Существование и единственность решения задачи Коши

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка $y' = f(x, y)$ с начальным условием $y(x_0) = y_0$ ставит вопрос ребром: проходит ли через заданную точку хоть одна интегральная кривая и, если да, ровно ли одна. Ответ даёт теорема существования и единственности решения задачи Коши, которую чаще называют теоремой Пикара-Линделёфа. Её смысл в том, что при достаточно «хорошей» правой части $f$ решение не только есть, но и единственно в окрестности начальной точки. Ниже разберём, какие именно условия требует теорема, как метод последовательных приближений Пикара строит это решение по шагам, как оценить интервал существования и где студенты чаще всего теряют единственность. Чтобы сразу увидеть, как приближения сходятся к решению, покрутите калькулятор ниже: он строит итерации Пикара для эталонной задачи и показывает, как они прижимаются к точной кривой.

Что утверждает теорема существования и единственности

Рассмотрим задачу Коши

$y' = f(x, y), \qquad y(x_0) = y_0.$

Теорема Пикара-Линделёфа формулируется так: если правая часть $f(x, y)$ непрерывна в прямоугольнике $R = \{|x - x_0| \le a,\ |y - y_0| \le b\}$ и удовлетворяет в нём условию Липшица по переменной $y$, то на некотором интервале $|x - x_0| \le h$ существует единственное решение задачи Коши, проходящее через точку $(x_0, y_0)$.

Два слова про каждое условие. Непрерывность $f$ гарантирует само существование решения (это даёт более слабая теорема Пеано). А вот за единственность отвечает именно условие Липшица: без него через одну точку может проходить сразу несколько интегральных кривых. Поэтому в задачах сначала проверяют непрерывность, а затем липшицевость, и только убедившись в обоих, заявляют о единственности.

Условие Липшица по y

Функция $f(x, y)$ удовлетворяет условию Липшица по $y$ в области $R$, если существует постоянная $L > 0$ такая, что для любых двух точек с одинаковым $x$ выполняется

$|f(x, y_1) - f(x, y_2)| \le L\,|y_1 - y_2|.$

Число $L$ называют константой Липшица. На практике проверять неравенство напрямую неудобно, поэтому пользуются достаточным признаком: если частная производная $\partial f / \partial y$ существует и ограничена в $R$, то $f$ липшицева, причём

$L = \max_R \left| \frac{\partial f}{\partial y} \right|.$

Рассчитать для своей задачи

Для эталонной задачи $y' = k\,y$ правая часть $f = k\,y$, её производная по $y$ равна $k$, поэтому условие Липшица выполнено всюду с константой $L = |k|$. Именно это значение калькулятор выше показывает в поле «Константа Липшица»: оно не зависит от $x$ и $y$, потому и единственность здесь гарантирована на всей прямой.

Метод последовательных приближений Пикара

Доказательство теоремы конструктивно: оно не просто утверждает, что решение есть, а строит его как предел последовательности функций. Сначала задачу Коши переписывают в виде интегрального уравнения, эквивалентного исходному:

$y(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f\big(t, y(t)\big)\,dt.$

Затем запускают итерации, начиная с постоянной функции, равной начальному значению:

$y_0(x) = y_0, \qquad y_{n+1}(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f\big(t, y_n(t)\big)\,dt.$

Каждое следующее приближение получается подстановкой предыдущего под интеграл. Благодаря условию Липшица эта последовательность сходится равномерно, и её предел и есть искомое решение. Для задачи $y' = k\,y$ итерации дают частичные суммы ряда экспоненты:

$y_n(x) = y_0 \sum_{j=0}^{n} \frac{\big(k(x - x_0)\big)^j}{j!} \;\xrightarrow[n \to \infty]{}\; y_0\, e^{k(x - x_0)}.$

Рассчитать для своей задачи

Подвигайте в калькуляторе номер приближения $n$: при $n = 0$ это горизонтальная прямая, при $n = 1$ появляется наклон, дальше итерации одна за другой ложатся на зелёную кривую точного решения, а поле «Макс. ошибка приближения» падает к нулю. Это и есть наглядная сходимость метода Пикара.

Интервал существования решения

Теорема гарантирует решение не на всей прямой, а лишь на отрезке $|x - x_0| \le h$, где

$h = \min\left(a,\ \frac{b}{M}\right), \qquad M = \max_R |f(x, y)|.$

Здесь $a$ и $b$ задают размеры прямоугольника $R$, а $M$ - наибольшее значение модуля правой части в нём. Смысл ограничения прост: решение не должно «убежать» за пределы прямоугольника, в котором мы проверили условия теоремы, поэтому ширину интервала ограничивает наклон поля направлений. Чем больше $M$, тем быстрее растёт решение и тем короче гарантированный интервал.

Важно не путать гарантированный интервал с реальной областью существования: теорема даёт лишь нижнюю оценку. Решение может продолжаться и дальше, как у задачи $y' = k\,y$, где экспонента определена на всей прямой. А может и взорваться за конечное время: у задачи $y' = 1 + y^2$, $y(0) = 0$ решение $y = \tan x$ уходит в бесконечность уже при $x = \pi/2$.

Когда единственность нарушается

Самый поучительный случай - когда непрерывность есть, а условие Липшица нарушено. Классический пример:

$y' = \sqrt{|y|}, \qquad y(0) = 0.$

Правая часть непрерывна, поэтому по теореме Пеано решение существует. Но производная $\partial f / \partial y$ в точке $y = 0$ обращается в бесконечность, условие Липшица не выполнено, и единственность теряется. Через начало координат проходят сразу несколько решений: тождественный ноль $y \equiv 0$ и семейство кривых $y = \tfrac{1}{4}(x - c)^2$ при $x \ge c$. Это и есть прямая иллюстрация того, зачем теореме нужно условие Липшица, а не только непрерывность.

Частые ошибки

• Путаница теорем Пеано и Пикара. Непрерывности $f$ хватает только на существование (Пеано). Для единственности обязательно нужно условие Липшица по $y$ (Пикара-Линделёфа).
• Проверка Липшица по x вместо y. Условие накладывается на поведение $f$ именно по второй переменной $y$, а не по $x$. Производную тоже берут частную по $y$.
• Гарантированный интервал принимают за полный. $h = \min(a, b/M)$ - это нижняя оценка. Реальная область существования может быть и шире, и (для взрывных решений) равна гарантированной.
• Забывают, что решение может уйти в бесконечность. Из непрерывности и Липшица не следует существование на всей прямой: пример $y' = 1 + y^2$ взрывается за конечное время.
• Считают итерации Пикара методом для ручного счёта. Это инструмент доказательства; на практике точное решение находят явными методами, а Пикар нужен для понимания сходимости.

FAQ

В чём разница между теоремой Пеано и теоремой Пикара? Теорема Пеано требует только непрерывности правой части $f$ и гарантирует существование хотя бы одного решения. Теорема Пикара-Линделёфа добавляет условие Липшица по $y$ и гарантирует, что решение единственно. Поэтому при нарушении Липшица решение может быть, но не одно.

Зачем нужно условие Липшица, если есть непрерывность? Непрерывность не запрещает интегральным кривым ветвиться в одной точке. Условие Липшица ограничивает скорость изменения $f$ по $y$ и тем самым «склеивает» близкие решения в одно. Пример $y' = \sqrt{|y|}$ показывает: убрать Липшица - потерять единственность.

Как найти интервал существования решения задачи Коши? Постройте прямоугольник $R$ вокруг начальной точки со сторонами $2a$ и $2b$, найдите $M = \max_R |f|$ и возьмите $h = \min(a, b/M)$. На отрезке $|x - x_0| \le h$ решение гарантированно существует и единственно. Это оценка снизу, реальный интервал может быть больше.

Коротко

Теорема существования и единственности решения задачи Коши (Пикара-Линделёфа) утверждает: если правая часть $f(x, y)$ непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по $y$, то решение задачи $y' = f(x, y)$, $y(x_0) = y_0$ существует и единственно на интервале $|x - x_0| \le h$, где $h = \min(a, b/M)$. Решение строится методом последовательных приближений Пикара, который сходится к нему равномерно. Непрерывность отвечает за существование, условие Липшица - за единственность; убрать его, как в примере $y' = \sqrt{|y|}$, означает потерять единственность.