Как найти частное решение неоднородного уравнения

Дано: $y'' - 3y' + 2y = (2x + 1)e^{3x}$. Найти: частное решение $y_p$ и общее решение уравнения.

Работаем методом подбора по виду правой части (его же называют методом неопределённых коэффициентов). Корни характеристического уравнения равны $1$ и $2$, показатель правой части $\alpha = 3$ с ними не совпадает, значит резонанса нет и множитель $x^s$ не нужен. Ответ: $y_p = (x - 1)e^{3x}$, общее решение $y = C_1e^{x} + C_2e^{2x} + (x - 1)e^{3x}$. Калькулятор сверху пересчитает форму и коэффициенты под твои числа, а ниже разобран каждый шаг.

Решение по шагам

Дано. Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

$$y'' - 3y' + 2y = (2x + 1)e^{3x}.$$

Найти: частное решение $y_p$ и общее решение $y$.

Шаг 1. Характеристическое уравнение. Отбрасываем правую часть и заменяем производные степенями $k$:

$$k^2 - 3k + 2 = 0, \qquad D = 9 - 8 = 1, \qquad k_1 = 1, \quad k_2 = 2.$$

Корни действительные и разные, поэтому общее решение однородного уравнения равно $y_{\text{оо}} = C_1e^{x} + C_2e^{2x}$. Эта часть ответа от правой части не зависит и понадобится нам в самом конце.

Шаг 2. Разбираем правую часть. Функция $(2x + 1)e^{3x}$ - это произведение многочлена первой степени на экспоненту. Выписываем два её параметра: показатель $\alpha = 3$ и степень многочлена $n = 1$.

Шаг 3. Проверяем резонанс. Сравниваем $\alpha$ с корнями: $3 \ne 1$ и $3 \ne 2$. Показатель корнем не является, значит кратность $s = 0$ и множитель $x^s$ равен единице.

Шаг 4. Записываем форму подбора. Степень многочлена в форме та же, что справа, но коэффициенты неизвестны:

$$y_p = (B_1x + B_0)e^{3x}.$$

Шаг 5. Дифференцируем форму дважды. Каждый раз выносим $e^{3x}$ за скобку:

$$\begin{aligned} y_p' &= B_1e^{3x} + 3(B_1x + B_0)e^{3x} = (3B_1x + B_1 + 3B_0)e^{3x}, \\ y_p'' &= 3B_1e^{3x} + 3(3B_1x + B_1 + 3B_0)e^{3x} = (9B_1x + 6B_1 + 9B_0)e^{3x}. \end{aligned}$$

Шаг 6. Подставляем в уравнение. Общий множитель $e^{3x}$ есть в каждом слагаемом, на него сокращаем:

$$(9B_1x + 6B_1 + 9B_0) - 3(3B_1x + B_1 + 3B_0) + 2(B_1x + B_0) = 2x + 1.$$

Приводим подобные отдельно при $x$ и отдельно в свободном члене:

$$\begin{aligned} \text{при } x:\quad & 9B_1 - 9B_1 + 2B_1 = 2B_1, \\ \text{свободный:}\quad & 6B_1 + 9B_0 - 3B_1 - 9B_0 + 2B_0 = 3B_1 + 2B_0. \end{aligned}$$

Шаг 7. Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях. Два многочлена равны тождественно, только если совпадают все их коэффициенты:

$$\begin{cases} 2B_1 = 2, \\ 3B_1 + 2B_0 = 1 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad B_1 = 1, \quad B_0 = \frac{1 - 3}{2} = -1.$$

Шаг 8. Проверяем подстановкой. Для $y_p = (x - 1)e^{3x}$ получаем $y_p' = (3x - 2)e^{3x}$ и $y_p'' = (9x - 3)e^{3x}$, откуда

$$(9x - 3) - 3(3x - 2) + 2(x - 1) = 9x - 3 - 9x + 6 + 2x - 2 = 2x + 1.$$

Тождество выполняется, коэффициенты найдены верно.

Ответ. Частное решение $y_p = (x - 1)e^{3x}$; общее решение неоднородного уравнения $y = C_1e^{x} + C_2e^{2x} + (x - 1)e^{3x}$.

Формула и откуда она берётся

Ответ собирается по теореме о структуре общего решения: $y = y_{\text{оо}} + y_p$, где $y_{\text{оо}}$ - общее решение однородного уравнения, а $y_p$ - любое одно решение неоднородного. Поэтому искать «самое общее» частное решение не нужно: подойдёт первое попавшееся, произвольные постоянные всё равно придут из однородной части.

Почему подбор в принципе срабатывает, видно из одного тождества. Обозначим левую часть через $L[y] = y'' + py' + qy$ и подставим в неё функцию вида $u(x)e^{\alpha x}$:

$$L\left[u e^{\alpha x}\right] = e^{\alpha x}\Big(u'' + P'(\alpha)\,u' + P(\alpha)\,u\Big), \qquad P(k) = k^2 + pk + q.$$

Здесь $P(k)$ - тот самый характеристический многочлен, а $P'(\alpha) = 2\alpha + p$ - его производная. Тождество говорит главное: оператор не выводит нас из класса «многочлен на экспоненту». Если $u$ - многочлен степени $n$, то справа снова стоит многочлен степени не выше $n$, умноженный на ту же экспоненту. Значит, форму ответа можно угадать заранее, а неизвестными останутся только коэффициенты.

Из этого же тождества следует и правило резонанса. При $P(\alpha) \ne 0$ слагаемое $P(\alpha)u$ сохраняет старшую степень $u$, и многочлена степени $n$ хватает. Если $P(\alpha) = 0$, это слагаемое исчезает и уравнение связывает уже только $u'$ и $u''$: чтобы после дифференцирования осталась степень $n$, саму $u$ нужно взять на порядок выше. Если обращается в ноль ещё и $P'(\alpha)$, пропадает и второе слагаемое, и степень приходится поднимать дважды.

Таблица форм: что подбирать под каждую правую часть

Вся «магия» метода сводится к одной таблице. Через $P_n(x)$ обозначен известный многочлен степени $n$ из правой части, через $Q_n(x)$ и $R_n(x)$ - многочлены той же степени с неизвестными коэффициентами, через $s$ - кратность резонанса из следующего раздела.

Две строчки таблицы нарушают интуицию чаще всего. Во-первых, степень многочлена в форме равна степени многочлена справа целиком, со всеми промежуточными членами: под $f = 3x$ ставят $Q_1 = B_1x + B_0$, а не $B_1x$. Во-вторых, даже если справа стоит один синус, в форму обязательно берут и косинус - производная перемешивает их между собой.

Резонанс: откуда берётся множитель $x^{s}$

Кратность $s$ - это сколько раз контрольное число из последнего столбца таблицы встречается среди корней характеристического уравнения. Для уравнения второго порядка вариантов всего три: $s = 0$ (числа среди корней нет), $s = 1$ (совпало с простым корнем) и $s = 2$ (совпало с кратным корнем).

Посмотрим, что произойдёт при $s = 1$. Возьмём то же левое выражение и правую часть $6e^{2x}$: показатель $\alpha = 2$ равен корню $k_2$. Наивная форма $y_p = Be^{2x}$ после подстановки даёт $0 = 6$ - система несовместна, потому что $e^{2x}$ сама решает однородное уравнение и обнуляет левую часть. Домножаем на $x$ и берём $y_p = Bxe^{2x}$:

$$y_p' = B(2x + 1)e^{2x}, \qquad y_p'' = B(4x + 4)e^{2x},$$ $$B\big[(4x + 4) - 3(2x + 1) + 2x\big]e^{2x} = Be^{2x} = 6e^{2x} \quad\Longrightarrow\quad B = 6,$$

то есть $y_p = 6xe^{2x}$. Если же корень двойной, как в уравнении $y'' - 4y' + 4y = 10e^{2x}$, то $s = 2$ и форма становится $y_p = Bx^2e^{2x}$; подстановка даёт $2B = 10$, откуда $y_p = 5x^2e^{2x}$. Все три случая можно прогнать чипами в калькуляторе сверху и сравнить, как меняется форма.

Правая часть с синусом и сумма нескольких слагаемых

Когда справа стоит тригонометрия, контрольным числом становится $\alpha + i\beta$, и сравнивать его надо с комплексными корнями характеристического уравнения. Возьмём $y'' - 3y' + 2y = \sin x$: здесь $\alpha = 0$, $\beta = 1$, контрольное число $i$, а корни $1$ и $2$ действительные, так что $s = 0$. Подставляем $y_p = M\cos x + N\sin x$ и собираем коэффициенты:

$$(M - 3N)\cos x + (3M + N)\sin x = \sin x \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} M - 3N = 0, \\ 3M + N = 1, \end{cases}$$

откуда $N = 0{,}1$ и $M = 0{,}3$, то есть $y_p = 0{,}3\cos x + 0{,}1\sin x$.

Если правая часть распадается на несколько слагаемых разного типа, работает принцип наложения: для $f = f_1 + f_2$ подбирают $y_{p1}$ и $y_{p2}$ по отдельности, каждое со своей проверкой резонанса, а потом складывают. Это заметно быстрее, чем пытаться угадать форму сразу для всей суммы.

Отдельно стоит держать в голове границы метода. Подбор работает только для уравнений с постоянными коэффициентами; у уравнения с переменными коэффициентами, например у уравнения Эйлера, характеристического многочлена в этом смысле нет, и таблица форм к нему неприменима.

Частые ошибки

• Не проверили резонанс. Самая дорогая ошибка: система на коэффициенты получается несовместной, и кажется, что «задача решается неправильно». Прежде чем подставлять, всегда сравнивай $\alpha$ или $\alpha + i\beta$ с корнями.
• Умножили на $x^{s}$ только одно слагаемое. Множитель $x^{s}$ относится ко всей скобке целиком: правильно $x(B_1x + B_0)e^{\alpha x}$, а не $B_1x^2 + B_0e^{\alpha x}$.
• Выбросили промежуточные члены многочлена. Под $f = 3x^2$ форма - это $B_2x^2 + B_1x + B_0$, а не один $B_2x^2$: подстановка всё равно породит младшие степени.
• Под синусом оставили только синус. Без слагаемого с косинусом система на $M$ и $N$ станет переопределённой и решений не даст.
• Записали в ответ один $y_p$. Общее решение - это сумма $y_{\text{оо}} + y_p$; без постоянных $C_1$ и $C_2$ ответ неполный.
• Перепутали $s$ с порядком уравнения. Кратность $s$ - это кратность конкретного корня, а не двойка из $y''$: у уравнения второго порядка $s$ бывает равной нулю.

FAQ

Чем подбор отличается от метода вариации произвольных постоянных? Подбор быстрее, но работает лишь для постоянных коэффициентов и для правых частей из таблицы выше. Вариация постоянных универсальна и не требует угадывать форму, зато приводит к интегралам, которые часто берутся тяжело. На контрольных по типовым правым частям почти всегда ждут подбор.

Что делать, если правая часть не попадает ни в одну строку таблицы? Функции вроде $\tan x$, $\ln x$ или $1/x$ подбору не поддаются: их производные порождают бесконечно много новых видов. Тогда применяют вариацию произвольных постоянных либо преобразование Лапласа, если задано начальное условие.

Как определить $s$, если корни комплексные? Точно так же: смотрят, совпадает ли контрольное число $\alpha + i\beta$ с одним из корней. Для уравнения второго порядка комплексные корни всегда простые, поэтому $s$ равно нулю или единице, а $s = 2$ у тригонометрической правой части невозможно.

Как перейти от общего решения к ответу с числами? Подставить найденное $y$ и его производную в начальные условия и решить систему относительно $C_1$ и $C_2$ - это уже задача Коши. Важно подставлять полное решение вместе с $y_p$, иначе постоянные получатся неверными.

Коротко

1. Реши характеристическое уравнение и выпиши $y_{\text{оо}}$: для примера $k^2 - 3k + 2 = 0$ даёт $y_{\text{оо}} = C_1e^{x} + C_2e^{2x}$.
2. Разбери правую часть на параметры: показатель $\alpha$, частоту $\beta$ и степень многочлена $n$.
3. Найди кратность $s$ - сколько раз число $\alpha + i\beta$ встречается среди корней; у нас $\alpha = 3$ не корень, значит $s = 0$.
4. Запиши форму $y_p$ из таблицы с множителем $x^{s}$, подставь её в уравнение, сократи экспоненту и приравняй коэффициенты при одинаковых степенях и при синусе с косинусом.
5. Сложи ответ: $y_p = (x - 1)e^{3x}$, общее решение $y = C_1e^{x} + C_2e^{2x} + (x - 1)e^{3x}$.