Как решить задачу Коши: пошаговое решение примера

Дано: уравнение $y' = -2y + 6$ и начальное условие $y(0) = 5$. Найти: частное решение и значение $y(1)$.

Переменные в этом уравнении разделяются, поэтому общее решение находится в два интеграла и имеет вид $y = 3 + Ce^{-2x}$, а начальное условие фиксирует единственную константу: $C = 2$. Ответ: $y = 3 + 2e^{-2x}$, $y(1) \approx 3{,}271$. Калькулятор сверху пересчитывает то же решение под любые коэффициенты и любую начальную точку, а ниже идёт полный разбор по шагам.

Решение по шагам

Дано. Дифференциальное уравнение первого порядка и начальное условие в точке $x_0 = 0$:

$$y' = -2y + 6, \qquad y(0) = 5.$$

Найти: частное решение задачи Коши и его значение в точке $x = 1$.

Шаг 1. Определяем тип уравнения. Справа стоит функция, зависящая только от $y$, значит переменные разделяются. Удобно сразу вынести множитель за скобку:

$$\frac{dy}{dx} = -2y + 6 = -2(y - 3).$$

Число $3$ появилось не случайно. При $y = 3$ производная обращается в нуль, то есть постоянная функция $y \equiv 3$ тоже решает уравнение. Дальше это стационарное решение сработает и как проверка, и как типичная ловушка.

Шаг 2. Разделяем переменные. Делим обе части на скобку $y - 3$ (временно считая, что $y \neq 3$) и умножаем на $dx$, чтобы слева осталось только $y$, а справа только $x$:

$$\frac{dy}{y - 3} = -2\,dx.$$

Шаг 3. Интегрируем обе части. Слева получается логарифм модуля, справа линейная функция. Произвольную постоянную достаточно писать один раз, справа:

$$\int \frac{dy}{y - 3} = \int (-2)\,dx \quad \Longrightarrow \quad \ln|y - 3| = -2x + C_1.$$

Шаг 4. Выражаем общее решение. Потенцируем обе части: $|y - 3| = e^{C_1} \cdot e^{-2x}$. Величину $\pm e^{C_1}$ обозначаем одной буквой $C$, и теперь она пробегает уже все действительные числа, включая нуль. Именно значение $C = 0$ возвращает то самое решение $y = 3$, которое мы потеряли при делении:

$$y = 3 + Ce^{-2x}.$$

Это общее решение, то есть целое семейство кривых, по одной на каждое значение $C$. На графике в калькуляторе они нарисованы пунктиром: через каждую точку плоскости проходит ровно одна такая кривая.

Шаг 5. Подставляем начальное условие. Задача Коши требует выбрать из семейства ту кривую, которая проходит через точку $(0;\,5)$. Подставляем $x = 0$ и $y = 5$:

$$5 = 3 + Ce^{-2 \cdot 0} = 3 + C \quad \Longrightarrow \quad C = 2.$$

Шаг 6. Выписываем частное решение и проверяем его. Константа найдена, подставляем её обратно и сразу проверяем подстановкой в исходное уравнение:

$$y = 3 + 2e^{-2x}, \qquad y' = -4e^{-2x}, \qquad -2y + 6 = -2\left(3 + 2e^{-2x}\right) + 6 = -4e^{-2x}.$$

Левая и правая части уравнения совпали, начальное значение тоже сходится: $y(0) = 3 + 2 = 5$. Проверка занимает полминуты и ловит почти любую арифметическую ошибку, поэтому пропускать её не стоит.

Шаг 7. Вычисляем требуемое значение. Подставляем $x = 1$ в найденное решение:

$$y(1) = 3 + 2e^{-2} = 3 + 2 \cdot 0{,}135335 \approx 3{,}2707.$$

Ответ. Частное решение задачи Коши: $y = 3 + 2e^{-2x}$, его значение в единице $y(1) \approx 3{,}271$.

Формула и откуда она берётся

Задача Коши - это связка из двух объектов: самого дифференциального уравнения и начального условия, заданного в одной точке. Уравнение описывает целое семейство кривых, а условие выбирает из них одну. Поэтому решать задачу Коши всегда значит проделать два разных действия: сначала проинтегрировать уравнение с произвольной постоянной, затем найти эту постоянную из условия.

Количество условий равно порядку уравнения. У уравнения первого порядка одна произвольная постоянная и одно условие вида $y(x_0) = y_0$; у уравнения второго порядка постоянных две, и условий тоже нужно два. Меньше условий - останется семейство, больше - система на константы окажется переопределённой и, скорее всего, несовместной.

Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами $y' = ay + b$ выкладка из шагов 1-4 даёт готовую формулу. Стационарное решение $y^{*} = -b/a$ обращает производную в нуль, а общее решение отклоняется от него по экспоненте:

$$y = y^{*} + Ce^{a x}, \qquad y^{*} = -\frac{b}{a}, \qquad C = (y_0 - y^{*})e^{-a x_0}.$$

Знак коэффициента $a$ определяет всю картину. При $a < 0$ экспонента затухает, и любое решение притягивается к уровню $y^{*}$; характерное время задаётся величиной $1/|a|$, в нашем примере это $0{,}5$ - за такой шаг по $x$ отклонение от тройки уменьшается в $e$ раз. При $a > 0$ та же экспонента растёт, и решения разбегаются от $y^{*}$ в разные стороны.

Сам факт, что через точку $(x_0;\,y_0)$ проходит ровно одна интегральная кривая, гарантируется теоремой существования и единственности: правая часть непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по $y$. Формулировка, условие Липшица и разбор случаев, когда единственность ломается, разобраны в статье существование и единственность решения задачи Коши, а техника самого интегрирования подробно расписана в материале про уравнения с разделяющимися переменными.

Второй способ: интегрирующий множитель

Исходное уравнение линейное, поэтому его можно решить и стандартным приёмом для линейных уравнений, не разделяя переменные. Переносим слагаемое с $y$ влево и умножаем обе части на интегрирующий множитель $\mu(x) = e^{2x}$:

$$y' + 2y = 6 \quad \Longrightarrow \quad y'e^{2x} + 2ye^{2x} = 6e^{2x}.$$

Левая часть - в точности производная произведения $\left(ye^{2x}\right)'$, ради этого множитель и подбирался. Интегрируем обе части и делим на $e^{2x}$:

$$ye^{2x} = 3e^{2x} + C \quad \Longrightarrow \quad y = 3 + Ce^{-2x}.$$

Общее решение получилось тем же, начальное условие снова даёт $C = 2$. Этот способ стоит освоить отдельно: как только правая часть начинает зависеть от $x$ (например, $y' + 2y = 4x$), разделение переменных уже не проходит, а интегрирующий множитель и родственный ему метод Бернулли работают по-прежнему.

Задача Коши для уравнения второго порядка

Схема не меняется, добавляется только вторая константа. Возьмём типовое условие: $y'' + 4y = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 6$. Составляем характеристическое уравнение $k^2 + 4 = 0$, его корни $k = \pm 2i$ чисто мнимые, поэтому общее решение записывается через синус и косинус:

$$y = C_1\cos 2x + C_2\sin 2x, \qquad y' = -2C_1\sin 2x + 2C_2\cos 2x.$$

Первое условие подставляем в саму функцию: $y(0) = C_1 = 1$. Второе - обязательно в производную: $y'(0) = 2C_2 = 6$, откуда $C_2 = 3$. Частное решение: $y = \cos 2x + 3\sin 2x$. Главная ошибка здесь механическая: оба условия подставляют в $y$, забыв продифференцировать общее решение. Разбор случаев с другими корнями характеристического уравнения есть в статье про комплексные корни.

Когда решение не берётся в квадратурах

Далеко не каждое уравнение интегрируется в элементарных функциях, но задача Коши всё равно имеет решение - просто его считают численно, по шагам. Простейший вариант, метод Эйлера, делает шаг по касательной: $y_{k+1} = y_k + h\,f(x_k, y_k)$. Для нашей задачи с шагом $h = 0{,}1$ получается такая таблица:

Видно и главное достоинство метода, и его слабость: направление ловится сразу, но ошибка накапливается от шага к шагу, потому что каждый следующий шаг стартует уже с неточного значения. Точность повышают уменьшением шага или переходом к схемам более высокого порядка - например, к методу Рунге-Кутты 4-го порядка; сравнение явной и неявной схем разобрано в материале про методы Эйлера.

Частые ошибки

• Потерянное решение при делении. Разделив на $y - 3$, мы молча исключили случай $y = 3$. Формально его надо вернуть отдельной строкой; здесь оно спрятано в общем решении при $C = 0$, но в задачах, где начальное условие как раз совпадает со стационарным уровнем, потеря становится ответом.
• Константа приписана не туда. Потенцирование даёт множитель, а не слагаемое: из $\ln|y - 3| = -2x + C_1$ следует $y = 3 + Ce^{-2x}$, а не $y = 3 + e^{-2x} + C$. Это самая массовая ошибка в подобных примерах.
• Начальное условие подставлено слишком рано. Условие применяется к уже проинтегрированному общему решению. Подстановка чисел до интегрирования просто уничтожает переменную.
• Перепутаны $x_0$ и $y_0$. В записи $y(0) = 5$ нуль - это аргумент, а пятёрка - значение функции. Подстановка $x = 5$ даёт неверную константу и не бьётся с проверкой.
• Второе условие для уравнения второго порядка подставлено в $y$, а не в $y'$. Тогда получается система с одинаковыми уравнениями и не определяется вторая константа.
• Ответ не проверен подстановкой. Дифференцирование найденной функции и сверка с правой частью занимают минуту и отлавливают потерянный знак или множитель.

FAQ

Чем задача Коши отличается от краевой задачи? Расположением условий. В задаче Коши все условия заданы в одной точке $x_0$: значение функции, а для старших порядков ещё и производных. В краевой задаче условия разнесены по концам отрезка, например $y(0) = 0$ и $y(1) = 2$. Различие принципиальное: задача Коши при разумной правой части всегда имеет ровно одно решение, а краевая может не иметь ни одного или иметь бесконечно много.

Сколько начальных условий нужно задавать? Ровно столько, каков порядок уравнения: для первого порядка одно, для второго два, для системы из $n$ уравнений первого порядка $n$ штук. Правило прямо следует из числа произвольных постоянных в общем решении.

Всегда ли решение задачи Коши единственно? Нет. Единственность гарантируется теоремой Пикара-Линделёфа при условии Липшица по $y$. Классический контрпример $y' = 3y^{2/3}$ с условием $y(0) = 0$ имеет сразу и нулевое решение, и решение $y = x^3$: производная правой части в нуле не ограничена, условие Липшица нарушено.

Что делать, если интеграл после разделения переменных не берётся? Есть три пути: оставить ответ в неявной форме (это законное решение), разложить решение в степенной ряд или посчитать численно методом Эйлера либо Рунге-Кутты. В прикладных задачах чаще всего идут третьим путём, а полезной технике вычисления самих интегралов посвящён разбор определённого интеграла.

Коротко

1. Задача Коши равна уравнению плюс начальному условию в одной точке; условий должно быть столько же, сколько порядок уравнения.
2. Опознаём тип уравнения. Для $y' = -2y + 6$ переменные разделяются: $\dfrac{dy}{y - 3} = -2\,dx$.
3. Интегрируем и получаем общее решение $y = 3 + Ce^{-2x}$, не забыв про решение $y = 3$, потерянное при делении.
4. Подставляем условие $y(0) = 5$, находим $C = 2$ и выписываем частное решение $y = 3 + 2e^{-2x}$; проверяем его подстановкой в уравнение.
5. Считаем требуемое значение: $y(1) = 3 + 2e^{-2} \approx 3{,}271$.