Теорема о вычетах: формула и вычисление интегралов

Теорема о вычетах превращает вычисление интеграла по замкнутому контуру в простое сложение конечного набора чисел: сколько бы петель ни выписывал контур, значение интеграла зависит только от особых точек, оказавшихся внутри него, и от чисел, приписанных этим точкам. Это одно из самых практичных утверждений комплексного анализа: через него берутся несобственные вещественные интегралы, которые не поддаются ни одной подстановке, и интегралы от рациональных функций синуса и косинуса. Ниже разберём формулировку, формулу вычета в полюсе порядка $m$, полный расчёт контурного интеграла и две классические схемы сведения вещественного интеграла к комплексному. Начните с калькулятора: подвигайте контур и посмотрите, как значение интеграла скачком меняется ровно в тот момент, когда очередной полюс проскальзывает внутрь.

Что утверждает теорема о вычетах

Пусть функция $f(z)$ аналитична в области $D$ всюду, кроме конечного числа изолированных особых точек $a_1, a_2, \dots, a_n$, а $\gamma$ - замкнутый кусочно-гладкий контур, лежащий в $D$, не проходящий ни через одну особую точку и обходимый против часовой стрелки. Если все точки $a_k$ лежат внутри $\gamma$, то

$\oint_{\gamma} f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{n} \operatorname*{Res}_{z=a_k} f(z).$

Три слова в формулировке делают всю работу. «Изолированных» - особые точки не должны сливаться в линию или накапливаться. «Внутри» - точки снаружи контура не дают никакого вклада, как бы близко они ни находились. «Против часовой стрелки» - при обратном обходе у всей суммы меняется знак.

Рассчитать для своей задачи

Обратите внимание на правый график: между скачками значение интеграла постоянно. Можно как угодно растягивать и изгибать контур - пока он не пересёк ни одной особой точки, интеграл не меняется. Это прямое следствие интегральной теоремы Коши: в области без особых точек интеграл по замкнутому пути равен нулю, а значит, два контура с одинаковым набором внутренних точек дают одинаковый результат. По той же причине деформация пути безопасна и для вещественных криволинейных интегралов - там это называется независимостью интеграла от пути.

Контур при этом не обязан быть окружностью и не обязан охватывать сразу все особые точки функции: теорема работает для любого простого замкнутого пути, а в сумму входят ровно те точки, которые он обошёл. Если область многосвязна и внутри контура есть «дырки» с особыми точками, конструкция тоже сохраняется: внешний контур разрезают перемычками на систему малых окружностей вокруг каждой особой точки, и интеграл распадается на сумму независимых вкладов. Именно поэтому в ответе стоит сумма, а не одно слагаемое.

Что такое вычет и откуда берётся множитель 2πi

Вычетом функции $f$ в изолированной особой точке $a$ называют коэффициент $c_{-1}$ при $(z-a)^{-1}$ в разложении $f$ в ряд Лорана в проколотой окрестности этой точки:

$f(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k (z-a)^k, \qquad \operatorname*{Res}_{z=a} f(z) = c_{-1}.$

Почему из всего ряда выживает ровно один коэффициент, видно из прямого счёта. Возьмём маленькую окружность $|z-a| = \rho$ и подставим $z = a + \rho e^{i\theta}$:

$\oint_{|z-a|=\rho} (z-a)^k\,dz = i\rho^{\,k+1}\int_0^{2\pi} e^{i(k+1)\theta}\,d\theta = \begin{cases} 2\pi i, & k = -1,\\[2pt] 0, & k \neq -1. \end{cases}$

Интегрируя ряд Лорана почленно, мы обнуляем все степени, кроме минус первой, а она даёт $2\pi i\,c_{-1}$. Отсюда и множитель $2\pi i$ в теореме о вычетах: это не подгоночная константа, а длина полного оборота по окружности в комплексной записи.

Как найти вычет в полюсе порядка m

Раскладывать в ряд Лорана каждый раз не нужно: для полюса есть готовая формула. Если $a$ - полюс порядка $m$, то

$\operatorname*{Res}_{z=a} f(z) = \frac{1}{(m-1)!}\,\lim_{z\to a} \frac{d^{\,m-1}}{dz^{\,m-1}}\Big[(z-a)^m f(z)\Big].$

Смысл прост: умножение на $(z-a)^m$ убирает всю главную часть ряда, превращая функцию в аналитическую, а дифференцирование $m-1$ раз вытаскивает нужный коэффициент. Два частных случая стоит помнить наизусть. Для простого полюса ($m=1$) формула сводится к $\operatorname{Res} f(a) = \lim_{z\to a}(z-a)f(z)$, а если $f = P/Q$, где $Q$ имеет в точке $a$ простой нуль, то ещё короче: $\operatorname{Res} f(a) = P(a)/Q'(a)$.

Рассчитать для своей задачи

Оба пути обязаны приводить к одному числу, и это удобная самопроверка. Важное ограничение: формула работает только для полюса. В существенно особой точке производных брать нельзя, там остаётся единственный способ - выписать ряд и найти нужный коэффициент; отдельно этот случай разобран в материале про вычет в существенно особой точке.

Пример: контурный интеграл по окружности

Посчитаем $\oint_{\gamma} \dfrac{z\,dz}{(z-1)^2(z+2)}$ для двух разных контуров. Особых точек две: полюс второго порядка $z=1$ и простой полюс $z=-2$.

$\operatorname*{Res}_{z=1} f = \lim_{z\to 1}\frac{d}{dz}\left[\frac{z}{z+2}\right] = \lim_{z\to 1}\frac{2}{(z+2)^2} = \frac{2}{9}, \qquad \operatorname*{Res}_{z=-2} f = \frac{z}{(z-1)^2}\bigg|_{z=-2} = -\frac{2}{9}.$

Если $\gamma$ - окружность $|z| = 3/2$, внутрь попадает только точка $z=1$, и ответ равен

$\oint_{|z|=3/2} f(z)\,dz = 2\pi i \cdot \frac{2}{9} = \frac{4\pi i}{9} \approx 1{,}3963\,i.$

Порядок действий здесь один и тот же для любой задачи такого типа. Сначала выписывают все особые точки: для дроби это нули знаменателя, включая кратные. Затем у каждой определяют тип и порядок, потому что от порядка зависит формула вычета. Дальше проверяют положение каждой точки относительно контура и отбирают только внутренние, попутно убеждаясь, что ни одна особая точка не легла на сам контур: в этом случае интеграл просто не определён. И лишь после этого считают вычеты и умножают их сумму на $2\pi i$. Пропуск третьего шага - самая частая причина неверного ответа в контрольных.

Если же взять $|z| = 3$, внутри окажутся обе точки, их вычеты взаимно уничтожатся и интеграл станет нулевым. Нуль здесь не случайность: когда степень знаменателя превышает степень числителя хотя бы на два, сумма всех вычетов рациональной функции равна нулю. Именно этот пример стоит по умолчанию в калькуляторе выше, так что числа можно сверить глазами.

Вещественные интегралы: как замкнуть контур

Главное практическое применение теоремы - интегралы по вещественной оси, которые не берутся в элементарных функциях. Схема такая: интеграл по отрезку $[-R, R]$ достраивают до замкнутого контура полуокружностью $C_R$ в верхней полуплоскости, считают замкнутый интеграл через вычеты и показывают, что вклад дуги стремится к нулю.

Рассчитать для своей задачи

Возьмём $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(1+x^2)^2}$. Внутри контура лежит единственная особая точка $z=i$, полюс второго порядка, и

$\operatorname*{Res}_{z=i} \frac{1}{(z^2+1)^2} = \lim_{z\to i}\frac{d}{dz}\left[\frac{1}{(z+i)^2}\right] = \frac{-2}{(2i)^3} = -\frac{i}{4}, \qquad \oint = 2\pi i\left(-\frac{i}{4}\right) = \frac{\pi}{2}.$

Дугу отбрасывают не на глаз, а по оценке: на $C_R$ выполнено $|f| \le (R^2-1)^{-2}$, длина дуги равна $\pi R$, поэтому модуль интеграла по дуге не превосходит $\pi R (R^2-1)^{-2}$ и стремится к нулю. В итоге $\int_{-\infty}^{\infty} dx/(1+x^2)^2 = \pi/2 \approx 1{,}5708$. Для функций вида $f(z)e^{i\lambda z}$ с $\lambda > 0$ оценку заменяет лемма Жордана: достаточно, чтобы $\max_{|z|=R}|f| \to 0$, и вклад дуги исчезает сам. Так получается, например, $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x}{x^2+1}\,dx = \pi/e \approx 1{,}1557$. Проверять сходимость самого вещественного интеграла всё равно нужно отдельно, по обычным признакам для несобственных интегралов первого рода.

Тригонометрические интегралы: замена z = exp(iθ)

Вторая типовая схема работает с интегралами от рациональных функций синуса и косинуса по полному обороту. Замена $z = e^{i\theta}$ переводит отрезок $[0, 2\pi]$ в единичную окружность, а тригонометрию - в алгебру:

$\cos\theta = \frac{z + z^{-1}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{z - z^{-1}}{2i}, \qquad d\theta = \frac{dz}{iz}.$

Для $\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{a + \cos\theta}$ при $a > 1$ подстановка даёт контурный интеграл $\oint_{|z|=1} \frac{2\,dz}{i(z^2 + 2az + 1)}$. Корни знаменателя $z_{\pm} = -a \pm \sqrt{a^2-1}$ связаны соотношением $z_+ z_- = 1$, поэтому ровно один из них лежит внутри единичной окружности.

Рассчитать для своей задачи

Вычет в простом полюсе $z_+$ равен $\dfrac{2}{i(z_+ - z_-)} = \dfrac{1}{i\sqrt{a^2-1}}$, откуда

$\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{a+\cos\theta} = 2\pi i \cdot \frac{1}{i\sqrt{a^2-1}} = \frac{2\pi}{\sqrt{a^2-1}}.$

При $a = 2$ получаем $2\pi/\sqrt{3} \approx 3{,}6276$. Точно так же берутся интегралы с синусом в знаменателе и с многочленами от $\cos\theta$ и $\sin\theta$ в числителе: после подстановки любое такое выражение становится рациональной функцией от $z$, и задача сводится к поиску корней знаменателя и отбору тех, чей модуль меньше единицы. Для интеграла по половине оборота приём применяют после того, как подынтегральную функцию продолжат на весь период по чётности. Тот же приём работает для рядов и интегралов с периодическими функциями, где естественной переменной оказывается точка на окружности, как в комплексной форме ряда Фурье.

Частые ошибки

• Складывают вычеты во всех особых точках подряд. В сумму идут только точки внутри контура. Проверка положения точки относительно контура - отдельный обязательный шаг решения, а не формальность.
• Теряют направление обхода. Формула записана для обхода против часовой стрелки. При обходе по часовой стрелке ответ меняет знак, а при $n$-кратном обходе умножается на $n$.
• Применяют формулу с производной к существенно особой точке. Там нет конечного порядка $m$, и предел просто не существует. Единственный путь - разложение в ряд Лорана.
• Ошибаются с порядком полюса. Если числитель обращается в нуль в той же точке, порядок падает: у функции $\dfrac{z-1}{(z-1)^3}$ в точке $z=1$ полюс второго, а не третьего порядка, и лишнее дифференцирование даст неверный вычет.
• Отбрасывают дугу без оценки. Вклад полуокружности исчезает не всегда: у функции $e^{iz}/(z^2+1)$ он стремится к нулю только в верхней полуплоскости, а в нижней растёт экспоненциально.

FAQ

Чем теорема о вычетах отличается от интегральной теоремы Коши? Теорема Коши говорит, что интеграл по замкнутому контуру равен нулю, если внутри нет особых точек. Теорема о вычетах - её обобщение: она отвечает на вопрос, чему интеграл равен, когда особые точки внутри есть. Интегральная формула Коши с её ядром $\frac{1}{z-a}$ оказывается частным случаем при простом полюсе.

Можно ли считать вычет, если точка существенно особая? Да, вычет определён в любой изолированной особой точке, в том числе существенной, и теорема о вычетах применима без изменений. Меняется только способ вычисления: вместо формулы с производной приходится выписывать ряд Лорана и брать из него коэффициент $c_{-1}$.

Что делать, если полюс лежит прямо на вещественной оси? Обычный несобственный интеграл в таком случае расходится, но существует его главное значение по Коши. Контур обходят по маленькой полуокружности вокруг особой точки, и при стягивании радиуса к нулю такая полудуга даёт половину вычета, взятую со знаком, который зависит от направления обхода. Именно так появляется классический результат $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx = \pi$.

Коротко

Теорема о вычетах сводит интеграл по замкнутому контуру к сумме вычетов в особых точках внутри него, умноженной на $2\pi i$. Вычет - это коэффициент $c_{-1}$ ряда Лорана; для полюса порядка $m$ его находят по формуле с производной порядка $m-1$, для простого полюса - одним пределом. Практическая ценность теоремы в том, что она берёт вещественные интегралы: несобственные - через замыкание контура полуокружностью с оценкой вклада дуги, тригонометрические по полному обороту - через замену $z = e^{i\theta}$, которая превращает подынтегральное выражение в рациональную функцию на единичной окружности.