Почленное дифференцирование степенного ряда: теорема

Степенной ряд $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ внутри своего интервала сходимости ведёт себя почти как обычный многочлен: его можно дифференцировать слагаемое за слагаемым. Это и есть почленное дифференцирование степенного ряда: производную суммы ищут не как предел сложного выражения, а просто продифференцировав каждый член по отдельности и снова собрав ряд. Приём кажется наивным, но он строго обоснован и постоянно используется, чтобы выводить новые разложения и находить суммы рядов в замкнутом виде. Ниже разберём, когда это законно, почему радиус сходимости при этом не меняется и как с помощью почленного дифференцирования вычислять суммы. Чтобы сразу увидеть, как частичная сумма ряда и частичная сумма его почленной производной сходятся одновременно, покрутите калькулятор ниже: он показывает оба ряда рядом и их отклонение от точных значений.

Что такое почленное дифференцирование

Пусть дан степенной ряд с центром в нуле:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots$

Почленно продифференцировать его означает применить правило $\frac{d}{dx}(a_n x^n) = n\,a_n x^{n-1}$ к каждому слагаемому и сложить результаты:

$f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n\,a_n x^{n-1} = a_1 + 2 a_2 x + 3 a_3 x^2 + \dots$

Слагаемое $a_0$ исчезает (производная константы равна нулю), а у остальных степень понижается на единицу, и появляется множитель $n$. Именно поэтому суммирование в производном ряде начинается с $n = 1$, а не с $n = 0$. Никакой новой математики тут нет: каждый отдельный член дифференцируется по школьному правилу степенной функции. Вопрос только в том, имеет ли право бесконечная сумма дифференцироваться так же, как конечная, и при каких условиях ряд из производных $\sum n\,a_n x^{n-1}$ действительно сходится именно к $f'(x)$.

Теорема о почленном дифференцировании

Главный результат формулируется так. Если степенной ряд $\sum a_n x^n$ имеет радиус сходимости $R > 0$, то его сумма $f(x)$ дифференцируема в каждой точке интервала $(-R, R)$, и её производная равна сумме почленно продифференцированного ряда:

$f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n\,a_n x^{n-1}, \qquad |x| < R.$

Более того, продифференцированный ряд имеет тот же радиус сходимости $R$, что и исходный. Это значит, что внутри интервала сходимости степенной ряд можно дифференцировать сколько угодно раз, каждый раз получая новый степенной ряд с тем же $R$. Поэтому сумма степенного ряда внутри интервала сходимости бесконечно дифференцируема, и её производные снова раскладываются в степенные ряды. Ключевой механизм, который делает теорему верной, это равномерная сходимость: на любом замкнутом отрезке $[-r, r]$ строго внутри интервала (то есть $r < R$) ряд из производных сходится равномерно, а равномерно сходящийся ряд непрерывных функций можно дифференцировать почленно.

Рассчитать для своей задачи

Обратите внимание, что граница интервала, точки $x = \pm R$, теорема не охватывает. На самих концах поведение исходного и производного рядов может различаться: ряд иногда сходится в концевой точке, а его производная там уже расходится. Поэтому говорят именно про открытый интервал $(-R, R)$, а вопрос о сходимости на концах решают отдельно для каждого ряда.

Почему радиус сходимости не меняется

Интуитивно кажется, что умножение каждого члена на растущий множитель $n$ должно ухудшать сходимость, ведь слагаемые становятся больше. На деле этого не происходит, и причина в том, как считается радиус. По формуле Коши-Адамара радиус сходимости определяется через корень $n$-й степени из модуля коэффициента:

$\frac{1}{R} = \varlimsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}.$

У продифференцированного ряда коэффициент при $x^{n-1}$ равен $n\,a_n$. Но множитель $n$ под корнем $n$-й степени стремится к единице: $\sqrt[n]{n} \to 1$. Поэтому верхний предел корня не меняется, и радиус остаётся прежним. Грубо говоря, линейный рост коэффициента слишком слаб, чтобы сдвинуть границу сходимости, которую задаёт экспоненциальная скорость убывания $|a_n|$.

Рассчитать для своей задачи

На картинке выше показан самый наглядный пример: геометрический ряд $\sum x^n$ и его почленная производная $\sum n\,x^{n-1}$. Оба ряда сходятся ровно на интервале $(-1, 1)$, то есть имеют одинаковый радиус $R = 1$. Внутри интервала кривые конечны и гладки, а на подходе к границе $x = 1$ обе уходят в бесконечность, что и отражает совпадение радиусов сходимости.

Как находить суммы рядов через дифференцирование

Самое полезное применение теоремы это вычисление сумм рядов, которые напрямую посчитать трудно. Идея в том, чтобы узнать ряд как производную уже известной суммы. Отправная точка почти всегда геометрическая прогрессия:

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n, \qquad |x| < 1.$

Продифференцируем обе части почленно. Слева производная даёт $\frac{1}{(1-x)^2}$, справа каждый член $x^n$ превращается в $n\,x^{n-1}$:

$\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=1}^{\infty} n\,x^{n-1}, \qquad |x| < 1.$

Мы получили замкнутую формулу для суммы ряда $\sum n\,x^{n-1}$, который сам по себе выглядел бы устрашающе. Теперь любую числовую сумму такого вида можно найти подстановкой конкретного $x$. Например, чтобы вычислить $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$, представим её через производный ряд: умножив равенство выше на $x$, получаем $\sum_{n=1}^{\infty} n\,x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$, а при $x = \tfrac12$ это даёт ровно $\frac{1/2}{(1/2)^2} = 2$. Подставьте этот же ряд и точку в калькулятор сверху: частичная сумма быстро подбирается к двойке, подтверждая ответ численно.

Логарифм и арктангенс как примеры

Тем же приёмом получают и обратное действие, но через дифференцирование удобно проверять уже готовые разложения. Возьмём ряд логарифма:

$-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}, \qquad |x| < 1.$

Продифференцируем его почленно: у члена $\frac{x^n}{n}$ производная равна $\frac{n x^{n-1}}{n} = x^{n-1}$, и весь ряд превращается в геометрический:

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1} = \sum_{m=0}^{\infty} x^m.$

Это согласуется с известной суммой геометрической прогрессии, что и служит проверкой исходного разложения. В калькуляторе можно выбрать ряд логарифма и убедиться, что почленная производная действительно ложится на кривую $\frac{1}{1-x}$. Точно так же дифференцирование ряда $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ для экспоненты возвращает тот же самый ряд, ведь $\frac{n x^{n-1}}{n!} = \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$, и это наглядно показывает, почему $e^x$ совпадает со своей производной. Все эти разложения тесно связаны с теоремой Тейлора и остаточным членом в форме Лагранжа, задающими коэффициенты степенного ряда.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную формулировку. Дан ряд $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$. Требуется продифференцировать его почленно, найти сумму полученного ряда и указать интервал сходимости.

Сначала выписываем исходный ряд и его сумму. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $x$, она сходится при $|x| < 1$ и даёт

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}, \qquad |x| < 1.$

Теперь дифференцируем почленно. Член $x^n$ при $n \ge 1$ даёт $n\,x^{n-1}$, член $x^0 = 1$ исчезает:

$f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n\,x^{n-1}.$

Сумму этого ряда находим, дифференцируя замкнутую форму $f(x) = \frac{1}{1-x}$:

$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right) = \frac{1}{(1-x)^2}.$

Радиус сходимости при дифференцировании сохраняется, поэтому продифференцированный ряд сходится на том же интервале $|x| < 1$. Проверим численно в точке $x = \tfrac12$. Точное значение производной равно $\frac{1}{(1 - 1/2)^2} = 4$, а частичная сумма $\sum_{n=1}^{8} n\,(1/2)^{n-1} \approx 3{,}92$ уже близка к четвёрке и продолжает к ней подбираться при росте числа слагаемых. Именно эту цепочку рассуждений калькулятор выше выстраивает автоматически, оставляя вам контроль над формулами.

Частые ошибки

• Дифференцирование за пределами интервала сходимости. Теорема работает только внутри $(-R, R)$. Подставлять $x$ с $|x| \ge R$ в продифференцированный ряд бессмысленно: там он расходится.
• Сохранение нижнего индекса суммирования. При дифференцировании член $a_0$ обнуляется, поэтому суммирование в $f'(x)$ начинается с $n = 1$. Оставлять $n = 0$ это типичная ошибка, ведущая к лишнему нулевому слагаемому или к путанице в индексах.
• Уверенность, что радиус уменьшается. Множитель $n$ кажется опасным, но из-за $\sqrt[n]{n} \to 1$ радиус сходимости не меняется. Пересчитывать его заново после дифференцирования не нужно.
• Перенос вывода на концы интервала. Сходимость в точках $x = \pm R$ теорема не гарантирует. Поведение ряда и его производной на концах исследуют отдельно.
• Сдвиг индекса без замены переменной. Переписывая $\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$ в виде $\sum_{m=0}^{\infty} (m+1) a_{m+1} x^{m}$, легко ошибиться в коэффициенте. Замену $m = n - 1$ стоит делать аккуратно и проверять на первом слагаемом.

FAQ

Меняется ли радиус сходимости при почленном дифференцировании степенного ряда? Нет, радиус сходимости остаётся прежним. По формуле Коши-Адамара он определяется верхним пределом $\sqrt[n]{|a_n|}$, а добавочный множитель $n$ под корнем $n$-й степени стремится к единице ($\sqrt[n]{n} \to 1$) и предел не сдвигает. Поэтому исходный и продифференцированный ряды сходятся на одном интервале.

Можно ли дифференцировать степенной ряд бесконечно много раз? Да, внутри интервала сходимости. Каждое почленное дифференцирование даёт новый степенной ряд с тем же радиусом, поэтому сумму ряда можно дифференцировать сколько угодно раз. Отсюда следует, что сумма степенного ряда внутри интервала сходимости бесконечно гладкая функция.

Зачем нужна равномерная сходимость в этой теореме? Равномерная сходимость на отрезках строго внутри интервала это условие, при котором законно менять местами знак суммы и операцию дифференцирования. Именно она гарантирует, что предел производных частичных сумм совпадает с производной суммы ряда, а не просто похож на неё.

Коротко

Почленное дифференцирование степенного ряда означает, что внутри интервала сходимости производную суммы $f(x) = \sum a_n x^n$ можно искать слагаемое за слагаемым: $f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n\,a_n x^{n-1}$. Продифференцированный ряд имеет тот же радиус сходимости $R$, поэтому сумма ряда внутри $(-R, R)$ бесконечно дифференцируема. Главное практическое применение приёма это вычисление сумм рядов: отталкиваясь от геометрической прогрессии $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$, дифференцированием получают замкнутые формулы вроде $\frac{1}{(1-x)^2} = \sum n\,x^{n-1}$ и через них находят значения числовых рядов.