Как найти производную показательной функции: разбор

Дано: показательная функция $f(x) = 3^{2x+1}$ и точка $x_0 = 1$; во второй части степенно-показательная функция $y = x^x$ и точка $x_0 = 2$. Найти: производные обеих функций и их значения в указанных точках.

Основание у первой функции постоянное, переменная сидит только в показателе, поэтому работает формула $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$: множитель $\ln a$ появляется всегда, а производная показателя доставляется цепным правилом. Вторая функция устроена иначе: переменная стоит и в основании, и в показателе, и такую дифференцируют через логарифм. Ответ: $f'(x) = 2\ln 3 \cdot 3^{2x+1}$, в точке $x_0 = 1$ это $54\ln 3 \approx 59{,}325$; для $y = x^x$ получится $y' = x^x(\ln x + 1)$, в точке $x_0 = 2$ это $4(\ln 2 + 1) \approx 6{,}773$. Калькулятор сверху собирает показательную функцию из основания и линейного показателя, рисует её вместе с производной на одной шкале и показывает касательную в выбранной точке.

Решение по шагам

Дано. $f(x) = 3^{2x+1}$, точка $x_0 = 1$. Найти: $f'(x)$ и $f'(1)$.

Шаг 1. Определяем тип функции. Первым делом надо понять, где сидит переменная. Основание здесь число 3, оно не меняется, а $x$ входит только в показатель. Это и есть признак показательной функции: степенная формула $(x^n)' = nx^{n-1}$ к ней не применима, потому что там всё наоборот, переменная стоит в основании, а показатель постоянный. Путаница между этими двумя случаями даёт больше половины ошибок в контрольных.

Шаг 2. Выписываем базовую формулу. Производная показательной функции равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм основания:

$$\left(a^x\right)' = a^x \ln a, \qquad a > 0,\ a \neq 1.$$

Показатель у нас не просто $x$, а линейное выражение $u(x) = 2x + 1$. Значит, формула берётся в общем виде, с производной внутреннего слоя:

$$\left(a^{u(x)}\right)' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x).$$

Шаг 3. Дифференцируем показатель. Внутренний слой простой: $u(x) = 2x + 1$, его производная $u'(x) = 2$. Свободный член при дифференцировании пропадает, коэффициент при $x$ остаётся. Подробный разбор того, как раскладывать композицию на слои, если показатель сложнее линейного, есть в разборе производной сложной функции - здесь мы им пользуемся как готовым инструментом.

Шаг 4. Собираем производную. Подставляем $a = 3$, $u = 2x + 1$, $u' = 2$ и выносим числовой множитель вперёд:

$$f'(x) = 3^{2x+1} \ln 3 \cdot 2 = 2\ln 3 \cdot 3^{2x+1}.$$

Шаг 5. Считаем значение в точке. Сначала вычисляем показатель, потом саму степень, и только после этого умножаем на множители. Такой порядок избавляет от ошибок с приоритетом операций:

$$\begin{aligned} u(1) &= 2 \cdot 1 + 1 = 3, \\ f(1) &= 3^{3} = 27, \\ f'(1) &= 2 \cdot 27 \cdot \ln 3 = 54\ln 3 \approx 54 \cdot 1{,}0986 = 59{,}325. \end{aligned}$$

Шаг 6. Проверяем ответ другим способом. Перепишем исходную функцию через свойства степени: $3^{2x+1} = 3 \cdot 3^{2x} = 3 \cdot 9^{x}$. Тогда постоянный множитель 3 выносится, а дифференцируется уже чистая показательная функция с основанием 9:

$$f'(x) = 3 \cdot 9^{x} \ln 9 = 3 \cdot 9^{x} \cdot 2\ln 3.$$

В точке $x_0 = 1$ это $3 \cdot 9 \cdot 2\ln 3 = 54\ln 3$ - ровно то же число. Совпадение двух независимых путей означает, что ответ верен.

Ответ: $f'(x) = 2\ln 3 \cdot 3^{2x+1}$, $f'(1) = 54\ln 3 \approx 59{,}325$.

Формула и откуда она берётся

Формулу $(a^x)' = a^x\ln a$ можно не заучивать, а выводить за одну строку. Любая степень с положительным основанием переписывается через экспоненту по основному логарифмическому тождеству: $a = e^{\ln a}$, поэтому $a^x = e^{x\ln a}$. Дальше работает производная экспоненты и цепное правило:

$$\left(a^x\right)' = \left(e^{x\ln a}\right)' = e^{x\ln a} \cdot \ln a = a^x \ln a.$$

Второй вывод, через определение производной, объясняет, откуда логарифм берётся физически. Запишем предел и вынесем общий множитель:

$$\left(a^x\right)' = \lim_{h \to 0} \frac{a^{x+h} - a^{x}}{h} = a^{x} \lim_{h \to 0} \frac{a^{h} - 1}{h} = a^{x}\ln a.$$

Последний предел и есть определение натурального логарифма основания: он показывает, с какой скоростью функция стартует из единицы. У числа $e$ этот предел равен единице, поэтому экспонента - единственная показательная функция, которая совпадает со своей производной. Все остальные основания отличаются от неё постоянным множителем.

Отсюда же главное свойство, которое видно на графике калькулятора: отношение $f'(x)/f(x) = \ln a$ не зависит от $x$. Производная показательной функции пропорциональна самой функции, а не просто похожа на неё. Именно поэтому обе кривые в калькуляторе выведены на одну шкалу: пунктир всегда ровно в $k\ln a$ раз выше сплошной линии.

Показательная, степенная и степенно-показательная: не перепутать

Три внешне похожие конструкции требуют трёх разных формул. Разница только в том, где стоит переменная, и определить её надо до того, как ты возьмёшься за дифференцирование.

Проверка на глаз занимает секунду: закрой показатель и посмотри, меняется ли основание вместе с $x$. Если основание - число, функция показательная. Если число в показателе, функция степенная. Если меняются оба этажа, ни одна из двух формул не годится, и нужен приём из следующего раздела. Свойства самих степеней, которыми мы пользовались в шаге 6, разобраны в статье про показательные уравнения.

Логарифмическое дифференцирование: производная $x^x$

Дано. $y = x^{x}$, область определения $x > 0$, точка $x_0 = 2$. Найти: $y'$ и $y'(2)$.

Прямой формулы для такой функции нет, зато есть приём: прологарифмировать обе части равенства и продифференцировать полученное тождество. Логарифм снимает переменную с верхнего этажа и превращает степень в произведение, которое дифференцируется правилом произведения.

Шаг 1. Логарифмируем. Обе части положительны, поэтому переход законен: $\ln y = x\ln x$.

Шаг 2. Дифференцируем обе части по $x$. Слева стоит сложная функция от $y$, а $y$ зависит от $x$, поэтому появляется множитель $y'$ - это то же неявное дифференцирование, что и в разборе производной неявной функции. Справа работает правило произведения:

$$\frac{y'}{y} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1.$$

Шаг 3. Выражаем производную. Умножаем обе части на $y$ и возвращаем $y = x^x$:

$$y' = x^{x}\left(\ln x + 1\right).$$

Шаг 4. Подставляем точку. При $x_0 = 2$ получаем $2^{2} = 4$ и $\ln 2 + 1 \approx 1{,}6931$:

$$y'(2) = 4\left(\ln 2 + 1\right) \approx 4 \cdot 1{,}6931 = 6{,}773.$$

Ответ: $y' = x^{x}(\ln x + 1)$, $y'(2) = 4(\ln 2 + 1) \approx 6{,}773$.

Тот же результат даёт замена $x^{x} = e^{x\ln x}$: производная показателя равна $\ln x + 1$, и цепное правило возвращает ту же формулу. Скобка $(\ln x + 1)$ наглядно показывает, почему обе наивные попытки не работают: слагаемое $\ln x$ приходит от переменного показателя, а единица - от переменного основания, и оба вклада нужны одновременно. В калькуляторе сверху этот режим включается чипом «Степенно-показательная»: поставь $k = 1$, $b = 0$ и точку $x_0 = 2$, и он покажет те же 6,773.

Частые ошибки

• Берут степенную формулу вместо показательной. Запись $(3^{x})' = x \cdot 3^{x-1}$ неверна: показатель степени обязан быть константой, чтобы работало правило $(x^n)' = nx^{n-1}$.
• Теряют множитель $\ln a$. Ответ $(3^{2x+1})' = 2 \cdot 3^{2x+1}$ получается, если механически перенести правило для экспоненты на другое основание. Без $\ln 3$ число занижается почти в 1,1 раза, а при основании 10 - в 2,3 раза.
• Забывают производную показателя. Ответ $3^{2x+1}\ln 3$ без множителя 2 - это производная функции $3^{x+1}$, а не заданной. Внутренний слой дифференцируется всегда, даже если он линейный.
• Подставляют десятичный логарифм. В формуле стоит именно натуральный логарифм: $\ln 3 \approx 1{,}0986$, а не $\lg 3 \approx 0{,}4771$. Замена занижает ответ более чем вдвое.
• Упрощают степень с ошибкой. $3^{2x+1}$ равно $3 \cdot 9^{x}$, а не $9^{x+1}$: показатель распадается на сумму $2x$ и 1, а не умножается.
• Для $x^{x}$ берут только одну половину ответа. Варианты $x \cdot x^{x-1}$ и $x^{x}\ln x$ дают по одному слагаемому из двух; правильный ответ содержит и $\ln x$, и единицу.

FAQ

Почему производная $e^x$ равна самой функции? Потому что множитель $\ln a$ при основании $e$ обращается в единицу: $\ln e = 1$. Экспонента - единственная функция с таким свойством с точностью до постоянного множителя, и именно поэтому её выбирают основной в анализе.

Нужно ли помнить формулу $(a^x)' = a^x\ln a$ наизусть? Не обязательно. Достаточно переписать $a^x = e^{x\ln a}$ и применить цепное правило: логарифм вылезет сам как производная показателя $x\ln a$. Этот путь надёжнее, потому что не зависит от памяти.

Что делать, если основание и показатель оба зависят от $x$? Использовать логарифмическое дифференцирование или сразу писать $u^{v} = e^{v\ln u}$. Оба способа дают один ответ: $\left(u^{v}\right)' = u^{v}\left(v'\ln u + \dfrac{v u'}{u}\right)$.

Как найти дифференциал показательной функции? Взять производную и умножить на $dx$: для нашей задачи $df = 2\ln 3 \cdot 3^{2x+1}\,dx$. Подробности - в разборе дифференциала функции.

Коротко

1. Смотрим, где переменная. В показателе при числовом основании - функция показательная, работает формула $(a^x)' = a^x\ln a$.
2. Если показатель сложнее, чем $x$, домножаем на его производную: $(a^{u})' = a^{u}\ln a \cdot u'$.
3. Для $f(x) = 3^{2x+1}$ получаем $f'(x) = 2\ln 3 \cdot 3^{2x+1}$, а в точке $x_0 = 1$ это $54\ln 3 \approx 59{,}325$.
4. Если переменная стоит и в основании, и в показателе, логарифмируем: для $y = x^{x}$ выходит $y' = x^{x}(\ln x + 1)$, в точке $x_0 = 2$ это $4(\ln 2 + 1) \approx 6{,}773$.
5. Проверка ответа - отношение $f'(x)/f(x)$: для показательной функции оно постоянно и равно $k\ln a$, для нашей задачи $2\ln 3 \approx 2{,}197$.