Интегральный синус Si(x): ряд Тейлора и максимум

Интегральный синус $\mathrm{Si}(x)$ - это первообразная функции $\sin t / t$, выбранная так, чтобы в нуле она сама обращалась в нуль. Записать её через элементарные функции нельзя, и это доказанный факт, а не пробел в таблицах интегралов: поэтому $\mathrm{Si}$ вводят как самостоятельную специальную функцию и табулируют её значения. Встречается она всюду, где сигнал обрезают по частоте, а разрывную функцию приближают гладкими: в дифракционной оптике, в теории антенн, в анализе рядов Фурье и цифровых фильтров. Ниже разберём определение, рабочий ряд для ручного счёта, предел $\pi/2$, наибольшее значение в точке $x = \pi$ и асимптотику для больших аргументов. Калькулятор под этим абзацем считает $\mathrm{Si}(x)$ численно и одновременно показывает, до какого $x$ частичная сумма ряда ещё держится рядом с точной кривой.

Что такое интегральный синус Si(x)

Определение предельно короткое:

$\mathrm{Si}(x) = \int_0^x \frac{\sin t}{t}\, dt.$

Формально подынтегральная функция в нуле не определена, но особенность устранимая: из разложения $\sin t \approx t - t^3/6$ следует $\sin t / t \to 1$ при $t \to 0$. Поэтому интеграл существует как обычный интеграл Римана на любом отрезке $[0, x]$, а сама $\mathrm{Si}(x)$ определена и бесконечно дифференцируема на всей числовой прямой. Отсюда три свойства, которые стоит держать в голове: $\mathrm{Si}(0) = 0$, функция нечётна ($\mathrm{Si}(-x) = -\mathrm{Si}(x)$), а её производная равна самой подынтегральной функции:

$\mathrm{Si}'(x) = \frac{\sin x}{x}.$

При малых аргументах $\mathrm{Si}(x) \approx x$: площадь под почти горизонтальным участком $\sin t / t \approx 1$ растёт линейно. Этим интегральный синус выгодно отличается от интегрального косинуса, у которого в нуле логарифмическая особенность и значение уходит в минус бесконечность. Встречается и второе обозначение, $\mathrm{si}(x) = \mathrm{Si}(x) - \pi/2$, - дополнительный интегральный синус, у которого предел на бесконечности равен нулю; в таблицах их легко перепутать.

Почему интеграл sin t / t не берётся в элементарных функциях

Попытки подобрать подстановку или проинтегрировать по частям кончаются ничем не случайно. По теореме Лиувилля о первообразных в элементарных функциях (её конструктивная часть - алгоритм Риша) доказано: у $\sin t / t$ первообразной в классе элементарных функций не существует. Это утверждение о невозможности, а не признание того, что нужный приём пока не найден.

Практический вывод простой: неопределённый интеграл $\int \frac{\sin t}{t}\, dt$ записывают как $\mathrm{Si}(t) + C$ и дальше работают с $\mathrm{Si}$ как с обычной табличной функцией. Определённые интегралы того же вида сводят к разности значений, ряд даёт значения при небольших аргументах, асимптотика - при больших, а в промежутке всё считается численно.

Разложение в ряд: как посчитать Si(x) вручную

Берём ряд $\sin t = \sum_{n \ge 0} (-1)^n t^{2n+1}/(2n+1)!$, делим на $t$ и интегрируем почленно (на любом отрезке ряд сходится равномерно, так что это законно):

$\mathrm{Si}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)\,(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{18} + \frac{x^5}{600} - \frac{x^7}{35280} + \dots$

Радиус сходимости бесконечен, ряд знакочередующийся, поэтому погрешность частичной суммы не превосходит модуля первого отброшенного члена. Для $x = 1$ это даёт $1 - 0{,}055556 + 0{,}001667 - 0{,}000028 = 0{,}946083$: четыре члена - и шесть верных знаков.

Но формальная сходимость при любом $x$ не значит, что рядом удобно считать везде. При $x = 10$ члены сначала растут по модулю (максимум приходится примерно на пятый), и шести членов дают $-83{,}9$ вместо правильного $1{,}6583$. Нужно около четырнадцати членов, причём с запасом разрядов: слагаемые порядка тысяч гасят друг друга до ответа порядка единицы, и это классическое катастрофическое сокращение. Подвигайте в калькуляторе ползунок $N$ - штриховая кривая частичной суммы отрывается от точной ровно там, где ряд перестаёт быть рабочим инструментом.

Интеграл Дирихле: почему Si(x) стремится к π/2

Рассчитать для своей задачи

Подынтегральная функция распадается на арки между соседними нулями $t = k\pi$: первая положительная, вторая отрицательная и так далее, а их площади монотонно убывают к нулю, потому что множитель $1/t$ давит амплитуду. Значит, $\mathrm{Si}(k\pi)$ - частичные суммы знакочередующегося ряда с убывающими членами, и по признаку Лейбница предел существует. Он равен интегралу Дирихле:

$\lim_{x \to \infty} \mathrm{Si}(x) = \int_0^{\infty} \frac{\sin t}{t}\, dt = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}570796.$

Сходимость здесь условная, а не абсолютная: интеграл от $|\sin t / t|$ расходится, поскольку площади арок ведут себя как гармонический ряд. Формально сходимость обеспечивает признак Дирихле, родственный признаку Абеля для несобственных интегралов: $\sin t$ имеет ограниченную первообразную, а $1/t$ монотонно стремится к нулю. Полезно помнить и парный факт: по всей прямой, от минус до плюс бесконечности, тот же интеграл равен $\pi$.

Максимум в точке x = π и остальные экстремумы

Рассчитать для своей задачи

Точки экстремума ищутся тривиально: $\mathrm{Si}'(x) = \sin x / x$ обращается в нуль только при $x = k\pi$. При нечётных $k$ это максимумы (очередная положительная арка закончилась), при чётных - минимумы. Наибольшее значение функция принимает в самой первой такой точке:

$\mathrm{Si}(\pi) = 1{,}851937, \qquad \frac{\mathrm{Si}(\pi)}{\pi/2} - 1 \approx 0{,}1790.$

То есть на конце первой арки интегральный синус превышает свой собственный предел почти на 18 процентов. Дальше размах падает: $\mathrm{Si}(2\pi) = 1{,}418152$, $\mathrm{Si}(3\pi) = 1{,}674762$, $\mathrm{Si}(4\pi) = 1{,}492161$ - отклонения от $\pi/2$ убывают примерно как $1/x$.

Асимптотика при больших x и колебания вокруг предела

Интегрированием по частям хвоста $-\int_x^{\infty} \sin t / t\, dt$ получается асимптотическое разложение:

$\mathrm{Si}(x) = \frac{\pi}{2} - \frac{\cos x}{x}\left(1 - \frac{2}{x^2} + \dots\right) - \frac{\sin x}{x^2}\left(1 - \frac{6}{x^2} + \dots\right).$

Первый же поправочный член объясняет картинку целиком: отклонение от $\pi/2$ колеблется с периодом $2\pi$ и гаснет по закону $1/x$. Численно при $x = 10$ формула даёт $1{,}65814$ против точного $1{,}658348$, при $x = 5$ - $1{,}5478$ против $1{,}5499$. А вот при $x = 2$ она выдаёт $1{,}79$ вместо $1{,}605$: разложение асимптотическое, оно расходится, и добавление членов улучшает результат лишь до некоторого предела, зависящего от $x$. Ряд Тейлора и асимптотика делят область значений между собой, и граница проходит примерно в районе $x \approx 5$.

У этого разделения есть практическая причина. Ряд $\mathrm{Si}(x) = \sum_{k\ge 0} (-1)^k x^{2k+1} / [(2k+1)(2k+1)!]$ сходится при любом $x$, но при больших аргументах его члены сначала вырастают до огромных значений и лишь потом гаснут: при $x = 20$ наибольший член по модулю превышает $10^{6}$, а сумма равна 1,548. Считая в двойной точности, на взаимном вычитании таких членов теряется больше значащих цифр, чем остаётся в ответе. Асимптотика же, наоборот, тем точнее, чем больше $x$: её ошибка не превосходит первого отброшенного члена, то есть порядка $1/x$ для двух выписанных поправок. Поэтому в библиотеках специальных функций область разбивают на две части и на каждой считают своим способом, а вблизи $x \approx 5$ обе оценки дают около четырёх верных знаков.

Из асимптотики следует и то, где лежат экстремумы при больших $x$. Производная $\sin x / x$ обращается в нуль в точках $x = k\pi$, а знак второй производной чередуется, поэтому максимумы стоят в нечётных кратных $\pi$, минимумы - в чётных, и высота каждого следующего колебания убывает обратно пропорционально его номеру: $|\mathrm{Si}(k\pi) - \pi/2| \approx 1/(k\pi)$. Эта же оценка ниже объяснит, почему выброс Гиббса не уменьшается с ростом числа гармоник, хотя ширина всплеска сжимается.

Si(x) в явлении Гиббса и звоне фильтров

Рассчитать для своей задачи

Именно из-за перелёта в точке $\pi$ интегральный синус всплывает там, где сигнал с разрывом приближают конечной суммой гармоник. Максимум частичной суммы ряда Фурье прямоугольного сигнала у скачка стремится к $\frac{2}{\pi}\mathrm{Si}(\pi) = 1{,}178980$, то есть перелетает полку на $8{,}95$ процента от величины скачка. Это и есть явление Гиббса, и никакое увеличение числа гармоник его не убирает.

У идеального фильтра нижних частот та же арифметика: отклик на единичный скачок равен $y = \tfrac{1}{2} + \mathrm{Si}(\omega_c t)/\pi$, его первый максимум приходится на $\omega_c t = \pi$ и равен $1{,}089490$. Рост частоты среза $\omega_c$ сжимает звон по времени, но высоту выброса оставляет прежней - с ней борются не полосой, а оконными функциями, которые сглаживают резкий срез характеристики.

Частые ошибки

• Считать, что подынтегральная функция в нуле «терпит разрыв» и интеграл несобственный на нижнем пределе. Особенность устранимая, $\sin t / t \to 1$, интеграл обычный.
• Путать $\mathrm{Si}(x)$ и $\mathrm{si}(x)$: второе обозначение сдвинуто на $\pi/2$, и таблицы разных справочников дают значения разных знаков.
• Искать максимум $\mathrm{Si}(x)$ на бесконечности. Функция не монотонна, наибольшее значение достигается при $x = \pi$ и превышает предел $\pi/2$.
• Применять асимптотику при малых аргументах: при $x = 2$ она ошибается уже во втором знаке после запятой.
• Считать ряд Тейлора при больших $x$ в одинарной точности. Взаимное гашение больших членов съедает значащие цифры, и ответ получается бессмысленным.
• Считать сходимость интеграла Дирихле абсолютной: интеграл от модуля расходится.

FAQ

Чему равен интеграл sin x / x от нуля до бесконечности? Он равен $\pi/2 \approx 1{,}5708$ и называется интегралом Дирихле. По всей числовой прямой значение вдвое больше, $\pi$. Сходимость условная: интеграл от модуля подынтегральной функции расходится.

Берётся ли интеграл sin x / x в элементарных функциях? Нет. По теореме Лиувилля элементарной первообразной у $\sin t / t$ не существует, поэтому результат записывают через специальную функцию: $\int \frac{\sin t}{t}\, dt = \mathrm{Si}(t) + C$.

Чему равно максимальное значение интегрального синуса? $\mathrm{Si}(\pi) = 1{,}851937$. Это глобальный максимум: производная $\sin x / x$ меняет знак с плюса на минус именно при $x = \pi$, а последующие максимумы в точках $3\pi$, $5\pi$ ниже и стягиваются к $\pi/2$.

Коротко

Интегральный синус $\mathrm{Si}(x) = \int_0^x \sin t / t\, dt$ - гладкая нечётная функция без особенностей, которая не выражается через элементарные. Для ручного счёта при небольших $x$ работает ряд $x - x^3/18 + x^5/600 - \dots$, при больших - асимптотика $\pi/2 - \cos x / x - \sin x / x^2$. Кривая не растёт монотонно, а колеблется вокруг предела $\pi/2$ с экстремумами в точках $k\pi$ и затуханием размаха как $1/x$; наибольшее значение $\mathrm{Si}(\pi) = 1{,}851937$ на 17,9 процента выше предела. Именно этот перелёт даёт 8,95 процента выброса Гиббса и звон идеального фильтра.