Работа переменной силы как интеграл: формула и примеры

Когда сила постоянна, работу считают по школьной формуле $A = F\,s$. Но стоит силе зависеть от координаты, как у пружины или у тяготения, и это правило перестаёт работать: сила в начале пути и в конце разная, умножать не на что. Выход даёт идея интеграла: путь разбивают на крошечные участки, на каждом сила почти не меняется, элементарные работы складывают, и в пределе сумма превращается в определённый интеграл. Ниже разберём, как работа переменной силы записывается как интеграл $A = \int_a^b F(x)\,dx$, почему его значение равно площади под графиком силы, как вывести эту формулу строго и где студенты ошибаются. Чтобы сразу почувствовать связь силы, пути и работы, покрути калькулятор: он закрашивает площадь под выбранным законом силы между двумя пределами и показывает работу.

Почему формула F·s здесь не работает

Определение работы постоянной силы $A = F\,s\cos\alpha$ опирается на то, что вектор силы не меняется на всём пути. Для переменной силы это условие нарушено: при растяжении пружины сила упругости растёт пропорционально деформации, при удалении от Земли сила тяготения, наоборот, убывает. Если подставить в $A = F\,s$ какое-то одно значение силы, ответ будет либо завышен, либо занижен, и зачастую в разы.

Чтобы аккуратно посчитать работу, путь разбивают на множество маленьких перемещений $\Delta x$. На таком коротком участке силу можно считать почти постоянной и равной её значению $F(x)$ в этой точке. Тогда элементарная работа на участке равна $\Delta A = F(x)\,\Delta x$, а полная работа - сумма всех таких вкладов:

$A \approx \sum_i F(x_i)\,\Delta x.$

Работа переменной силы как интеграл

Чем мельче разбиение, тем точнее приближение. В пределе, когда ширина участков $\Delta x \to 0$, сумма элементарных работ превращается в определённый интеграл - это и есть точное определение работы переменной силы:

$A = \lim_{\Delta x \to 0} \sum_i F(x_i)\,\Delta x = \int_a^b F(x)\,dx,$

где $a$ и $b$ - начальная и конечная координаты тела, а $F(x)$ - проекция силы на направление движения. Эта запись и есть ответ на вопрос, как считать работу переменной силы: взять определённый интеграл от силы по пути. Если сила направлена под углом к перемещению, под интегралом стоит проекция $F(x)\cos\alpha$, а в общем случае криволинейного пути - скалярное произведение $\int \vec{F}\cdot d\vec{r}$.

Рассчитать для своей задачи

Геометрический смысл здесь особенно нагляден. Каждое слагаемое $F(x_i)\,\Delta x$ - это площадь узкого прямоугольника высотой $F(x_i)$ и шириной $\Delta x$. Сумма площадей всех столбиков приближает площадь криволинейной фигуры под графиком силы, а интеграл даёт её точно. Поэтому работа переменной силы численно равна площади под графиком зависимости силы от координаты.

Работа равна площади под графиком силы

Связь «работа равна площади под графиком $F(x)$» - самый удобный инструмент в задачах, где сила задана графиком, а не формулой. Разберём её на двух эталонных случаях.

Рассчитать для своей задачи

Если сила постоянна, $F(x) = F_0$, график горизонтален, а площадь под ним - прямоугольник. Его площадь $F_0\,(b - a)$, и интеграл вырождается в привычное $A = F_0\,s$. Это единственный случай, где формула $F\,s$ верна, и она оказывается частным случаем интеграла.

Если же сила линейно растёт, $F(x) = k\,x$, как у пружины, график - наклонная прямая, а площадь под ней - прямоугольный треугольник. Его площадь равна половине произведения катетов, поэтому работа

$A = \int_0^x k\,x'\,dx' = \frac{k x^2}{2}.$

Здесь хорошо видно, почему наивное умножение силы на путь даёт вдвое больший ответ: подставив максимальную силу $kx$, мы посчитали бы площадь прямоугольника, а нужна площадь треугольника, то есть ровно вдвое меньше.

Работа силы упругости пружины

Пружина - главный учебный пример работы переменной силы. По закону Гука сила упругости растёт линейно с деформацией: $F = k\,x$, где $k$ - жёсткость, $x$ - растяжение. Работа внешней силы, растягивающей пружину от деформации $x_1$ до $x_2$, равна интегралу:

$A = \int_{x_1}^{x_2} k\,x\,dx = \frac{k x_2^2}{2} - \frac{k x_1^2}{2} = \frac{k\,(x_2^2 - x_1^2)}{2}.$

Если пружину растягивают из недеформированного состояния ($x_1 = 0$), формула упрощается до $A = \dfrac{k x_2^2}{2}$ - это и есть потенциальная энергия упругой деформации. Например, для жёсткости $k = 200$ Н/м и растяжения $x_2 = 0{,}3$ м работа равна $A = \dfrac{200 \cdot 0{,}3^2}{2} = 9$ Дж. Именно это число выдаёт калькулятор выше при тех же параметрах - площадь треугольника под прямой $F = kx$.

Работа силы тяготения

Сила всемирного тяготения убывает обратно пропорционально квадрату расстояния: $F = \dfrac{G M m}{r^2}$. Чтобы найти работу против этой силы при удалении тела от $r_1$ до $r_2$, снова берут интеграл, но уже от функции вида $C/r^2$:

$A = \int_{r_1}^{r_2} \frac{G M m}{r^2}\,dr = G M m\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right).$

Площадь под гиперболой $C/r^2$ конечна, даже когда верхний предел уходит в бесконечность: при $r_2 \to \infty$ работа стремится к $\dfrac{G M m}{r_1}$. Это объясняет, почему существует вторая космическая скорость - энергии нужно ровно столько, чтобы совершить эту конечную работу против тяготения. Тот же тип интеграла $C/x^2$ можно покрутить в калькуляторе, выбрав закон обратного квадрата, и сравнить с пружиной.

Частые ошибки

• Подстановка одного значения силы в $F\,s$. Для переменной силы это даёт грубо неверный ответ. Работа - это интеграл, то есть площадь под графиком, а не произведение силы на путь.
• Забыли про пределы интегрирования. Определённый интеграл считается от начальной координаты $a$ до конечной $b$. Потеря пределов превращает ответ в неопределённый интеграл без числового значения.
• Путаница знака работы. Если сила направлена против движения (как сила упругости при растяжении пружины внешней рукой), её собственная работа отрицательна. Следите, проекцию какой именно силы вы интегрируете.
• Неверная первообразная. Для $F = k x$ первообразная это $\dfrac{k x^2}{2}$, а не $k x$. Ошибка в интегрировании степенной функции - самая частая.
• Нулевой нижний предел у силы тяготения. Для $F = C/x^2$ интеграл расходится при $x \to 0$: нижний предел не может быть нулём, иначе работа становится бесконечной.

FAQ

Как найти работу переменной силы, заданной графиком? Нужно вычислить площадь фигуры между графиком силы и осью пути в пределах от начальной до конечной координаты. Для простых фигур (треугольник, трапеция, прямоугольник) площадь считают геометрически, для сложных - разбивают на части или интегрируют по формуле $A = \int_a^b F(x)\,dx$.

Почему работа силы упругости равна $\dfrac{k x^2}{2}$, а не $k x \cdot x$? Потому что сила меняется по пути от нуля до $kx$, и работа равна площади треугольника под прямой $F = kx$, а не прямоугольника. Площадь треугольника вдвое меньше: $\dfrac{1}{2}\cdot x \cdot kx = \dfrac{k x^2}{2}$.

Чем отличается работа переменной силы от работы постоянной? Для постоянной силы работа равна $F\,s$ - площади прямоугольника под горизонтальным графиком. Для переменной силы график не горизонтален, поэтому работу находят как интеграл $\int_a^b F(x)\,dx$, и формула $F\,s$ становится лишь частным случаем при $F = \text{const}$.

Коротко

Работа переменной силы определяется как определённый интеграл $A = \int_a^b F(x)\,dx$, который равен площади под графиком зависимости силы от координаты. Вывод идёт через разбиение пути на участки $\Delta x$, на каждом из которых сила почти постоянна, и суммирование элементарных работ $F(x)\,\Delta x$ с переходом к пределу. Для пружины интеграл даёт $A = \dfrac{k(x_2^2 - x_1^2)}{2}$, для силы тяготения - $A = G M m\left(\dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2}\right)$, а для постоянной силы интеграл сворачивается в привычное $A = F\,s$.