Как исследовать ряд на сходимость: алгоритм выбора признака

Дано: числовой ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ с общим членом $a_n = \dfrac{2^n\, n!}{n^n}$. Найти: сходится ряд или расходится.

В общем члене одновременно стоят факториал и степень $n^n$, и это прямое указание на признак Даламбера: в отношении $a_{n+1}/a_n$ факториалы сокращаются, а степени сворачиваются во второй замечательный предел. Ответ: $D = \dfrac{2}{e} \approx 0{,}7358 < 1$, значит, ряд сходится. Калькулятор сверху считает предел признака для всего семейства $x^n n!/n^n$ и для двух соседних признаков, а ниже разобрано, по какому алгоритму этот признак вообще выбирают.

Решение по шагам

Шаг 1. Необходимый признак сходимости. Первое, что делают с любым рядом, - смотрят на предел общего члена. Если $\lim\limits_{n\to\infty} a_n \neq 0$, ряд расходится, и задача закрыта одной строкой. Здесь предел в уме не берётся: числитель растёт как факториал, знаменатель как $n^n$, и кто кого пересилит, сразу не видно. Необходимый признак ответа не дал, но потратили на него полминуты.

Обратная импликация не работает: из $a_n \to 0$ сходимость не следует. Классический контрпример - гармонический ряд $\sum 1/n$, у которого члены стремятся к нулю, а сумма неограниченно растёт. Поэтому после проверки предела всегда нужен достаточный признак.

Шаг 2. Выбрать признак. В общем члене есть факториал. Это главный маркер признака Даламбера: при делении $a_{n+1}$ на $a_n$ факториал сокращается почти целиком, потому что $(n+1)! = (n+1)\cdot n!$. Ни сравнение, ни интегральный признак с факториалом так просто не работают.

Шаг 3. Составить отношение соседних членов. Выписываем $a_{n+1}$, заменив в формуле $n$ на $n+1$, и делим на $a_n$:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1}\,(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{2^n\, n!}.$$

Сокращаем по частям: $\dfrac{2^{n+1}}{2^n} = 2$, $\dfrac{(n+1)!}{n!} = n+1$. Остаётся

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = 2\,\frac{(n+1)\,n^n}{(n+1)^{n+1}} = 2\,\frac{n^n}{(n+1)^n} = 2\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}.$$

Шаг 4. Взять предел. Дробь $\dfrac{n}{n+1}$ переворачиваем, чтобы получить узнаваемую конструкцию:

$$2\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n} = \frac{2}{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n}} = \frac{2}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}}.$$

Знаменатель - это второй замечательный предел, он стремится к $e \approx 2{,}71828$. Значит,

$$D = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2}{e} \approx 0{,}7358.$$

Шаг 5. Сравнить с единицей и сделать вывод. Получили $D < 1$, а по признаку Даламбера этого достаточно для сходимости положительного ряда. Ответ: ряд $\sum \dfrac{2^n n!}{n^n}$ сходится.

Численная проверка подтверждает выкладку: отношение убывает к $2/e$ сверху, и уже с третьего номера оно заметно меньше единицы.

Признак Даламбера: формулировка и почему он работает

Пусть ряд $\sum a_n$ строго положительный и существует предел $D = \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}$. Тогда при $D < 1$ ряд сходится, при $D > 1$ расходится, а при $D = 1$ признак ответа не даёт.

Доказательство держится на сравнении с геометрической прогрессией. Пусть $D < 1$. Возьмём любое число $q$ между $D$ и единицей. По определению предела найдётся номер $N$, начиная с которого $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} < q$, то есть каждый следующий член меньше предыдущего минимум в $1/q$ раз. Отсюда $a_{N+k} < a_N q^{k}$, и хвост ряда мажорируется сходящейся прогрессией со знаменателем $q < 1$. Ряд с ограниченными частичными суммами и положительными членами сходится.

Случай $D > 1$ разбирается ещё быстрее: начиная с некоторого номера члены не убывают, а растут, поэтому $a_n \not\to 0$ и нарушается необходимый признак. Отбрасывание первых $N$ членов на сходимость не влияет: они дают конечную добавку к сумме.

Отдельно стоит запомнить, что $D = 1$ - это честный пробел, а не разрешение написать «сходится». При $D = 1$ бывает и то и другое: у ряда $\sum 1/n$ предел отношения равен единице и ряд расходится, у ряда $\sum 1/n^2$ предел тот же, но ряд сходится. Разбирать такие случаи приходится другими средствами.

Алгоритм: какой признак брать

Выбор признака определяется тем, как устроен общий член. Таблица закрывает почти все задачи типового расчёта.

Порядок работы всегда один. Сначала предел общего члена: если он не равен нулю, ряд расходится и больше ничего считать не нужно. Затем взгляд на структуру: факториал ведёт к Даламберу, внешняя степень $n$ - к радикальному Коши, дробь из многочленов - к сравнению. И только если выбранный признак упёрся в единицу, подключают уточняющие критерии вроде признака Раабе.

Полезно помнить и про то, что вопрос о сходимости отделён от вопроса о сумме. Признак говорит только «да» или «нет»; чтобы получить само число, нужны частичные суммы и предельный переход, как в разборе суммы числового ряда.

Когда Даламбер бессилен: Коши и сравнение

Первый типичный случай - общий член целиком возведён в степень $n$, например $a_n = \left(\dfrac{n}{2n+1}\right)^{n}$. Отношение соседних членов здесь считается тяжело, зато корень снимает степень мгновенно:

$$C = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{2n+1} = \frac{1}{2} < 1,$$

и ряд сходится. Это радикальный признак Коши, у него та же шкала: меньше единицы - сходится, больше - расходится, ровно единица - ответа нет. Переключите калькулятор сверху на второй режим, чтобы увидеть, как корень выходит на уровень $1/c$.

Второй случай - дробь из многочленов, скажем $a_n = \dfrac{n+3}{2n^3+5n}$. Признак Даламбера даёт здесь ровно единицу при любых степенях: отношение двух многочленов одинакового роста стремится к $1$. Работает сравнение с эталоном $1/n^p$: при больших $n$ дробь ведёт себя как $\dfrac{1}{2n^2}$, а обобщённый гармонический ряд с показателем $p = 2$ сходится. Как подбирать эталон и оформлять неравенство, подробно разобрано в статьях про признак сравнения рядов и предельный признак сравнения; порог сходимости самого эталона - в разборе обобщённого гармонического ряда.

Третий случай - множитель $(-1)^n$. Все признаки выше сформулированы для положительных рядов, поэтому знакочередующийся ряд исследуют либо по модулю (тогда получают абсолютную сходимость), либо отдельным признаком Лейбница, который даёт ещё и оценку остатка.

Частые ошибки

• Из $D = 1$ делают вывод о сходимости. Единица не значит ничего: и расходящийся $\sum 1/n$, и сходящийся $\sum 1/n^2$ дают ровно $D = 1$. Нужен другой признак.
• Считают, что $a_n \to 0$ достаточно. Это условие необходимое, но не достаточное; гармонический ряд расходится при нулевом пределе общего члена.
• Теряют степень при делении. В $\dfrac{n^n}{(n+1)^{n+1}}$ показатели разные, и множитель $(n+1)$ из факториала как раз гасит лишнюю единицу в показателе. Пропуск этого шага меняет ответ.
• Подставляют предел внутрь растущей степени. Запись $\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{n} \to 1^{\infty} = 1$ неверна: это неопределённость, которая раскрывается через $e$.
• Применяют Даламбер к знакопеременному ряду напрямую. Признак сформулирован для положительных членов; знакочередующийся ряд сначала берут по модулю.
• Судят о сходимости по первым членам. У разобранного ряда $a_1 = a_2 = 2$, дальше убывание медленное, и на глаз ряд выглядит расходящимся. Решает только предел отношения.

FAQ

Чем признак Даламбера отличается от радикального Коши? Даламбер смотрит на отношение соседних членов, Коши - на корень $n$-й степени из члена. Радикальный признак сильнее: если предел Даламбера существует, то предел Коши существует и равен ему, а обратное неверно. На практике выбирают по форме общего члена: факториал - к Даламберу, внешняя степень $n$ - к Коши.

Что делать, если предел получился равен единице? Признак не сработал, и нужен более тонкий инструмент. Для дробей из многочленов берут предельное сравнение с $1/n^p$, для монотонных членов - интегральный признак, для «почти геометрических» рядов - признак Раабе или Гаусса.

Обязательно ли проверять необходимый признак, если всё равно применяется Даламбер? Формально нет: при $D < 1$ стремление членов к нулю получается автоматически. Но проверка занимает одну строку и часто закрывает задачу сразу, если предел общего члена оказался ненулевым.

Ряд начинается не с первого номера, это влияет на сходимость? Нет. Отбрасывание или добавление конечного числа членов меняет сумму, но не факт сходимости. Поэтому в признаках и требуется выполнение неравенства лишь начиная с некоторого номера $N$.

Коротко

1. Проверить необходимый признак: если $\lim a_n \neq 0$, ряд расходится и задача закончена.
2. Выбрать достаточный признак по структуре общего члена: факториал - Даламбер, внешняя степень $n$ - радикальный Коши, дробь из многочленов - сравнение с $1/n^p$, множитель $(-1)^n$ - Лейбниц.
3. Для ряда $\sum \dfrac{2^n n!}{n^n}$ отношение соседних членов равно $\dfrac{2}{\left(1+1/n\right)^{n}}$.
4. Предел этого отношения $D = \dfrac{2}{e} \approx 0{,}7358 < 1$, поэтому ряд сходится.
5. Если признак дал ровно $D = 1$, вывода нет: нужны сравнение, интегральный признак или уточняющие критерии Раабе и Гаусса.