Как вычислить интеграл по контуру: теорема о вычетах

Дано: функция $f(z) = \dfrac{z^2 + 3}{z(z - 1)(z - 4)}$ и замкнутый контур $C$ - окружность $|z| = 2$, проходимая против часовой стрелки. Найти: $\oint_C f(z)\,dz$.

Раз контур замкнут, параметризовать окружность не нужно: работает основная теорема о вычетах. Достаточно найти особые точки функции, отобрать те из них, что лежат внутри окружности, сложить их вычеты и умножить сумму на $2\pi i$. Ответ: $\oint_C f(z)\,dz = -\dfrac{7\pi i}{6} \approx -3{,}665\,i$.

В калькуляторе сверху эти числа стоят по умолчанию. Ползунок радиуса показывает главное свойство контурного интеграла: пока набор полюсов внутри контура не меняется, значение остаётся тем же, а стоит полюсу перескочить через окружность - ответ меняется скачком.

Решение по шагам

Шаг 1. Находим особые точки. Функция дробно-рациональная, поэтому особые точки - это нули знаменателя:

$$z(z - 1)(z - 4) = 0 \quad \Longrightarrow \quad z_1 = 0,\; z_2 = 1,\; z_3 = 4.$$

Числитель в этих точках равен $3$, $4$ и $19$, то есть нигде не обнуляется и ничего не сокращается. Каждый множитель входит в знаменатель в первой степени, значит все три точки - простые полюсы, полюсы порядка 1.

Шаг 2. Отбираем полюсы внутри контура. Контур - окружность радиуса 2 с центром в начале координат, поэтому точка лежит внутри тогда и только тогда, когда её модуль меньше 2:

Полюс $z_3 = 4$ в ответ не войдёт вообще. Это первый источник ошибок: вычеты честно считают во всех трёх точках, а потом складывают все три.

Шаг 3. Считаем вычеты в простых полюсах. Для полюса первого порядка вычет берётся пределом:

$$\operatorname{Res}_{z = a} f(z) = \lim_{z \to a} (z - a) f(z).$$

Множитель $(z - a)$ сокращает соответствующую скобку знаменателя, и остаётся просто подстановка:

$$\begin{aligned} \operatorname{Res}_{z = 0} f(z) &= \lim_{z \to 0} \frac{z^2 + 3}{(z - 1)(z - 4)} = \frac{3}{(-1)(-4)} = \frac{3}{4}, \\ \operatorname{Res}_{z = 1} f(z) &= \lim_{z \to 1} \frac{z^2 + 3}{z(z - 4)} = \frac{4}{1 \cdot (-3)} = -\frac{4}{3}. \end{aligned}$$

Шаг 4. Складываем и умножаем на $2\pi i$. Основная теорема о вычетах даёт:

$$\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i \left( \frac{3}{4} - \frac{4}{3} \right) = 2\pi i \cdot \frac{9 - 16}{12} = 2\pi i \cdot \left( -\frac{7}{12} \right) = -\frac{7\pi i}{6}.$$

Числом это $-3{,}665\,i$: интеграл получился чисто мнимым, вещественная часть равна нулю.

Ответ. $\oint\limits_{|z| = 2} \dfrac{z^2 + 3}{z(z - 1)(z - 4)}\,dz = -\dfrac{7\pi i}{6} \approx -3{,}665\,i$.

Формула и откуда она берётся

Основная теорема о вычетах звучит так. Пусть функция $f$ голоморфна в области $D$ всюду, кроме конечного числа изолированных особых точек $a_1, \dots, a_n$, а $C$ - лежащий в $D$ замкнутый кусочно гладкий контур, который не проходит ни через одну особую точку и обходится против часовой стрелки. Тогда

$$\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k} \operatorname{Res}_{z = a_k} f(z),$$

где сумма берётся только по особым точкам, лежащим внутри $C$.

Вычет $\operatorname{Res}_{z=a} f$ - это коэффициент $c_{-1}$ при $(z - a)^{-1}$ в разложении функции в ряд Лорана вокруг точки $a$. Почему выживает именно он: интеграл от $(z - a)^n$ по окружности вокруг $a$ равен нулю при любом целом $n \neq -1$, потому что у такой степени есть однозначная первообразная, и только $(z - a)^{-1}$ даёт $2\pi i$. Подробный разбор этой конструкции и её связь с интегральной теоремой Коши - в статье про теорему о вычетах, здесь она нужна как рабочий инструмент.

Для простого полюса удобна ещё одна форма записи: если $f = P/Q$, числитель и знаменатель голоморфны, $Q(a) = 0$ и $Q'(a) \neq 0$, то

$$\operatorname{Res}_{z = a} \frac{P(z)}{Q(z)} = \frac{P(a)}{Q'(a)}.$$

Проверим ей шаг 3. Здесь $Q(z) = z^3 - 5z^2 + 4z$, значит $Q'(z) = 3z^2 - 10z + 4$, откуда $Q'(0) = 4$ и $Q'(1) = -3$. Получаем $3/4$ и $4/(-3)$ - те же числа, что и через предел.

Если полюс кратный, порядка $m$, пределом подстановки уже не обойтись, нужна производная:

$$\operatorname{Res}_{z = a} f(z) = \frac{1}{(m - 1)!} \lim_{z \to a} \frac{d^{\,m-1}}{dz^{\,m-1}} \left[ (z - a)^m f(z) \right].$$

Например, $\oint_{|z| = 1} \dfrac{z + 1}{z^2}\,dz$: здесь $m = 2$, произведение $z^2 f(z) = z + 1$, его производная равна 1, значит вычет равен 1, а интеграл равен $2\pi i$.

Проверка: разложение на простейшие дроби

Есть способ убедиться в ответе, не повторяя тех же выкладок. Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

$$\frac{z^2 + 3}{z(z - 1)(z - 4)} = \frac{3/4}{z} + \frac{-4/3}{z - 1} + \frac{19/12}{z - 4}.$$

Числители здесь - это ровно вычеты в соответствующих точках, и так бывает всегда, когда все полюсы простые: разложение на простейшие дроби и набор вычетов - одно и то же. Интеграл от каждого слагаемого по окружности $|z| = 2$ считается напрямую:

$$\oint\limits_{|z| = 2} \frac{dz}{z - a} = \begin{cases} 2\pi i, & |a| < 2, \\ 0, & |a| > 2. \end{cases}$$

Второй случай - это теорема Коши: если точка $a$ лежит снаружи, функция $1/(z - a)$ голоморфна во всём круге, и интеграл по замкнутому контуру обнуляется. Складывая три слагаемых, получаем $2\pi i \left( \tfrac{3}{4} - \tfrac{4}{3} \right) + 0 = -\tfrac{7\pi i}{6}$ - ответ сошёлся.

Полезен и контроль через сумму всех вычетов. Для правильной рациональной дроби, у которой степень знаменателя больше степени числителя хотя бы на единицу, сумма всех вычетов равна $\lim_{z \to \infty} z f(z)$. У нас этот предел равен 1, и действительно $\tfrac{3}{4} - \tfrac{4}{3} + \tfrac{19}{12} = 1$. Если сумма не сошлась, ошибка сидит в вычетах, а не в отборе точек.

Что меняется при другом контуре

Форма и размер контура сами по себе на ответ не влияют - влияет только то, какие особые точки оказались внутри. Отсюда четыре типичных варианта той же задачи:

• Окружность $|z| = 3$. Внутри по-прежнему только $0$ и $1$, точка $4$ снаружи, ответ не изменился: $-\tfrac{7\pi i}{6}$. Контур можно было бы заменить квадратом или эллипсом с тем же набором полюсов внутри - результат тот же.
• Окружность $|z| = 5$. Внутрь попали все три полюса, сумма вычетов равна 1, и интеграл равен $2\pi i \approx 6{,}283\,i$.
• Окружность $|z - 2| = 0{,}5$. Расстояния от центра до полюсов равны 2, 1 и 2 - внутрь не попал ни один. Функция голоморфна в круге, и по теореме Коши интеграл равен нулю.
• Обход по часовой стрелке. Направление входит в теорему: при смене ориентации знак ответа меняется, получится $+\tfrac{7\pi i}{6}$. Если контур обходит полюс $n$ раз, вычет входит в сумму с этим множителем: строго говоря, в формуле стоит индекс (число оборотов) контура вокруг точки.

Ещё одно замечание про тип особой точки. Формула через предел годится только для полюсов. У существенно особой точки, например у $e^{1/z}$ в нуле, предел $(z - a) f(z)$ не существует, и вычет приходится искать как коэффициент ряда Лорана. На саму теорему это не влияет: она работает и с существенно особыми точками, меняется только способ добыть $c_{-1}$.

Частые ошибки

• Складывают вычеты во всех особых точках. Точки снаружи контура в сумму не входят: в нашей задаче вычет $19/12$ в точке $z = 4$ не нужен. Проверка на модуль занимает одну строку, а её пропуск даёт ответ $2\pi i$ вместо $-\tfrac{7\pi i}{6}$.
• Теряют множитель $i$ или пишут $\pi i$ вместо $2\pi i$. Контурный интеграл от голоморфной всюду, кроме полюсов, функции почти никогда не бывает вещественным. Множитель $2\pi i$ универсален и от радиуса не зависит.
• Применяют формулу простого полюса к кратному. Для $(z - a)^2$ в знаменателе подстановка даст бесконечность или ноль вместо ответа. Сначала определяем порядок полюса, потом выбираем формулу.
• Забывают проверить числитель. Если он обращается в нуль в той же точке, множитель сокращается, и особой точки может вообще не быть: у $\dfrac{z - 1}{z(z-1)}$ точка $z = 1$ устранимая, её вычет равен нулю.
• Берут контур, проходящий через полюс. При $|z| = 1$ полюс $z = 1$ лежит ровно на контуре, и интеграл не определён (речь может идти только о главном значении). В калькуляторе сверху такой радиус помечается отдельно.
• Путают с криволинейным интегралом второго рода. Внешне запись похожа, но там кривая параметризуется и считается вещественный интеграл по параметру: разбор такой задачи - в криволинейном интеграле.

FAQ

Нужно ли параметризовать контур? Нет, если выполнены условия теоремы о вычетах: замкнутость контура, конечное число особых точек, ни одна из них не на контуре. Параметризация нужна в двух случаях: контур незамкнут (тогда считаем по формуле Ньютона-Лейбница через первообразную) или требуется именно определение интеграла.

Как быстро понять порядок полюса? Смотрим на степень множителя в знаменателе после всех сокращений: $(z - a)^m$ даёт полюс порядка $m$. Если функция не рациональная, разложи знаменатель в ряд около точки $a$ и найди первую ненулевую степень: у $\sin z$ в нуле это $z^1$, поэтому $1/\sin z$ имеет там простой полюс.

Что делать, если особая точка лежит вне контура, но близко? Ничего: расстояние роли не играет, вклад дают только точки строго внутри. Сдвинь ползунок радиуса в калькуляторе так, чтобы полюс перешёл границу, и увидишь, что ответ меняется не плавно, а скачком на $2\pi i \cdot \operatorname{Res}$.

Зачем это нужно, кроме комплексного анализа? Через контурный интеграл считают вещественные несобственные интегралы (замыкание полуокружностью), интегралы от тригонометрических дробей (замена $z = e^{it}$), обратное преобразование Лапласа и суммы рядов. Во всех этих задачах шаги те же, что в разборе выше, меняется только выбор контура; а разложение функции в ряд разбирается в задаче про ряд Тейлора.

Коротко

1. Найди особые точки: нули знаменателя, которые не сокращаются с числителем. Для $f = \dfrac{z^2+3}{z(z-1)(z-4)}$ это $0$, $1$ и $4$, все простые полюсы.
2. Отбери те, что лежат внутри контура. Для $|z| = 2$ это $0$ и $1$, точка $4$ отбрасывается.
3. Посчитай вычеты: в простом полюсе $\operatorname{Res} = \lim (z - a) f(z)$, то есть $3/4$ и $-4/3$; в полюсе порядка $m$ - через $(m-1)$-ю производную.
4. Сложи вычеты внутри контура и умножь на $2\pi i$: $2\pi i \left( \tfrac34 - \tfrac43 \right) = -\dfrac{7\pi i}{6} \approx -3{,}665\,i$.
5. Проверь ответ: разложение на простейшие дроби даёт те же вычеты, а сумма всех вычетов должна совпасть с $\lim_{z \to \infty} z f(z) = 1$.