Как найти область сходимости ряда: пошаговое решение

Дано: степенной ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{(x-2)^n}{n \cdot 3^n}$. Найти: все значения $x$, при которых он сходится.

Ряд разложен по степеням $(x-2)$, поэтому работаем в два приёма: сначала радиус сходимости через предел отношения модулей соседних членов, потом отдельная подстановка каждого конца полученного интервала обратно в ряд. Ответ: $R = 3$, интервал $(-1;\ 5)$, на левом конце ряд сходится условно, на правом расходится, поэтому область сходимости равна $[-1;\ 5)$. Калькулятор сверху рисует предел признака $D(x)$ и показывает, как область меняется, если подкрутить центр, знаменатель или степень $n$.

Решение по шагам

Шаг 1. Выделить центр и коэффициенты. Степенной ряд имеет вид $\sum a_n (x - x_0)^n$, и первое, что нужно из него вытащить, - центр разложения $x_0$ и коэффициент $a_n$. Здесь $x_0 = 2$, а коэффициентом служит всё, что стоит множителем при степени: $a_n = \dfrac{1}{n \cdot 3^n}$. Сама скобка $(x-2)^n$ в коэффициент не входит - это типовая точка, где теряют половину решения.

Шаг 2. Составить отношение модулей соседних членов. Обозначим член ряда $u_n = \dfrac{(x-2)^n}{n \cdot 3^n}$ и поделим $|u_{n+1}|$ на $|u_n|$. Модуль нужен потому, что при $x < 2$ члены знакочередуются, а признак Даламбера работает с положительными величинами:

$$\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| = \frac{|x-2|^{\,n+1}}{(n+1)\,3^{\,n+1}} \cdot \frac{n \cdot 3^{\,n}}{|x-2|^{\,n}} = \frac{|x-2|}{3} \cdot \frac{n}{n+1}.$$

Степени и тройки сократились почти полностью, осталась дробь от $n$, которая при $n \to \infty$ стремится к единице. Значит, предел признака зависит только от точки $x$:

$$D(x) = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| = \frac{|x-2|}{3}.$$

Шаг 3. Решить неравенство $D(x) < 1$. Признак Даламбера гарантирует сходимость там, где предел меньше единицы:

$$\frac{|x-2|}{3} < 1 \iff |x-2| < 3 \iff -3 < x - 2 < 3 \iff -1 < x < 5.$$

Половина длины этого промежутка и есть радиус сходимости: $R = 3$. Интервал сходимости - $(-1;\ 5)$, внутри него ряд сходится даже абсолютно. За его пределами $D(x) > 1$, и ряд расходится, причём расходится «жёстко»: общий член не стремится к нулю.

Шаг 4. Правый конец $x = 5$. В точках $x = -1$ и $x = 5$ предел равен ровно единице, признак Даламбера ответа не даёт, и каждый конец приходится исследовать как обычный числовой ряд. Подставляем $x = 5$:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(5-2)^n}{n \cdot 3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n \cdot 3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}.$$

Это гармонический ряд, он расходится, хотя члены и стремятся к нулю. Подробный разбор эталонных рядов вида $1/n^p$ есть в статье про обобщённый гармонический ряд. Значит, точка $x = 5$ в область сходимости не входит.

Шаг 5. Левый конец $x = -1$. Подставляем и следим за знаком: $(-1-2)^n = (-3)^n$, а тройка в степени сокращается со знаменателем и оставляет чистое чередование:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^n}{n \cdot 3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}.$$

Знакочередующийся ряд проверяем признаком Лейбница: модули членов $1/n$ монотонно убывают и стремятся к нулю, значит ряд сходится. Ряд же из модулей - тот самый гармонический - расходится, поэтому сходимость здесь условная, а не абсолютная. Точка $x = -1$ в область входит.

Ответ: область сходимости $x \in [-1;\ 5)$, радиус $R = 3$, в точке $x = -1$ сходимость условная.

Формула и откуда она берётся

За разбиением на «внутри сходится, снаружи расходится» стоит теорема Абеля: если степенной ряд сходится в какой-то точке $x_1 \neq x_0$, то он сходится абсолютно во всех точках, которые ближе к центру, то есть при $|x - x_0| < |x_1 - x_0|$. Из неё следует, что множество точек сходимости не может быть рваным: это всегда промежуток, симметричный относительно центра, и у него есть половина длины - радиус $R$.

Считать радиус можно двумя формулами. Через отношение коэффициентов $R = \lim\limits_{n \to \infty} \left|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right|$ и через корень, это формула Коши-Адамара: $\dfrac{1}{R} = \varlimsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$. Проверим первую на нашем ряде:

$$\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| = \frac{(n+1)\,3^{\,n+1}}{n \cdot 3^{\,n}} = 3 \cdot \frac{n+1}{n} \xrightarrow[n \to \infty]{} 3 = R.$$

Обрати внимание на важную деталь: множитель $n$ в знаменателе на радиус не повлиял. Любая степень $n^p$ даёт в отношении $\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{p} \to 1$, и радиус остаётся равным трём. Именно поэтому концы приходится разбирать отдельно: сам признак Даламбера в них вырождается и о судьбе ряда ничего не сообщает.

Второй способ: радикальный признак Коши

Если весь коэффициент удобно извлекается под корень, короче считать по Коши-Адамару. У нас $\sqrt[n]{|a_n|} = \dfrac{1}{3\sqrt[n]{n}}$, а $\sqrt[n]{n} \to 1$, поэтому предел равен $1/3$ и $R = 3$ - тот же ответ. Радикальный признак особенно выгоден, когда коэффициент целиком возведён в степень $n$, например $a_n = \left(\dfrac{n}{2n+1}\right)^{n}$: корень снимает степень одним движением.

Отдельный случай - ряды с пропущенными степенями, скажем $\sum \dfrac{(x-2)^{2n}}{4^n}$. Там отношение соседних коэффициентов бессмысленно, потому что половина из них нулевая. Приём такой: вводим замену $t = (x-2)^2$, находим область по $t$, а затем возвращаемся к $x$. Как выбирать признак для произвольного числового ряда, подробно разобрано в задаче исследование ряда на сходимость - здесь этот выбор уже сделан за нас видом степенного ряда.

Что решает степень n в знаменателе

Радиус у всех четырёх рядов ниже одинаковый, а области сходимости разные - различие целиком в концах. Переключи чипы $p$ в калькуляторе сверху, и график покажет ровно эту таблицу:

Логика простая. На правом конце всегда остаётся эталонный ряд $\sum 1/n^p$, который сходится только при $p > 1$. На левом знаки чередуются, и Лейбницу достаточно любого $p > 0$: при $p > 1$ сходимость абсолютная, при $0 < p \leqslant 1$ условная. При $p = 0$ общий член не стремится к нулю, и оба конца отваливаются сразу по необходимому признаку.

Частые ошибки

• Ответ записывают интервалом $(-1;\ 5)$ и забывают про концы. Проверка концов - обязательная часть задачи, и почти всегда хотя бы один из них ведёт себя не так, как второй.
• Берут отношение $u_{n+1}/u_n$ без модуля. При $x < x_0$ члены знакочередуются, отношение получается отрицательным, и неравенство $D < 1$ выполняется «сама собой» при любом $x$.
• Записывают в коэффициент скобку: пишут $a_n = \dfrac{(x-2)^n}{n \cdot 3^n}$ и потом ищут радиус по формуле для $a_n$. Коэффициент не должен содержать $x$.
• Считают радиус равным длине интервала. Длина здесь равна $6$, а радиус - половина, $R = 3$: интервал строится как $x_0 \pm R$.
• Проверяют один конец и переносят вывод на второй по симметрии. Симметричен интервал, но не поведение ряда: при $x = -1$ ряд сходится, при $x = 5$ расходится.
• Забывают про центр и пишут ответ $|x| < 3$ вместо $|x - 2| < 3$. Центр $x_0$ - это то значение, при котором скобка обращается в ноль.

FAQ

Чем интервал сходимости отличается от области сходимости? Интервал - это открытый промежуток $(x_0 - R;\ x_0 + R)$, где сходимость гарантирована признаком. Область - это интервал плюс те концы, которые прошли отдельную проверку. В нашей задаче интервал $(-1;\ 5)$, а область $[-1;\ 5)$.

Что делать, если $R = 0$ или $R = \infty$? При $R = 0$ ряд сходится в единственной точке $x = x_0$, и проверять нечего: так ведёт себя, например, $\sum n!\,x^n$. При $R = \infty$ область сходимости - вся числовая прямая, концов у неё нет, типичный пример - $\sum x^n / n!$, дающий экспоненту.

Может ли ряд сходиться на одном конце и расходиться на другом? Да, и это самый частый случай в контрольных, наша задача ровно такая. Причина в чередовании знаков: слева работает признак Лейбница, справа остаётся знакопостоянный ряд, для которого нужен более сильный аргумент.

Меняется ли область сходимости после дифференцирования ряда? Радиус не меняется, а вот концы - могут: почленная производная ослабляет знаменатель. Механизм разобран в статье про почленное дифференцирование степенного ряда, там же показано, как через него находят суммы рядов в замкнутом виде.

Коротко

1. Выдели центр $x_0$ и коэффициент $a_n$ - в коэффициенте не должно остаться $x$. Для нашего ряда $x_0 = 2$, $a_n = \dfrac{1}{n \cdot 3^n}$.
2. Найди $D(x) = \lim |u_{n+1}/u_n|$ с модулем. Здесь $D(x) = |x-2|/3$.
3. Реши $D(x) < 1$: получишь $|x - 2| < 3$, то есть радиус $R = 3$ и интервал $(-1;\ 5)$.
4. Подставь каждый конец в исходный ряд и исследуй как числовой: $x = 5$ даёт гармонический ряд и расходимость, $x = -1$ даёт знакочередующийся ряд и условную сходимость по Лейбницу.
5. Собери ответ, поставив круглую скобку у выброшенного конца и квадратную у оставленного: $x \in [-1;\ 5)$.