Площадь криволинейной трапеции: формула и примеры

Криволинейная трапеция - та самая фигура, на которой определённый интеграл получает геометрический смысл. Пока речь идёт о прямоугольнике или обычной трапеции, площадь считается школьной формулой; как только верхняя граница становится дугой графика, прямых формул не остаётся, и приходится строить площадь как предел. Ниже разберём, что именно считается криволинейной трапецией, как её площадь определяется через интегральные суммы Римана, почему её удаётся посчитать по формуле Ньютона-Лейбница за одну строчку и что делать, когда график ныряет под ось. Прежде чем читать выкладки, покрутите калькулятор: он строит ступенчатую фигуру из $n$ прямоугольников и показывает, как её площадь сходится к значению интеграла.

Что такое криволинейная трапеция

Криволинейная трапеция - это плоская фигура, ограниченная четырьмя линиями: снизу отрезком $[a;\,b]$ оси $Ox$, сверху графиком непрерывной неотрицательной функции $y = f(x)$, а с боков вертикальными отрезками $x = a$ и $x = b$. Требования к функции здесь два: непрерывность на отрезке и условие $f(x) \geqslant 0$. Если $f(a) = 0$ или $f(b) = 0$, соответствующая боковая сторона вырождается в точку, и фигура от этого хуже не становится.

Условие непрерывности здесь не формальность. У функции с разрывом второго рода фигура может оказаться неограниченной по высоте, и обычного определённого интеграла у неё уже не будет. А вот конечное число разрывов первого рода площади не мешает: отрезок делят по точкам разрыва, считают площадь каждого куска отдельно и складывают результаты.

Сквозной пример всей статьи - трапеция под параболой $y = x^2 + 1$ на отрезке $[0;\,3]$. Её левая сторона - отрезок высотой $1$, правая - высотой $10$, верх - дуга параболы. Никакая формула площади трапеции тут не работает: верхняя граница не прямая.

Площадь как предел интегральных сумм

Разобьём отрезок точками $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ и на каждом кусочке $[x_{i-1};\,x_i]$ выберем произвольную точку $\xi_i$. Заменим кусочек криволинейной трапеции прямоугольником высотой $f(\xi_i)$ и шириной $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$. Сумма их площадей

$\sigma = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\,\Delta x_i$

называется интегральной суммой (суммой Римана). Площадь криволинейной трапеции - это предел интегральных сумм при измельчении разбиения, когда наибольшая из длин $\lambda = \max \Delta x_i$ стремится к нулю:

$S = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\,\Delta x_i = \int_a^b f(x)\,dx.$

Для непрерывной функции этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора точек $\xi_i$ - это и позволяет называть его площадью. На практике берут равномерное разбиение с шагом $h = (b-a)/n$ и точками $x_i = a + i h$.

Полезно держать в голове две крайние интегральные суммы. Если на каждом кусочке брать наименьшее значение функции, получится нижняя сумма: ступенчатая фигура целиком помещается внутри трапеции. Если брать наибольшее - верхняя сумма, которая трапецию накрывает. Искомая площадь зажата между ними, и как только разность верхней и нижней сумм становится сколь угодно малой, зажим смыкается на единственном числе. Для возрастающей функции наименьшие значения стоят на левых концах кусочков, а наибольшие - на правых, поэтому левые прямоугольники площадь всегда недобирают, а правые перебирают. Точки-середины при том же $n$ дают заметно более точную оценку: переключите чипы выбора точки в калькуляторе и сравните числа.

Рассчитать для своей задачи

Посчитаем для примера вручную. При $n = 3$ шаг равен $1$, левые концы дают высоты $f(0) = 1$, $f(1) = 2$, $f(2) = 5$, и сумма площадей равна $8$. При $n = 48$ шаг равен $0{,}0625$, и та же сумма даёт уже $11{,}72$. Точное значение, как мы увидим через абзац, равно $12$. Тот же предел интегральных сумм стоит за всеми приложениями интеграла - например, за вычислением работы переменной силы, где вместо высот прямоугольников складываются элементарные работы.

Формула Ньютона-Лейбница: как считать без предела

Считать предел сумм каждый раз невозможно, и здесь выручает основная теорема анализа. Если $F(x)$ - любая первообразная функции $f(x)$ на отрезке $[a;\,b]$, то

$S = \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).$

Причина в том, что функция $\Phi(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ - это площадь переменной криволинейной трапеции, и её производная равна $f(x)$: приращение площади на узкой полоске шириной $dx$ равно $f(x)\,dx$. Значит, $\Phi$ - первообразная, а любые две первообразные отличаются на константу, которая при вычитании исчезает.

Вернёмся к примеру:

$S = \int_0^3 \bigl(x^2 + 1\bigr)\,dx = \left(\frac{x^3}{3} + x\right)\Bigg|_0^3 = \left(\frac{27}{3} + 3\right) - 0 = 12.$

Ответ стоит проверять грубой оценкой. На отрезке длиной $3$ функция меняется от $1$ до $10$, значит, площадь обязана лежать между $1 \cdot 3 = 3$ и $10 \cdot 3 = 30$. Полученное $12$ в этот коридор попадает, а вот ответы вроде $1{,}2$ или $120$ выдали бы арифметическую ошибку сразу, без пересчёта.

Рассчитать для своей задачи

Обратите внимание на порядок подстановки: сначала верхний предел, потом нижний. Перестановка меняет знак ответа - это одна из самых частых потерь балла на контрольной.

Когда график уходит под ось

Определение площади требовало $f(x) \geqslant 0$, а интеграл считается и для отрицательных функций. Если на всём отрезке $f(x) \leqslant 0$, то интеграл получается отрицательным, а площадь фигуры между графиком и осью равна ему по модулю:

$S = \left|\int_a^b f(x)\,dx\right| = -\int_a^b f(x)\,dx.$

Если же функция меняет знак, интеграл по всему отрезку складывает площади с разными знаками и часть их взаимно уничтожается. Тогда отрезок разбивают по нулям функции и суммируют модули:

$S = \int_a^b \bigl|f(x)\bigr|\,dx.$

Рассчитать для своей задачи

Канонический пример - $y = \sin x$ на $[0;\,2\pi]$. Интеграл равен нулю, потому что горб над осью и впадина под ней дают $+2$ и $-2$. А площадь заштрихованной фигуры равна $2 + 2 = 4$. Оба числа верны, просто отвечают на разные вопросы: интеграл - величина со знаком, площадь - нет.

Площадь фигуры между двумя кривыми

Если фигура ограничена сверху графиком $y = f(x)$, а снизу графиком $y = g(x)$ на отрезке $[a;\,b]$, её площадь равна интегралу от разности:

$S = \int_a^b \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\,dx.$

Формула выводится вычитанием двух криволинейных трапеций и работает независимо от знаков: даже если обе кривые целиком лежат под осью, разность «верхняя минус нижняя» остаётся неотрицательной. Пределы $a$ и $b$ почти всегда задаются точками пересечения - их находят из уравнения $f(x) = g(x)$, а не прикидывают по чертежу.

Например, для $y = x^2$ и $y = 2x$ пересечения дают $x = 0$ и $x = 2$, на этом отрезке прямая выше параболы, и

$S = \int_0^2 \bigl(2x - x^2\bigr)\,dx = \left(x^2 - \frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}.$

Если кривые пересекаются больше двух раз, на разных участках верхней оказывается то одна, то другая функция. Тогда отрезок режут по каждой точке пересечения, на каждом куске заново определяют, какой график выше, и складывают площади участков.

Подробный разбор такой задачи с поиском точек пересечения и разбиением на участки - в пошаговом решении про площадь фигуры через интеграл.

Интегрирование по y и полярные координаты

Иногда фигура «лежит на боку»: её удобно описывать не как трапецию над осью $Ox$, а как трапецию слева от оси $Oy$. Тогда границы задают функцией $x = \varphi(y)$, и площадь считается зеркальной формулой

$S = \int_c^d \varphi(y)\,dy.$

Это тот же самый предел интегральных сумм, только полоски горизонтальные. Приём экономит время, когда $x$ через $y$ выражается проще, чем наоборот, или когда при интегрировании по $x$ фигуру пришлось бы резать на несколько кусков.

Если же кривая естественно задана в полярных координатах $\rho = \rho(\varphi)$, криволинейную трапецию заменяет криволинейный сектор, а прямоугольники - круговые секторы, и формула принимает вид $S = \tfrac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} \rho^2(\varphi)\,d\varphi$. Как она работает на замкнутой кривой, показано в разборе площади кардиоиды.

Частые ошибки

• Забывают про модуль. Отрицательный ответ в задаче на площадь - верный признак, что участок под осью посчитан со знаком. Площадь не бывает отрицательной.
• Не разбивают отрезок по нулям функции. Интеграл от $\sin x$ по $[0;\,2\pi]$ честно равен нулю, но фигура при этом никуда не исчезает.
• Путают порядок подстановки. Нужно $F(b) - F(a)$, а не наоборот; ошибка даёт ответ с противоположным знаком.
• Берут пределы интегрирования с чертежа. Точки пересечения кривых надо находить из уравнения, иначе ответ будет приблизительным по построению.
• Меняют переменную и оставляют старые пределы. При подстановке $t = \varphi(x)$ пределы пересчитываются вместе с переменной - как это делается аккуратно, показано в разборе замены переменной в определённом интеграле.
• Считают интегральную сумму при малом $n$ точным ответом. У численных методов есть своя погрешность, и её оценивают отдельно: см. оценку остатка метода трапеций.

FAQ

Чем криволинейная трапеция отличается от обычной? У обычной трапеции верхняя граница - отрезок прямой, и площадь равна полусумме оснований на высоту. У криволинейной верхняя граница - дуга графика. Если взять линейную функцию $f(x) = kx + m$, криволинейная трапеция превращается в обычную, и интеграл даёт ровно школьную формулу: $\int_a^b (kx+m)\,dx = \frac{f(a)+f(b)}{2}\,(b-a)$.

Может ли площадь криволинейной трапеции быть бесконечной? Да, если отрезок интегрирования бесконечен или функция неограничена у одного из концов. Такие площади считаются несобственными интегралами, и они могут как сходиться к конечному числу, так и расходиться: подробности - в разборе сходимости несобственного интеграла первого рода.

Что делать, если первообразная не берётся в элементарных функциях? Считать численно. Формула Ньютона-Лейбница требует первообразной, а определение через интегральные суммы - нет: ступенчатая фигура, метод трапеций или метод Симпсона дают площадь с контролируемой точностью. Именно этот путь используется в инженерных расчётах, где подынтегральная функция вообще задана таблицей измерений.

Коротко

Криволинейная трапеция ограничена отрезком оси $Ox$, двумя вертикалями и графиком непрерывной неотрицательной функции. Её площадь определяется как предел интегральных сумм при измельчении разбиения и равна определённому интегралу $\int_a^b f(x)\,dx$, а практически считается по формуле Ньютона-Лейбница $F(b) - F(a)$. Если график уходит под ось, интеграл учитывает знак, поэтому площадь ищут по модулю с разбиением отрезка по нулям функции; для фигуры между двумя кривыми интегрируют разность «верхняя минус нижняя», а для областей, заданных в полярных координатах, применяют формулу криволинейного сектора.