Признак сравнения рядов: примеры и метод

Признак сравнения - один из первых инструментов, которые изучают при работе с числовыми рядами. Его идея проста: если неизвестный ряд оказывается «меньше» сходящегося, он тоже сходится; если «больше» расходящегося - тоже расходится. Главный вопрос практики - как грамотно выбрать эталонный ряд и доказать нужное неравенство. Ниже разберём формулировку, типовые приёмы подбора эталона и разберём примеры от простых до составных. Чтобы сразу понять механику, поиграйте с калькулятором: он наглядно покажет, как исследуемый ряд остаётся ниже своей мажоранты и как частичные суммы ведут себя при разных показателях.

Формулировка признака сравнения

Пусть все члены рядов $\sum a_n$ и $\sum b_n$ неотрицательны: $a_n \ge 0$, $b_n \ge 0$.

Признак сравнения (достаточный):

$$0 \le a_n \le b_n \quad \forall n \ge N_0.$$

Тогда:

• если $\sum b_n$ сходится, то $\sum a_n$ тоже сходится;
• если $\sum a_n$ расходится, то $\sum b_n$ тоже расходится.

Обратите внимание: нас устраивает неравенство лишь начиная с некоторого номера $N_0$, поскольку изменение конечного числа членов не влияет на сходимость.

Рассчитать для своей задачи

Аналогично работает минорирующее сравнение: если $a_n \ge c_n \ge 0$ и $\sum c_n$ расходится, то $\sum a_n$ расходится. Ключевой эталон в обоих случаях - p-ряд $\sum 1/n^s$, у которого сходимость определяется одним числом: сходится при $s > 1$, расходится при $s \le 1$.

Как выбрать эталонный ряд

Правильный выбор эталона - половина решения. Есть два надёжных ориентира.

По старшему члену знаменателя. Если общий член ряда имеет вид дроби, посмотрите, какая степень $n$ доминирует в знаменателе. Для $a_n = \dfrac{3}{2n^2 + 5}$ знаменатель ведёт себя как $2n^2$, поэтому разумно взять $b_n = \dfrac{3}{2n^2} = \dfrac{3/2}{n^2}$. Это p-ряд с $s = 2 > 1$, который сходится. Неравенство $a_n \le b_n$ выполняется, потому что $2n^2 + 5 \ge 2n^2$.

По произведению. Если в знаменателе произведение вида $n(n+1)(n+2)$, старший член - $n^3$, эталон $1/n^3$; при $n^2 \ln n$ используют $1/(n^2 \ln n)$ - здесь понадобится уже интегральный признак, но для мажоранты берут $1/n^{1.5}$ и проверяют неравенство.

Рассчитать для своей задачи

На схеме показана логика: сначала выделить главный член знаменателя, затем взять соответствующий p-ряд с тем же показателем, проверить неравенство и применить признак.

Примеры применения признака сравнения

Пример 1. Ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{2n^2+5}$.

Пусть $b_n = \dfrac{3/2}{n^2}$. Тогда $a_n = \dfrac{3}{2n^2+5} \le \dfrac{3}{2n^2} = b_n$ при всех $n \ge 1$, поскольку $2n^2 + 5 \ge 2n^2$. Ряд $\sum b_n = \dfrac{3}{2}\sum \dfrac{1}{n^2}$ - p-ряд с $s = 2 > 1$, сходится. По признаку сравнения исходный ряд тоже сходится.

Пример 2. Ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}-0.5}$.

При $n \ge 2$ имеем $\sqrt{n} - 0.5 \le \sqrt{n}$, поэтому $\dfrac{1}{\sqrt{n}-0.5} \ge \dfrac{1}{\sqrt{n}} = \dfrac{1}{n^{1/2}}$. Ряд $\sum 1/n^{1/2}$ - p-ряд с $s = 1/2 \le 1$, расходится. По минорирующему признаку исходный ряд тоже расходится.

Пример 3. Ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin^2 n}{n^2+1}$.

Здесь числитель $\sin^2 n \le 1$, поэтому $0 \le a_n \le \dfrac{1}{n^2+1} \le \dfrac{1}{n^2}$. Мажоранта $\sum 1/n^2$ сходится. Следовательно, ряд сходится.

Доказательство неравенства: типовые приёмы

Чтобы корректно применить признак, нужно не просто «угадать» нужное направление, но и обосновать неравенство.

Увеличение знаменателя (для мажоранты): убрать все слагаемые кроме старшего или заменить их нулём. Пример: $n^2 + n + 1 \ge n^2$, значит $\dfrac{1}{n^2+n+1} \le \dfrac{1}{n^2}$.

Уменьшение знаменателя (для миноранты): убрать положительные слагаемые, которые знаменатель увеличивают. Пример: $n + \ln n \le 2n$ при $n \ge 3$, значит $\dfrac{1}{n+\ln n} \ge \dfrac{1}{2n}$.

Оценка числителя: если числитель - ограниченная функция (как $\sin^2 n \le 1$), заменяют его на верхнюю или нижнюю границу и затем оценивают знаменатель.

Связь с предельным признаком сравнения

Признак сравнения и предельный признак сравнения решают одну задачу, но по-разному. Прямой признак требует явного неравенства $a_n \le b_n$ (или $\ge$). Предельный признак заменяет это неравенство вычислением предела $L = \lim_{n\to\infty} a_n/b_n$: если $0 < L < \infty$, ряды ведут себя одинаково - и доказывать неравенство не нужно.

На практике предельный признак удобнее, когда в выражении есть добавки, которые делают строгое неравенство неочевидным. Например, для $a_n = \dfrac{n^2+1}{n^4-n+2}$ найти явную мажоранту сложнее, чем взять предел $a_n / (1/n^2)$, который равен 1. Если же неравенство очевидно (числитель ограничен, добавка в знаменателе только увеличивает его), проще воспользоваться прямым признаком - разбор короче.

Подробный разбор предельного признака с калькулятором и примерами - в статье предельный признак сравнения рядов.

Частые ошибки

• Путают направление неравенства. Для вывода о сходимости нужна мажоранта ($a_n \le b_n$, $b_n$ сходится). Если написать $a_n \ge b_n$ и $b_n$ сходится - это ничего не даёт.
• Не проверяют неотрицательность. Признак работает только при $a_n \ge 0$. Для рядов с переменным знаком нужен признак Лейбница или другие инструменты.
• Берут «неправильный» знак неравенства для миноранты. Если хотят доказать расходимость, берут $c_n \le a_n$, где $\sum c_n$ расходится, а не $a_n \le c_n$.
• Не указывают номер $N_0$. Неравенство может нарушаться для малых $n$. Достаточно написать «при $n \ge 2$» (или другом конкретном числе) и проверить, что с этого места оно держится.
• Забывают домножить константу эталона. Если взяли $b_n = K/n^s$, нужно проверить $a_n \le K/n^s$, а не просто $a_n \le 1/n^s$. При $K > 1$ или $K < 1$ константа меняет неравенство.

FAQ

Можно ли применять признак сравнения к рядам с отрицательными членами?

Нет, стандартный признак сравнения сформулирован для рядов с неотрицательными членами ($a_n \ge 0$, $b_n \ge 0$). Для рядов с переменным знаком используют абсолютную сходимость: если $\sum |a_n|$ сходится (что проверяют, например, сравнением $|a_n|$ с подходящим эталоном), то $\sum a_n$ тоже сходится.

Что делать, если мажоранту найти не удаётся?

Попробуйте предельный признак сравнения - он не требует явного неравенства, а лишь вычисления предела отношения $a_n/b_n$. Если и это затруднительно, применяют признак Даламбера ($\lim a_{n+1}/a_n$) или признак Коши ($\limsup \sqrt[n]{a_n}$), которые удобны для членов с факториалами и степенями.

Признак сравнения даёт точное значение суммы?

Нет. Признак сравнения - достаточный признак сходимости, он только отвечает на вопрос «сходится или нет». Само значение суммы он не находит. Для нахождения суммы используют формулы геометрической прогрессии, телескопические суммы или разложение в ряд Тейлора.

Коротко

Признак сравнения рядов - прямой инструмент: если $0 \le a_n \le b_n$ и мажоранта $\sum b_n$ сходится, то $\sum a_n$ тоже сходится; если $a_n \ge c_n \ge 0$ и $\sum c_n$ расходится, то $\sum a_n$ расходится. Главный шаг - выбор подходящего эталона (обычно p-ряда по старшему члену знаменателя) и явное обоснование неравенства. Когда неравенство сложно поймать, удобнее предельный признак сравнения - оба метода дополняют друг друга.