Как разложить в ряд Лорана: пошаговое решение

Дано: функция $f(z) = \dfrac{1}{(z-1)(z-2)}$ и кольцо $1 < |z| < 2$ с центром в нуле. Найти: разложение в ряд Лорана в этом кольце, его главную и правильную части, коэффициент $c_{-1}$.

Приём одинаков для любой дробно-рациональной функции: разбить дробь на простейшие и каждое слагаемое свернуть в геометрическую прогрессию, подобрав знаменатель прогрессии так, чтобы его модуль в этом кольце был меньше единицы. Ответ:

$$f(z) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{z^n} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{2^{n+1}},$$

главная часть равна $-\dfrac{1}{z} - \dfrac{1}{z^2} - \dfrac{1}{z^3} - \dots$, правильная равна $-\dfrac{1}{2} - \dfrac{z}{4} - \dfrac{z^2}{8} - \dots$, а коэффициент $c_{-1} = -1$.

Калькулятор сверху рисует коэффициенты $c_n$ столбиками: слева от нуля главная часть, справа правильная. Переключи кольцо чипами, и увидишь то, ради чего вообще существует ряд Лорана: функция та же, центр тот же, а столбики другие.

Решение по шагам

Шаг 1. Находим особые точки и проверяем, что кольцо законно. Знаменатель обращается в ноль при $z = 1$ и $z = 2$, числитель там не обнуляется, каждый множитель стоит в первой степени, значит обе точки - простые полюсы. Относительно центра $z_0 = 0$ модули полюсов равны 1 и 2, поэтому плоскость распадается на три области, в каждой из которых функция голоморфна: круг $|z| < 1$, кольцо $1 < |z| < 2$ и внешность $|z| > 2$.

Наше кольцо - среднее из трёх. Его внутренняя граница проходит ровно через полюс $z = 1$, внешняя - через полюс $z = 2$, а внутри самого кольца особых точек нет ни одной. Это и есть условие теоремы Лорана: ряд по целым степеням существует в любом кольце с центром в $z_0$, свободном от особых точек. Границы кольца всегда упираются в особые точки, иначе кольцо можно было бы расширить.

Шаг 2. Разбиваем дробь на простейшие. Ищем представление вида

$$\frac{1}{(z-1)(z-2)} = \frac{A}{z-1} + \frac{B}{z-2}.$$

Приводим к общему знаменателю: $A(z-2) + B(z-1) = 1$. Подставляем $z = 1$, получаем $-A = 1$, то есть $A = -1$. Подставляем $z = 2$, получаем $B = 1$. Значит

$$f(z) = \frac{1}{z-2} - \frac{1}{z-1}.$$

Быстрая проверка в точке $z = 0$: справа выходит $-\tfrac{1}{2} + 1 = \tfrac{1}{2}$, слева $\tfrac{1}{(-1)(-2)} = \tfrac{1}{2}$. Сходится.

Шаг 3. Первое слагаемое раскладываем по положительным степеням. В нашем кольце $|z| < 2$, поэтому $\left|\dfrac{z}{2}\right| < 1$, и дробь $\dfrac{1}{z-2}$ можно свернуть в прогрессию по степеням $z/2$. Выносим из знаменателя множитель $-2$:

$$\frac{1}{z-2} = \frac{1}{-2\left(1 - \frac{z}{2}\right)} = -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{z}{2}\right)^{n} = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{2^{n+1}}.$$

Это правильная часть будущего ряда: $-\tfrac{1}{2} - \tfrac{z}{4} - \tfrac{z^2}{8} - \tfrac{z^3}{16} - \dots$

Шаг 4. Второе слагаемое раскладываем по отрицательным степеням. Здесь всё зеркально: в кольце $|z| > 1$, поэтому $\left|\dfrac{1}{z}\right| < 1$, и разворачивать прогрессию надо по степеням $1/z$. Выносим из знаменателя не единицу, а сам $z$:

$$-\frac{1}{z-1} = -\frac{1}{z\left(1 - \frac{1}{z}\right)} = -\frac{1}{z} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{z^{n}} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{z^{n}}.$$

Это главная часть: $-\tfrac{1}{z} - \tfrac{1}{z^2} - \tfrac{1}{z^3} - \dots$ Обрати внимание, что обе прогрессии законны одновременно только в кольце: в круге $|z| < 1$ вторая расходится, во внешности $|z| > 2$ расходится первая.

Шаг 5. Собираем ряд и читаем коэффициенты. Складываем результаты двух предыдущих шагов:

$$f(z) = \dots - \frac{1}{z^3} - \frac{1}{z^2} - \frac{1}{z} - \frac{1}{2} - \frac{z}{4} - \frac{z^2}{8} - \dots$$

Отсюда коэффициенты выписываются прямо: $c_{-n} = -1$ при всех $n \ge 1$ и $c_{n} = -\dfrac{1}{2^{n+1}}$ при всех $n \ge 0$. Интересующий нас коэффициент при минус первой степени равен $c_{-1} = -1$.

Шаг 6. Проверяем числом. Возьмём точку внутри кольца, например $z = 1{,}5$. Точное значение: $f(1{,}5) = \dfrac{1}{0{,}5 \cdot (-0{,}5)} = -4$. Правильная часть даёт сумму геометрической прогрессии $-\tfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{1 - 0{,}75} = -2$, главная часть даёт $-\dfrac{2/3}{1 - 2/3} = -2$. В сумме ровно $-4$: разложение верное.

Ответ. $f(z) = -\sum\limits_{n=1}^{\infty} z^{-n} - \sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{z^{n}}{2^{n+1}}$ при $1 < |z| < 2$; главная часть бесконечна, $c_{-1} = -1$.

Формула ряда Лорана и откуда берутся коэффициенты

Ряд Лорана - это ряд по всем целым степеням, а не только по неотрицательным:

$$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - z_0)^n, \qquad c_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}}\, d\zeta,$$

где $\gamma$ - любая окружность с центром $z_0$, целиком лежащая в кольце. Сумма по $n < 0$ называется главной частью, сумма по $n \ge 0$ - правильной. Правильная часть ведёт себя как обычный степенной ряд и сходится внутри внешней границы; главная часть сходится снаружи внутренней. Их общая область и есть кольцо.

Интегральную формулу для коэффициентов на практике почти никогда не применяют: считать контурный интеграл ради одного числа дороже, чем развернуть прогрессию. Работает она в обратную сторону - ряд ищут алгебраически, а формулу используют, чтобы через готовый коэффициент вычислить интеграл. Позволяет так делать теорема о единственности: в фиксированном кольце разложение по целым степеням единственно, поэтому любой законный путь к ряду даёт одни и те же $c_n$. Можно раскладывать на простейшие дроби, можно подставлять готовые разложения экспоненты и синуса, можно делить ряды столбиком - результат совпадёт.

По главной части определяют характер изолированной особой точки, но только если кольцо - это проколотая окрестность самой точки, то есть $0 < |z - a| < R$. Главной части нет - точка устранимая; в ней конечное число членов и старший равен $m$ - полюс порядка $m$; членов бесконечно много - существенно особая точка. К нашему кольцу этот признак неприменим: центр $z_0 = 0$ вообще не особая точка, функция в нуле голоморфна, а бесконечная главная часть появилась лишь потому, что кольцо не примыкает к центру.

Почему у одной функции три разных ряда

Та же самая $f(z)$ с тем же центром $z_0 = 0$ раскладывается тремя разными способами - по одному на каждую область голоморфности. Разложения получаются одним и тем же приёмом, меняется только то, какой множитель выносится из скобки:

В круге $|z| < 1$ оба полюса лежат снаружи, обе дроби разворачиваются по положительным степеням, и получается обычный ряд Тейлора: $\tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{4}z + \tfrac{7}{8}z^2 + \dots$ Во внешности $|z| > 2$ оба полюса внутри, обе дроби разворачиваются по степеням $1/z$, и весь ряд состоит из отрицательных степеней: $\tfrac{1}{z^2} + \tfrac{3}{z^3} + \tfrac{7}{z^4} + \dots$

Поэтому фраза «разложить функцию в ряд Лорана» без указания кольца бессмысленна - это три разные задачи с тремя разными ответами. В условии всегда стоит либо явное кольцо, либо точка, в окрестности которой раскладывают; второе означает кольцо $0 < |z - a| < R$, где $R$ - расстояние до ближайшей другой особой точки.

Коэффициент при минус первой степени и вычет

Подставим $n = -1$ в интегральную формулу коэффициентов: показатель $n + 1$ обнуляется, и остаётся

$$c_{-1} = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} f(\zeta)\, d\zeta \qquad \Longleftrightarrow \qquad \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i\, c_{-1}.$$

Только один коэффициент ряда, минус первый, выживает при интегрировании: все остальные степени дают ноль по замкнутому контуру. Для нашего кольца берём окружность $|z| = 1{,}5$ и сразу получаем $\oint f\,dz = 2\pi i \cdot (-1) = -2\pi i$.

Сверим с теоремой о вычетах. Внутри окружности $|z| = 1{,}5$ лежит единственный полюс $z = 1$, его вычет равен $\lim_{z \to 1}(z-1)f(z) = \tfrac{1}{1-2} = -1$, откуда тот же ответ $-2\pi i$. Подробный разбор такого интеграла с несколькими полюсами есть в задаче как вычислить интеграл по контуру, а формулировка и условия - в статье про теорему о вычетах.

Здесь важно не смешивать два разных числа. Вычет в точке $a$ - это коэффициент $c_{-1}$ ряда Лорана в проколотой окрестности именно этой точки. Наш $c_{-1} = -1$ построен вокруг нуля, где функция голоморфна, и вычетом в нуле не является: он равен сумме вычетов во всех особых точках, попавших внутрь внутренней границы кольца. Проверить легко на третьей строке таблицы: во внешности $|z| > 2$ внутрь попадают оба полюса, их вычеты $-1$ и $+1$ гасят друг друга, и $c_{-1}$ честно равен нулю.

Частые ошибки

• Обе дроби разложены по положительным степеням. Самая частая ошибка: человек механически применяет формулу геометрической прогрессии к каждому слагаемому и получает ряд Тейлора вместо ряда Лорана. Для полюса, лежащего внутри внутренней границы, выносить надо $z$, а не константу.
• Не проверена сходимость прогрессии в этом кольце. Формула $\frac{1}{1-q} = \sum q^n$ верна лишь при $|q| < 1$. После каждого разворота стоит выписать своё $q$ и убедиться, что в заданном кольце его модуль меньше единицы.
• Потерян знак при вынесении множителя. В $\frac{1}{z-2}$ выносится $-2$, а не $2$, и минус остаётся перед всей суммой. Проверка одной подстановкой в свободный член ловит это за секунду.
• Главная часть кольца принята за главную часть в окрестности точки. Отсюда вывод «в нуле существенно особая точка», хотя функция в нуле голоморфна. Признак типа особой точки работает только для кольца $0 < |z - a| < R$.
• Коэффициент $c_{-1}$ объявлен вычетом в центре кольца. Он равен сумме вычетов внутри внутренней границы, и совпадает с вычетом в точке лишь когда внутренний радиус равен нулю.
• Ответ дан без указания кольца. Ряд Лорана без области сходимости - это не ответ: у одной функции их столько, сколько колец.

FAQ

Чем ряд Лорана отличается от ряда Тейлора? Ряд Тейлора содержит только неотрицательные степени и сходится в круге, а ряд Лорана допускает и отрицательные и сходится в кольце. Ряд Тейлора - частный случай ряда Лорана с пустой главной частью; техника вычисления производных из задачи как разложить в ряд Тейлора для правильной части работает без изменений.

Обязательно ли считать коэффициенты через интеграл? Нет, и почти никогда так не делают. Разложение в данном кольце единственно, поэтому достаточно любым способом получить ряд по целым степеням - алгеброй, готовыми разложениями, делением рядов, - и его коэффициенты и будут искомыми.

Как раскладывать, если центр не в нуле? Сначала заменой $t = z - z_0$ переносим центр в начало координат, раскладываем по степеням $t$, затем возвращаем $z - z_0$. Для нашей функции в кольце $0 < |z-1| < 1$ так получается ряд с одним членом главной части, то есть простой полюс.

Что делать, если функция не дробная? Подставлять готовые разложения. Для $e^{1/z}$ берём ряд экспоненты и заменяем аргумент на $1/z$, для $\sin\frac{1}{z}$ - ряд синуса. Главная часть выходит бесконечной, а вычет читается как коэффициент при $z^{-1}$.

Коротко

1. Найди особые точки, посчитай их модули относительно центра и убедись, что заданное кольцо свободно от них.
2. Разбей дробь на простейшие: $f(z) = \dfrac{1}{z-2} - \dfrac{1}{z-1}$.
3. Каждое слагаемое сверни в геометрическую прогрессию так, чтобы её знаменатель был по модулю меньше единицы в этом кольце: полюс внутри внутренней границы даёт степени $1/z$, полюс снаружи внешней - степени $z$.
4. Сложи результаты, выпиши главную часть (отрицательные степени) и правильную (неотрицательные).
5. Ответ задачи: $f(z) = -\sum_{n \ge 1} z^{-n} - \sum_{n \ge 0} \dfrac{z^n}{2^{n+1}}$, $c_{-1} = -1$, а значит $\oint_{|z|=1{,}5} f\,dz = -2\pi i$.