда по признаку Лейбница остаток не превосходит первого отброшенного члена - этого хватает, чтобы гарантировать нужную точность.

Почему гармонический ряд расходится, если его члены стремятся к нулю? Стремление общего члена к нулю - условие необходимое, но не достаточное. Частичные суммы гармонического ряда растут как $\ln N$: медленно, но неограниченно, поэтому предела у них нет и суммы у ряда тоже нет.

Коротко

1. Проверить сходимость: у расходящегося ряда суммы не существует, предельный переход был бы незаконен.
2. Свести общий член к разности соседних слагаемых - обычно разложением на простейшие дроби.
3. Выписать частичную сумму $S_N$ в замкнутом виде: после сокращений остаются только края.
4. Взять предел $S_N$ при $N \to \infty$ и записать ответ; для геометрического ряда предел уже известен и равен $\dfrac{b_1}{1-q}$ при $|q| < 1$.
5. Для ряда $\dfrac{1}{n(n+2)}$ получается $S_N = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{N+1} + \dfrac{1}{N+2}\right)$ и $S = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$; контрольная точка $S_{10} \approx 0{,}6629$.